立体几何题型归类总结
一、考点分析 基本图形 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①★
②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形
长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 2. 棱锥
棱锥-—有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥—-如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球
球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
★②（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）
★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切。 注：球的有关问题转化为圆的问题解决。 球面积、体积公式：（其中R为球的半径） 平行垂直基础知识网络★★★ 平行与垂直关系可互相转化 平行关系 1. 2. 3. 4. 5. 判定推论 判定 垂直关系 平面几何知识 平面几何知识 线线平行 判定 线线垂直 性质 判定 性质 性质 判定 面面垂直定义 面面垂直 线面平行 面面平行 线面垂直 异面直线所成的角，线面角,二面角的求法★★★ 1．求异面直线所成的角：
解题步骤：一找（作）:利用平移法找出异面直线所成的角；（1)可固定一条直线平移 另一条与其相交;(2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证:证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行; 三计算：通过解三角形,求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角：关键找“两足”：垂足与斜足
1
解题步骤：一找:找(作）出斜线与其在平面内的射影的夹角(注意三垂线定理的应用）; 二证：证明所找（作)的角就是直线与平面所成的角(或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角. 3求二面角的平面角 解题步骤:
一找：根据二面角的平面角的定义,找（作）出二面角的平面角;
二证：证明所找（作)的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法,垂面法)； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。 二、典型例题 考点一:三视图 1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________.
2 2 第1题2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________。
第2题 第 3 题
3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 . 俯视图 4．若某几何体的三视图(单位:cm）如图4所示，则此几何体的体积是 。 2
第4题 第5题
2 2 a 5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是，侧(左)视图 正(主)视图 则 。 2 3 左视图 正视图 6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸
（单位：cm），可得这个几何体的体积是 。 1
1 7。若某几何体
的三视图（单俯视图 20位:)如图所
示，则此几何体的体积是
8.设某几何体的三视图如图8(尺寸的长度单位为m）,20203
则该几何体的体积为_________m。 正视图 侧视图
10 10 20俯视图
3 27
题 俯视图 正 ( 主 )视图 侧(左)视图
第
第8题
9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方
形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.
2
2 2
图9
10。一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm),则该三棱柱的表面积为_____________.
图10
11. 如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为正视图 _____________。
俯视图图
图11 图12 图13
12. 如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,那么几何体的侧面积为_____________。
13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其表面积是_____________.
14。如果一个几何体的三视图如图14所示（单位长度: )， 则此几何体的表面积是_____________。
图14
15．一个棱锥的三视图如图图9—3-7，则该棱锥的全面积(单位：）_____________。
正视图 左视图 俯视图
图15
16．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.
2
图16 图17
3 17。如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为______________。
2 2 18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 ______________。
图18 考点二 体积、表面积、距离、角 注:1—6体积表面积 7-11 异面直线所成角 12-15线面角 1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________。
2。 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________。
3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为_______________。 4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的，则它的体积是原来的______________. 5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 。 6.平行六面体的体积为30，则四面体的体积等于 . 7．如图7,在正方体中，分别是，中点，求异面直线与所成角的角______________。
8。 如图8所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为,E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为_____________.
第8题 第7题 9.正方体中，异面直线和所成的角的度数是_________________.
10．如图9—1—3，在长方体中，已知，则异面直线与所成的角是_________,异面直线与所成的角的度数是______________
3
图13
11。 如图9—1-4，在空间四边形中, ,分别是AB、CD的中点，则 与所成角的大小为_____________。 12. 正方体中，与平面所成的角为 。 13．如图13在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为_______________。
14. 如图9—3—6,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为_______________.
图9-3-6 图9-3-1 D 1 15．如图9—3-1，已知为等腰直角三角形,为空间一点，且，，，则与平面所成的角为
16．如图7,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,O是底面的中心，则O到平面AB C1D1的距离为__________________. 17。一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个平面的距则该球的体积是______________。
18．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=， ,则顶点A、B间的球面距离是_________________。 19。已知点在同一个球面上,若，则两点间的球面距离是 。
20. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是_________________.
21．△ABC的顶点B在平面a内， A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC= ，AC=5，则AC与a所成的角为_________。
22．矩形ABCD中,AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D， 则四面体ABCD的外接球的体积为_____________。
23．已知点在同一个球面上，若,则两点间的球面距离是 。
24．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ .
25。已知是球表面上的点，,，， ，则球表面积等于____________.
26．已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为，则正方体的棱长为_________。 27. 一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________。 考点四 平行与垂直的证明 1. 正方体，，E为棱的中点． (Ⅰ） 求证:； (Ⅱ） 求证：平面;
4
A1 O B1 D C1 图7 的中点为，A1B1C1D1
C B A 离是4cm，
(Ⅲ)求三棱锥的体积．
2。已知正方体，是底对角线的交点。 求证：(１） C1O∥面；（2）面． 3．如图,矩形所在平面，、分别是和的中点。 (Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求证:;
（Ⅲ)若，求证：平面。
4. 如图（1),ABCD为非直角梯形,点E，F分别为上下底AB，CD上的动点,且。现将梯形AEFD沿EF折起,得到图（2)
(1)若折起后形成的空间图形满足，求证：;
（2）若折起后形成的空间图形满足四点共面，求证:平面; F D C
D 5．如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD,
E F AD//BC//FE,ABAD,M为EC的中点，
N N为AE的中点，AF=AB=BC=FE=AD M A F A B E (I） 证明平面AMD平面CDE； C A 图（1） （II) 证明平面CDE；D E B B C 图（2）
6．在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD是正三角形, 且与底面ABCD垂直，已知菱形ABCD中∠ADC＝60°，
M是PA的中点，O是DC中点. （1）求证:OM // 平面PCB； （2）求证:PA⊥CD；
（3)求证:平面PAB⊥平面COM。
P
7．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1）证明PA//平面EDB；（2)证明PB⊥平面EFD
C
M
B
D
O
A
8。正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3,点E，F分别在BB1, DD1上,且AE⊥A1B，AF⊥A1D． （1)求证：A1C⊥面AEF； (2)求二面角A—EF-B的大小； （3）点B1到面AEF的距离. 考点五 异面直线所成的角，线面角，二面角 1. 如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD,PD=AD。 求证：（1)平面PAC⊥平面PBD；
（2）求PC与平面PBD所成的角；
2。如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为,E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 _____________.
5
3．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是___________________。
4。 若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm3,则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________. 5. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中,平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点。 (1）求证:；
(2）求证：平面AEC；
（3）若，求三棱锥E－ACD的体积; (4）求二面角E－AC－D的大小。 考点六 线面、面面关系判断题 1．已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题： （1）α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β （3）若α⊥β，则l∥m (4）若l∥m,则α⊥β 其中正确的是__________________.
2. 是空间两条不同直线,是空间两条不同平面，下面有四个命题： ① ② ③ ④
其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。
3。 为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①；②;③．
其中正确的命题有_________________。 4. 对于平面和共面的直线、 (1)若则 (2)若则
（3)若则 (4）若、与所成的角相等，则 其中真命题的序号是_____________。
5。 关于直线m、n与平面与，有下列四个命题： ①若且，则; ②若且,则； ③若且，则; ④若且，则;
其中真命题的序号是_________________.
6。 已知两条直线，两个平面,给出下面四个命题： ① ② ③ ④
其中正确命题的序号是_______________。
7.给出下列四个命题， 其中假命题的个数是______________.
①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线。
6
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容