二次函数图像及其性质知识点

一、知识点回顾

1. 二次函数解析式的几种形式：

2 ①一般式：yaxbxc（a、b、c为常数，a≠0）

2 ②顶点式：ya(xh)k（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。

③交点式：ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程

ax2bxc0的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。

2 2. 二次函数yaxbxc的图象

2 ①二次函数yaxbxc的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函

数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

22ya(xh)kyax ②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左

加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

222 ③在画yaxbxc的图象时，可以先配方成ya(xh)k的形式，然后将yax的图象上2（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将yaxbxc配成

ya(xh)2k的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点）。

3. 二次函数的性质 函数 图 象 2yaxbxc 二次函数ya(xh)2k（a、h、k为常数，a≠0） a＞0 a＜0 a、b、c为常数，a≠0 a＞0 a＜0 (1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开口并向上无限延伸 并向下无限延伸 向上，并向上向下，并向下无限延伸 性 (2)对称轴是x＝b2a，顶点是无限延伸 (2)对称轴是x＝b2a，顶点是(2)对称轴是x(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k） ＝h，顶点是（h，k） b4acb2b4acb2，，2a4a2a4a） （） （质 (3)当xb2a时，y(3)当xb2a时，y(3)当xh时，y随x的(3)当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 随x的增大而减小；随x的增大而增大；增大而减小；bb当x＞h时，yxx2a2a当时，y随x当时，y随x随x的增大而的增大而增大 的增大而减小 增大。 (4)抛物线有最低点，(4)抛物线有最高点，(4)抛物线有最(4)抛物线有最bb低点，当x＝h高点，当x＝hx2a时，y有最当2a时，y有最当时，y有最小时，y有最大小值，大值，值y最小值k 值y最大值k 4acb24acb2y最小值y最大值4a 4a x 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法

22yaxbxcya(xh)k的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为 ①配方法：将解析式化为

直线xh，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，y最小值k；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，

y最大值k。

b4acb2bx，2a，若4a），求其顶点；对称轴是直线 ②公式法：直接利用顶点坐标公式（2ab4acb2a0，y有最小值，当x时，y最小值；2a4a若a0，y有最大值，当b4acb2x时，y最大值2a4a

5. 抛物线与x轴交点情况：

2 对于抛物线yaxbxc(a≠0)

①当b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。

②当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。 ③当b24ac0时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。