高一数学函数的单调性和反函数人教版知识精讲

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

函数的单调性和反函数

二. 学习目标：

1. 理解函数的单调性和函数单调增、减区间的意义，理解增减性的几何意义，能应用定义证明函数的单调性。

2. 能判断一些简单函数在给定区间的单调性。 3. 理解反函数的概念。

4. 明确原函数与其反函数的定义域和值域间的关系。 5. 能熟练地求一些函数的反函数。

【例题讲解】

[例1] 证明函数f(x)x1在（0，）上是增函数。 x证明：设x1、x2是（0，）上任意两个值，且x1x2

111122 f(x2)f(x1)x2 (x12)(x2x12)x2x1x1x22 (x2x1)(x2x1) 由x2x1，x2x1 故f(x)x2x2x11(x2x1)(x2x1)

x1x2x1x210，则f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1) x1x21在区间（0，）上是增函数。 xax[例2] 讨论函数f(x)2的单调性，并加以证明，其中a0。

x1axaxa(x1x2)(x1x21)解：f(x2)f(x1)2221 2x21x11(x21)(x121) （1）当x1x21时，f(x2)f(x1) （2）当1x1x21时，f(x2)f(x1) （3）当1x1x2时，f(x2)f(x1)

故函数f(x)分别在（，1），（1，1），（1，）为减函数。

ug(x)，mg(x)n[例3] 已知函数f(u)，当mun时是增函数，当axb时，

且为减函数，判断函数f[g(x)]在[a,b]的单调性。

解：任取x1，x2且ax1x2b，则u1g(x1)，u2g(x2)

由g(x)为减函数，则有g(x1)g(x2)，即u1u2，且nu1u2m 又由f(u)在[m,n]上为增函数，故有f(u1)f(u2)

即f[g(x1)]f[g(x2)]，所以函数f[g(x)]在[a,b]上为减函数

说明：已知f(u)和ug(x)，则f[g(x)]称为复合函数，复合函数单调性规律是： （1）f(u)为增函数，g(x)为增函数，则f[g(x)]为增函数。

用心 爱心 专心

（2）f(u)为增函数，g(x)为减函数，则f[g(x)]为减函数。 （3）f(u)为减函数，g(x)为增函数，则f[g(x)]为减函数。 （4）f(u)为减函数，g(x)为减函数，则f[g(x)]为增函数。 [例4] 已知f(x)82xx2，g(x)f(2x2)，求g(x)的单调区间。

解：令u2x，f(u)82uu2，则g(x)f[u(x)]，由u2x，知该函数在（，0）上是增函数，在（0，）上是减函数。

由f(u)82uu2(u1)29，则f(u)在（，1）上是增函数，在（1，）

2上是减函数，而u12x1x1或x1，u11x1

利用下表 22 1）（， （1，0） （0，1） （1，） ＋ ＋ － － u2x2 f(u) ＋ － － ＋ f[u(x)] ＋ － ＋ － 所以g(x)的单增区间为（，1），（0，1），单减区间为（1，0），（1，）

x12)（x1） [例5] 已知f(x)(x1（1）求f(x)的反函数f1(x)，并求出反函数的定义域。

（2）判断并证明f解：

1(x)的单调性。

1yx12x1)得：y（1）由y( x x1x11y 故f1(x)1x1x，由x1，则0y1，f(x)值域即f1(x)的定义域为

[0,1)

（2）设0x1x21，则0x1x21，则f1(x1)f1(x2)

12(x1x2)(1x1)(1x2)

0，即f1(x1)f1(x2)，故f(x)在[0,1)上为单调递增函数。

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 若函数y(2k1)xb在（，）上是减函数，则（ ） A. k

1111 B. k C. k D. k 2222312. 函数f(x)在（，）上是（ ）

2x12A. 增函数 B. 减函数 C. 有时增有时减 D. 无法判定

2x1(x1)3. 函数f(x)是减函数的区间是（ ）

4x(x1) A. [1,) B.（，1） C.（0，） D. 

14. 设f(x)ax2，若f(1)2，则a（ ）

用心 爱心 专心

A. 0 B. 

二. 解答题：

33 C. D. 1

224在（，2）上是增函数。 25. 证明函数f(x)x(x2)3，求f1(x3)。

用心 爱心 专心

x2x6. 已知f()3x

试题答案

x6） 用心 爱心专心一.

1. D 2. A 3. B 4. B 二.

5. 略 6. f

1x3()（3x6