工程流体水力学第六章习题答案

第六章 量纲分析和相似原理答案

6-1由实验观测得知，如图6-1所示的三角形薄壁堰的流量Q与堰上水头H、重力加速度g、堰口角度θ以及反映水舌收缩和堰口阻力情况等的流量系数m0（量纲一的量）有关。试用π定理导出三角形堰的流量公式。

解：fQ,H,g,,m00 选几何学的量H，运动学的量g作为相互独立的物理量，有3个π项。

π1Ha1g1Q，

对1，其量纲公式为

2Ha2g2，π3Ha3g3m0

L0T0M0=L1(LT-2)1L3T-1

L:0113，T:0211

解出1π151，1，则可得 22QgH52

对π2，其量纲公式为

L0T0M0L2(LT2)2

L:022，T:022

联立解上述方程组，可得20,20,20，则可得

π2

对π3，其量纲公式为

L0T0M0L3(LT-2)3

L:033，T:023

联立解上述方程组，可得30,30,30，则可得

π3即

m0

Fπ1,π2,π3F(QgH520

0或

52,,m0)QgH52F1(,m0)

QF1(,m0)gH

54

式中，要视堰口的实际角度而定，量纲一的量m0要由实验来确定。 第十章三角形薄壁堰的理论分析解Q54m0tan2gh2与上式形状相同。 526-2 根据观察、实验与理论分析，认为总流边界单位面积上的切应力τ0，与流体的密度

ρ、动力粘度μ、断面平均流速v，断面特性几何尺寸（例如管径d、水力半径R）及壁面粗糙凸出高度Δ有关。试用瑞利法求τ0的表示式； 若令沿程阻力系数8f(Re,)，可得d08v2。

k12解：τ0v3d45

将上式写成量纲方程形式后得

dim0ML-1T-2=(ML3)1(ML-1T-1)2(LT1)3(L)4(L)5

根据量纲和谐原理可得：

M:112

L:1312345 T:223

选3、5为参变量，联立解上述方程组可得：131，223，

4235。

将上面求得的指数代入指数乘积形式的关系式可得：

0k12vd2333355

,故



，又因v3v2v23552v2v0kkf(Re,)v2 2323ddvddRe若令8f(Re,)，代入上式可得

d08v2

6-3试用π定理求习题6-2中的τ0表示式。 解：f(0,,,v,d,)0

选取d、v、ρ为基本物理量，因此有三个π项

π1d1v110 π2d2v22 π3d3v33

先求π1，其量纲式为

dimπ1L1(LT1)1(ML3)1(ML-1T2)

L:011311

T:012 M:011

55

解上述方程组可得：12,11,10，所以有π1再求π2，其量纲式为

0 v2dimπ2(L)2(LT1)2(ML3)2(ML-1T-1)

L:022321 T:021 M:021

解上述方程组可得：21，21，21，所以有

π21 dvvdRe再求π3，其量纲式为

dimπ3L3(LT1)3(ML3)3L

L:033331 T:03

M:03

解上述方程组可得：30，30，31，所以有

π3 d由此可得量纲一的量所表达的关系式为

F(或

01,,)0 v2Red00f(Re,)，或v2d若令8f(Re,)，则可得

d2 0v

8f(Re,d)v2

6-4文丘里管喉道处的流速v2与文丘里管进口断面管径d1、喉道直径d2、流体密度ρ、动力粘度μ及两断面间压差Δp有关，试用π定理求文丘里管通过流量Q的表达式。

题6-4图

解：f(v2,d1,d2,,,p)0 选取d2，v2，ρ三个基本物理量，有三个π项。

56

π1d21v211d1 π2d22v222 π3d23v233p 先求π1：

L:011311

T:01 M:01

解上述方程组可得：10，10，11，所以有

1d1 d2再求π2：

L:022321 T:021 M:021

解上述方程组可得：21，21，21，所以有

π2v2d2v2d21 Re再求π3：

L:033331 T:032 M:031

解上述方程组可得：31，32，30，所以有

π3由此可得

p 2v20

F(或

d11p,,2)d2Rev22v2pv2f(d2,Re) d1d2p1f(2,Re)

2d1pd2(,Re) gd12g=(d2,Re)2gH d12d2Qv2A2d2(,Re)2gH 4d1上式与用伯努利方程推导的结果基本相同，上式中的(57

d2,Re)，可由实验及理论分析d1

进一步确定。

6-5根据对圆形孔口恒定出流（如图所示）的分析，影响孔口出口流速的因素有：孔口的作用水头H（由孔口中心到恒定自由液面处的水深）、孔口的直径d、液体的密度ρ、动力粘度μ、重力加速度g及表面张力系数σ。试用π定理求圆形孔口恒定出流流量表示式。

解：f(v,H,,d,g,,)0

选取H，v，ρ三个基本物理量，有四个π项。

π11Hv11d

π2H2v22g π33H3v3

π444Hv4

先求π1：

L:011311

T:01 M:01

解上述方程组可得：11，10，10

π1dH 再求π2，

L:022321 T:022 M:02

解上述方程组可得：21,22,20

πgH2v2 再求π3，

L:033331 T:031 M:031

解上述方程组可得：31,31,31

π3HvHv

再求π4，

L:04434 T:042 M:041

解上述方程组可得：41,42,41

π4Hv2

由此可得

F(dH,gHv2,Hv,Hv2)0 或

58

v2HHvHv2f(,,) gHd上式中的

Hv及

Hv2分别为雷诺数及韦伯数的形式，所以可以写成

v(因流量QvA，所以

H,Re,We)2gH dHπd2(,Re,We)2gH d4Q如果令

H,Re,We)为孔口流量系数，则可得 dπQd22gH

4H由上式可知，Q与2gH成比例，且流量系数与、雷诺数Re、韦伯数We有关，为深入

d(研究找到了途径。

6-6 圆球在实际流体中作匀速直线运动所受阻力FD与流体的密度ρ、动力粘度μ、圆球与流体的相对速度u0、圆球的直径d有关。试用π定理求阻力FD的表示式。

解：f(FD,,,u0,d)0 选取d、u0、ρ为基本物理量，有二个π项。

11π1d1u0FD

π2d2u02

先求π1

2L:011311

T:012 M:011

解上述方程组可得：12,12,11，所以有

π1FD 22du0再求π2，

L:022321 T:021 M:021

解上述方程组得：21,21,21，

du0du0F1，)0 由此可得F(2D2du0Re2πd2u0或FDduf(Re)f(Re)

42π2令圆球在u0方向的投影面积Ad，而令绕流阻力系数CDf(Re)，则有

4220π21 Re59

2u0FDCDA2

上式中的绕流阻力系数CD与雷诺数Re有关，可以对此作进一步的研究。

6-7用20℃的水作模型试验，确定管径为1.2m煤气管的压强损失。煤气的密度ρ为40kg/m3，动力粘度μ为0.0002Pas，流速v为25m/s。实验室供水能力是0.075m/s。问模型该用多大比尺？实验结果如何转换成原型的压强损失？

解：可考虑按雷诺准则设计模型，λl3λQλ。

3流量比尺λQ，因受供水能力限制，需小于或等于0.075m/s，所以应为

λQ粘度比尺λQpQm25π1.2240.075pm376.99

62，20℃水的m1.00310m/s

p0.000225106624.985 煤气的pm/s510m/s，所以61.00310p40Q376.99l75.62

4.985所以，可选取模型长度比尺l75.62。注：也可按自模区设计模型，在满足几何相

似的条件下，选取模型尺寸，使其在现有供水情况下进入阻力平方区。

实验结果转换成原型的压强损失为

2pmpgpp

gml6-8有一管径dp=15cm的输油管，管长lp＝5m，管中通过的原油流量Qp＝0.18m3/s。现

用水来作模型实验，设模型与原型管径相同，且两者流体温度皆为10℃（水的运动粘度νm=0.0131cm2/s，油的运动粘度vm=0.13cm2/s），试求模型中的通过流量Qm。

解：原型中的流速 vp原型中的雷诺数 RepQpAp0.18m/s=10.191m/s 20.7850.15vpdpp=10.1910.15=117588>105 -40.1310已进入自模区，只要使模型中的雷诺数Rem≥105，且原型和模型几何相似即可。 则 Remvmdmm≥105，

1050.0131104vm≥0.873m/s

0.15Qm=vmAm=0.7830.7850.152m/s=0.0154m/s

6-9在习题6-8情况下，测得模型输水管长lm＝5m的两端压强水头差hm=试求原型输油管长lp＝100m两端的压差高度（以油柱高度表示）是多少？

解：研究压差问题，须满足欧拉准则，即

pm=3cm。mgpp2ppvpm 2vmm60

因dpdm，所以

vpvmQpQm

2pmQp0.030.182m4.10m(油柱) 22pgmgQm0.0.154pp原型输油管长lp＝100m的两端压强差为

pp1004.1020m82m(油柱) pg56-10有一直径dp＝20cm的输油管，输送运动粘度νp=40×10-6m2/s的油，其流量Qp=0.01m3/s。若在模型试验中采用直径dm＝5cm的圆管，试求：（1）模型中用20℃的水（νm=1.003×10-6m2/s）作实验时的流量；（2）模型中用运动粘度νm=17×10-6m2/s的空气作实验时的流量。

解：按雷诺准则设计模型试验，

Ql，λ（1）Qmpm，λllplm

QpQlplpQpmlm0.01171065333（2）Qmm/s1.0610m/s 6plp401020QpQpmlm0.011.00310653536.2710m/s m/s64010206-11一长为3m的模型船以2m/s的速度在淡水中拖曳时，测得阻力为50N，试求：（1）若原型船长45m，以多大速度行驶才能与模型船动力相似；（2）当原型船以上面（1）中求得的速度在海中航行时，所需要的拖曳力（海水密度为淡水的1.025倍）。该流动雷诺数很大，不需考虑粘滞力相似，仅考虑重力相似。

解：按弗劳德准则设计模型试验。

45（1）vpvmλvvλ2m/s7.75m/s

3v3pplp3FpMpaptpplpvptm（2）F 3vFmMmaml3mmlmvmtpmmtm1/2ml1/21/21/2F33llll

45拖曳力FpFFml3Fm1.02550N172.97kN

36-12建筑物模型在风速为10m/s时，迎风面压强为50N/m2，背风面压强为－30N/m2。若气温不变，风速增至15m/s时，试求建筑物迎风面与背风面压强（可用欧拉准则）。

解：按欧拉准则计算

3pp2vpppm 2vmmpm由于温度不变，所以

pppm2v 2pvm61

2迎风面压强pp15015N/m2102112.5N/m2

15背风面压强pp230N/m267.5N/m2

106-13水库以长度比尺λl=100做底孔放空模型试验，在模型上测得的放空时间tm＝12小时，试求原型上放空水库所需时间tp（可用斯特劳哈尔准则和弗劳德准则）。

解：按弗劳德准则和斯特劳哈尔准则计算。 按斯特劳哈尔准则计算：

vptplp-1vmtm lmtmλlλl-12tplpvmtmlmvptmλlλvtmλl

1212100小时按弗劳德准则：

120小时5天

λttptptmtm10λl10010

120小时=5天

1210小时6-14在设计高为1.5m，最大行驶速度为30m/s的汽车时，需要确定其正面风阻力，现用风洞进行模型试验来测定。如果风洞中最大风速为45m/s，试求模型高度应为多少？若在此风速下测得模型的风阻力为1500N，试求汽车在最大行驶速度时，其正面风阻力应为多少 ？

1解：按雷诺准则计算，设温度相同，1,vl,F1，所以有

vpvmhphm1hm hp所以汽车模型高度hm其风阻力FpFmvm1500N

hpvp1.530m451m，

6—15某废水稳定塘模型长10m，宽2m，深0.2m，模型的水力停留时间为1天，长度比尺λl=10，试求原型的停留时间是多少天。塘中水的运动粘度νp=νm=1.003×10-6m2/s。

解：先求模型中的雷诺数以判别流态。

lm10m/s1.157104m/s tm124360020.2m0.1667m 模型水力半径R220.2v4R1.15710440.166776.92模型雷诺数Rem1.00310622为流动极慢的层流，故可按雷诺准则设计模型。时间比尺λtλl10模型流速vm留时间tpRecr2000

100，原型塘停

tmλt1100天100天。

6—16某弧形闸门下出流，如图所示。现按λl=10的比尺进行模型试验。试求：（1）已

3

知原型流量Qp＝30m/s，计算模型流量Qm；（2）在模型上测得水对闸门的作用力Fm＝400N，计算原型上闸门所受作用力Fp。

解：按弗劳德准则求解

62

5λQλl2，λFλl3，所以

QmQpλQQpλl2.5303m/s2.5100.0949m3/s

FpFmF400103N400kN

63