1．将以下指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
思路点拨：运用对数的定义进行互化.
解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；
(6).
总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三：
【变式1】求以下各式中x的值：
(1) (2) (3)lg100=x (4)
思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：(1)
(2)
(3)10x=100=102，于是x=2； (4)由
；
；
.
类型二、利用对数恒等式化简求值
2．求值： 解：.
中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.
总结升华：对数恒等式举一反三： 【变式1】求
的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：
.
类型三、积、商、幂的对数
3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示以下各式.
1
(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15
解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b
(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三：
【变式1】求值 (1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
解： (1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.
解：由3a=c得：
同理可得
.
【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.
证明：
.
【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.
证明：∵ a2+b2=7ab， ∴ a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， ∴ lg(a+b)2=lg(9ab)， ∵ a>0，b>0， ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb
2
即
.
类型四、换底公式的运用
4．(1)已知logxy=a， 用a表示；
(2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.
解：(1)原式=
(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底. 方法一：am=x， bn=x， cp=x ∴
，
；
∴ ；
方法二：
举一反三： 【变式1】求值：(1) 解： (1)
；(2)
.
；(3).
(2)；
(3)法一：
法二：.
总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.
3
类型五、对数运算法则的应用
5．求值 (1) log89·log2732
(2)
(3)
(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
解：(1)原式=.
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
举一反三：
【变式1】求值：
解：
另解：设 =m (m>0).∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.
【变式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?
解：∵ ∴，
4
类型六、函数的定义域、值域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质〔如定义域、值域及单调性〕在解题中的重要作用. 6. 求以下函数的定义域：
(1)
； (2)
.
思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域. 解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；
(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.
举一反三：
【变式1】求以下函数的定义域.
(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).
解：(1)因为， 所以，
所以函数的定义域为(1，)(，2).
(2)因为 ax-k·2x>0， 所以()x>k.
[1]当k≤0时，定义域为R；
[2]当k>0时，
(i)假设a>2，则函数定义域为(
k，+∞)；
(ii)假设0 5 【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域. 思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[ ，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4]. 类型七、函数图象问题 7．作出以下函数的图象： (1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx. 解：(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3). 类型八、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念. 8. 比较以下各组数中的两个值大小： (1)log23.4，log28.5 (2)log0.31.8，log0.32.7 (3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1) 思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方， 所以，log23.4 解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1 ，令b2=loga5.9，则 令b1=loga5.1，则 当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9 所以，b1 举一反三： 6 . 【变式1】〔2011 天津理 7〕已知 A． B． C． D． 则〔 〕 解析：另 由图像可得 ， ，，在同一坐标系下作出三个函数图像， 又∵ 为单调递增函数， ∴ 故选C. 9. 证明函数上是增函数. 思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法. 证明：设 ∴函数f(x)=log2(x2+1)在举一反三： ，且x1 上是增函数 【变式1】已知f(logax)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性. 解：设t=logax(x∈R+， t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，假设t1 ∵ 0 10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间. 解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=t为减函数，且0 再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1 ∴ 函数y= (-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3. 类型九、函数的奇偶性 11. 判断以下函数的奇偶性. (1) (2). (1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. 解：由 所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称 又 所以函数是奇函数； 总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形. (2)解：由 所以函 又 数的定义域为R关于原点对称 8 即f(-x)=-f(x)；所以函数. 总结升华：此题定义域确实定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握. 类型十、对数函数性质的综合应用 12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)假设函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)假设函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，此题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题. f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数， 即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现， 使u能取遍一切正数的条件是. 解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R， 当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R； 当a≠0时，有 a>1.∴ a的取值范围为a>1. (2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 ∴ a的取值范围为0≤a≤1. a=0或0≤a≤1， 13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S. (1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域； (3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)假设S>2，求a的取值范围. 解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0). 并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4))， C(a+8， log2(a+8)) (a>1)，如图. ∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕 ∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8). 9 (2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2 =2log2(1+). 由于a>1时，a2+8a>9， ∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数， ∴ 0<2log2(1+)<2log2，即0 )=16· ， 由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0， +8a2>0， +8a1>0， a1-a2<0， ∴ 1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数， 于是可得f(a1)>f(a2) ∴ S=f(a)在(1，+∞)上是减函数. (4)由S>2，即得，解之可得：1 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容