数学试卷
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 点A.
关于y轴对称点的坐标为( )
B. C. D.
纳米
米
3. MERS属于冠状病毒，病毒粒子成球形，直径约为140纳米
，用科学记数法表示为( )
A. 4. 如果把A. 扩大2倍
米
B.
米
C.
米
D.
米
中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( )
B. 不变C. 缩小2倍D. 扩大4倍
5. 下列各式是最简分式的是( )A.
B.
C.
D.
6. 下列因式分解正确的是( )A. C.
B. D.
7. 下列各式从左到右的变形正确的是( )A. C.
B. D.
8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马
送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为( )
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A. C.
B. D.
9. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角
仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定，则
的度数是( )
，点D、E可在槽中滑动．若
，
A.
10. 如图，在
线相交于点P，结论：①
B. C.
，PB与CE交于点H，
D.
与
的平分
交BC于F，交AB于G，下列
中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，
；②CP平分；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有( )
A. 0个11. 计算：12. 如果分式13. 在
______.
B. 1个
______；
C. 2个
______；
______.
D. 3个
______.
的值为零，那么中，
，CD是AB边上的高，，则的度数为
14. 如图，在
作18，
中，BO平分，CO平分
若
，过点O的周长为
AC相交于点M、，MN分别与AB、的周长为12，则
______.
15. 若关于x的方程无解，则m的值是______.
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16. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别
交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为_________.
17. 整式乘法：
；
18. 因式分解：
；
19. 先化简再求值：
，其中
20. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
说明：图1、图2中仅点A，B，C在格点上．
在图1中，作在图1中，BD是
的角平分线AE；
的角平分线，作
的角平分线CF；
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在图2中，画格点H，使
在图2中，在线段BC上画一点G，使
21. 如图，在
E，
求证：若
于
；
中，，，D是AC上一点，于
，求证：
22. 某单位在疫情期间用8000元购进A、B两种口罩共3400个，已知A种口罩的单价
是B种口罩单价的
倍，且购买A种口罩的总金额是购买B种口罩总金额的3倍；
求A，B两种口罩的单价各是多少元？
若计划用不超过15000元的资金再次购进A、B两种口罩共7000个，已知A、B两种口罩的单价不变，求A种口罩最多能购进多少个？
23. 我们学习等边三角形时得到特殊直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个
锐角等于
，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，
，则
为等边三角形；②BE与CE之间
，在
中，
如图1，作AB边上的中线CE，得到结论：①的数量关系为______.
如图2，CE是且点P在加以证明．
当点D为边CB延长线上任意一点时，在怎样的数量关系？画图并直接写出答案即可．
的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边，
的内部，连接试探究线段BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并
中条件的基础上，线段BP与DP之间存在
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24. 已知点在y轴正半轴上，以OA为边作等边的解．
，其中y是方程
求点A的坐标；
如图1，点P在x轴正半轴上，以AP为边在第一象限内作等边交x轴于点C，求证
；
，连QB并延长
如图2，若点M为y轴正半轴上一动点，点M在点A的上边，连MB，以MB为边在第一象限内作等边
，连NA并延长交x轴于点D，当点M运动时，
的值是
否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：
是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项符合题意；C.是轴对称图形，故本选项不符合题意；D.是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：点故选：
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
关于y轴对称点的坐标为
3.【答案】D
【解析】解：140纳米故选：
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为
，与较大数的科学记数法
米
米
米，
不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
，其中
，n为由原数左边
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，
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，
把故选：
根据分式的基本性质求解即可．
本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解答的关键．
中的x和y都扩大2倍，那么分式的值不变，
5.【答案】A
【解析】解：A、B、C、D、故选：
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
本题考查了最简分式．熟练掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式是解题的关键．
是最简分式，故本选项符合题意；
，不是最简分式，故本选项不符合题意；
，不是最简分式，故本选项不符合题意；
，不是最简分式，故本选项不符合题意；
6.【答案】D
【解析】解：B.C.D.故选：
利用提公因式法同时结合公式法进行因式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
不能分解因式，而
，故此选项错误；
，故此选项正确．
，分解因式不彻底，故此选项错误；，故此选项错误；
7.【答案】B
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【解析】解：A、分式的分子和分母同时乘上一个不为0的数时，分式的值不改变，故A错，不符合题意；B、意；
可能等于0，
正确，分式的分子和分母同时除一个不为0的数时值不变，故B正确，符合题
C、分式的分子和分母同时加减一个相同的数，值可能会改变，故C错，不符合题意；D、故选：
根据分式的基本性质对各个选项进行判断．
本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分子与分母同时乘上或除以相同的不为0的数，值不变．
，故D错，不符合题意．
8.【答案】B
【解析】解：
规定时间为x天，
天，快马送到所需时间为
天，
慢马送到所需时间为又
快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
故选：
根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为送到所需时间为
天，再利用速度=路程
天，快马
时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出
关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的感觉．
9.【答案】D
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据
，可得
，
，根据三角形的外角性质可知，
的度数，进而求出
，根据三角形的外角性质即可求出
的度数．
解：
，
，
，，
，
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，
故选：
10.【答案】D
【解析】解：①
，
，
，，，故①正确；
②
与
点P也位于
的平分线相交于点P，的平分线上，，
故②正确；③
，BP平分
垂直平分故选：
①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质即可得到结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
，
平分
，
三线合一，故③正确；
11.【答案】
【解析】解：故答案为：
； ；；
.
；
；；
根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则即可求解．
本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
12.【答案】4
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【解析】解：根据题意，有：解得：故答案为：
，
，
，
先将分式化简，再根据分式的值为0，可知分式分子的值为0，分母的值不为0，据此作答即可．本题主要考查了分式的化简，分式有意义的条件以及分式值为0的知识，掌握分式的化简的知识是解答本题的关键．
13.【答案】
或
【解析】解：如图，当D在线段AB上时，
是AB边上的高，
，
又
，
，
，，
，
；
如图，当D在线段BA的延长线上时，
是AB边上的高，
，
又
，
，
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，，
又
，，
综上所述，故答案为：
的度数为或
，再根据三角形的内角和定理，
，再根据三角形的内角和定理，计算即
，再根据三角
，再根据三角形的外
或
，
分两种情况：当D在线段AB上时，根据题意，得出得出可得出
，再根据等边对等角，得出
的度数；当D在线段AB的延长线上时，根据题意，得出
，再根据等边对等角，得出的度数，综合即可得出答案．
形的内角和定理，得出角的性质，计算即可得出
本题考查了三角形的内角和定理、等边对等角、三角形的外角的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，分类讨论．
14.【答案】6
【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据角平分线的定义及平行线的性质证得根据BO平分
，得到
解：
平分
，
，
，，
，的周长为18，
，
的周长为12，
，
，，
，CO平分，
的周长，CO平分
，
是解决问题的关键．，且
，结合等腰三角形的判定可证得，根据
的周长即可求得
，
故答案为：
15.【答案】
或
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【解析】解：方程两边同乘：整理得：①整式方程无解：②分式方程有增根：当当
或
，，得：，
，解得：
，解得：
；
或
；，
时：整式方程无解；时：
或或
，解得：
；
综上，当故答案为：
时，分式方程无解；
将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解．
本题考查了分式方程无解问题，掌握整式方程无解或分式方程有增根时，分式方程无解是关键．
16.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接AD，AM，依据等腰三角形三线合一的性质可证明AD为形的面积为12可求得AD的长．由线段垂直平分线的性质可知
，故当A、M、D在一条直线上时，
答案.【解答】
底边上的高线，依据三角
，则
有最小值，进而求出
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解：连接AD，
是等腰三角形，点D是BC边的中点，，
，
解得
，
是线段AB的垂直平分线，
当A、M、D在一条直线上时，
的周长的最小值为
故答案为
有最小值，最小值是AD为
17.【答案】解：
；
【解析】
根据单项式乘多项式的法则计算即可；
根据多项式除以单项式的法则计算即可．
本题考查了单项式乘多项式和整式的除法，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18.【答案】解：
；
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【解析】先提公因式，再用公式法进行因式分解即可；
先提公因式，再用公式法进行因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
19.【答案】解：当
原式
时，
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：如下图：
即为所求；即为所求；点H即为所求；点G即为所求． 【解析】
根据等腰三角形的三线合一画图；
根据三角形的三条角平分线相较于一点作图；根据横向
对角线与纵向
对角线垂直作图；，作图．
根据等腰直角三角形的底角为
本题考查了作图，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
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21.【答案】证明：
，
又在
和
中
，
，
，
，，
，
≌，
由又
，
又
≌得，
，，
于F，，平分
，又，
，
，
【解析】
欲证明
，只要证明
≌
即可；
只要证明，利用等腰三角形的三线合一即可解决问题；
本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：
依题意得，解得：经检验，则
，
设B种口罩的单价为x元，则A种口罩单价为
，
元．
是方程的解，且符合题意．，
元，B种口罩单价为2元；
个，
答：A种口罩单价为
设购进A种口罩m个，则购进B种口罩依题意，得：解得：
答：A种口罩最多能购进2000个．
，
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【解析】设B种口罩的单价为x元，则A种口罩单价为元．由题意：某单位在疫情期
B两种口罩共3400个，间用8000元购进A、已知购买A种口罩的费用是购买B种口罩费用的3倍，列出分式方程，解方程即可；
B两种口罩共7000设购进A种口罩m个，由题意：计划用不超过15000元的资金再次购进A、个，已知A、B两种口罩的进价不变，列出一元一次不等式，解不等式即可．本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列
出分式方程；
找准数量关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】
①
，，
，
，
为AB边上的中线，
，，
是等边三角形；
②
；
证明如下：如图2，连接PE，
，都是等边三角形，
，
，
，
，即
，
在
和
中，，
≌
，，
，，，，；
当点D为边CB延长线上任意一点时，理由如下：连接PE，
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，，
都是等边三角形，
，
，即
，
，
在和中
则≌，，
同可知，
①见答案;
中，CE为AB边上的中线，
，
【解析】解：②在
故答案为：
见答案；见答案。
；
根据直角三角形的性质得到，，
，根据等边三角形的判定定理证明①；根据直角三角形的性
质得出②的结论；
连接PE，证明据垂直平分线的性质得到
根据题意画出图形，由
≌
，根据全等三角形的性质得到，证明结论；的证明方法解答即可．
，根
本题考查的是直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：
去分母，得解得经检验点
，
是原方程的解，；
，
，
、都是等边三角形，
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，
，
在
和
中
，，
≌，，
是等边三角形，
，，
；
结论：不变，理由：
、
，，
在
和
中
都是等边三角形，
，
，
≌，
，
，，
，
，，
即【解析】
的值不变，其值先求出方程的解为
≌
，即可求解；，可得
，进而可求
由SAS可证
，从而可证结论成立；
由SAS可证质可知
≌，根据
，可求
，
，即可求解．
，由
角的性
本题考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生
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运用定理进行推理的能力．
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