【全国卷3】2018年全国卷3文科数学及含答案)

2018年数学试题 文（全国卷3）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）

1，2，则A1．已知集合Ax|x1≥0，B0，B（ ）

C．1，2

1，2 D．0，A．0

B．1

2．1i2i（ ）

A．3i

B．3i

C．3i

D．3i

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

14．若sin，则cos2（ ）

38A．

9 B．

7 9

7C．

9

8D．

95．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）

A．0.3

6．函数 fxA．

tanx的最小正周期为（ ） 21tanx B．0.4 C．0.6 D．0.7

 4 B．

 2 C． D．2

7．下列函数中，其图像与函数ylnx的图像关于直线x1对称的是（ ）

A．yln1x

B．yln2x

C．yln1x

D．yln2x

1

8．直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x2y22上，则ABP面积的取值范围是（ ）

A．2，6

8 B．4，2

C．2， 3222，D． 329．函数yx4x22的图像大致为（ ）

x2y210．已知双曲线C：221（a0，b0）的离心率为2，则点4，0到C的渐近线的

ab距离为（ ）

A．2

B．2

C．32 2 D．22 a2b2c211．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC的面积为，则C4（ ）

A．

 2 B．

 3 C．

 4 D．

 612．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积

为93，则三棱锥DABC体积的最大值为（ ）

2

A．123 B．183 C．243 D．543

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c∥2a+b，则________．

14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，

该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．

2xy3≥0，115．若变量x，y满足约束条件x2y4≥0，则zxy的最大值是________．

3x2≤0.16．已知函数fxln1x2x1，fa4，则fa________．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分。 17．（12分）

等比数列an中，a11，a54a3． ⑴求an的通项公式；

⑵记Sn为an的前n项和．若Sm63，求m．

18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

3

⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

第一种生产 方式 第二种生产 方式

⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

2PK≥k0.0500.0100.0012K附：，．

k3.8416.63510.828abcdacbd超过m 不超过m nadbc2

19．（12分）

如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧的点．

⑴证明：平面AMD⊥平面BMC；

⑵在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

所在平面垂直，M是

上异于C，D 4

20．（12分）

x2y2已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点．线段AB的中点为

43M1，mm0．

1⑴证明：k；

2⑵设F为C的右焦点，P为C上一点,且FPFAFB0．证明:2FPFAFB ．

21．（12分）

ax2x1已知函数fx．

ex⑴求由线yfx在点0，1处的切线方程； ⑵证明：当a≥1时，fxe≥0．

5

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

xcos在平面直角坐标系xOy中，（⊙O的参数方程为ysin为参数），过点0，2且倾斜角为的直线l与⊙O交于

A，B两点．

⑴求的取值范围；

⑵求AB中点P的轨迹的参数方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数fx2x1x1． ⑴画出yfx的图像；

⑵当x∈0，， fx≤axb，求ab的最小值．

6

参考答案

一、选择题 1．答案：C

解答：∵A{x|x10}{x|x1}，B{0,1,2}，∴A2．答案：D

解答：(1i)(2i)2ii3i，选D. 3．答案：A

解答：根据题意，A选项符号题意； 4．答案：B

解答：cos212sin5．答案：B

解答：由题意P10.450.150.4.故选B. 6．答案：C 解答：

sinxtanxcosxsinxcosxsinxcosx1sin2x，∴f(x)的周期f(x)sin2xsin2xcos2x1tan2x21cos2x2B{1,2}.故选C.

21.故选B.

2979T2.故选C. 27．答案：B

解答：f(x)关于x1对称，则f(x)f(2x)ln(2x).故选B. 8．答案：A 解答：

由直线xy20得A(2,0),B(0,2)，∴|AB|222222，圆(x2)2y22的圆心为(2,0)，∴圆心到直线xy20的距离为到直线xy20的距离的取值范围为222d222222，∴点P112，即2d32，∴

SABP1|AB|d[2,6]. 29．答案：D

7

解答：

当x0时，y2，可以排除A、B选项；

又因为y4x2x4x(x322)(x)，则f(x)0的解集为22(,2222)U(0,)，f(x)单调递增区间为(,)，(0,)；f(x)0的解集为2222(2222,0)U(,)，f(x)单调递减区间为(,0)，(,).结合图象，可知D选2222项正确.

10．答案：D 解答： 由题意e为dcb2，则1，故渐近线方程为xy0，则点(4,0)到渐近线的距离aa|40|22.故选D. 211．答案：C 解答：

SABC∴C1a2b2c22abcosC1abcosC，又SABCabsinC，故tanC1，

44224.故选C.

12．答案：B 解答：

如图，ABC为等边三角形，点O为A，B，C，D外接球的球心，G为ABC的重心，由SABC93，得AB6，取BC的中点H，∴AHABsin6033，∴2AH23，∴球心O到面ABC的距离为d42(23)22，∴三棱锥31DABC体积最大值VDABC93(24)183. 3AG 8

二、填空题 13．答案：解答：

1 21. 22ab(4,2)，∵c//(2ab)，∴1240，解得14．答案：分层抽样

解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法. 15．答案：3 解答：

由图可知在直线x2y40和x2的交点(2,3)处取得最大值，故

1z233.

3

16．答案：2

9

解答：fxln1x2x1(xR)，

f(x)f(x)ln(1x2x)1ln(1x2x)1ln(1x2x2)22，

∴f(a)f(a)2，∴f(a)2. 三、解答题

n1n117．答案：（1）an2或an(2)；（2）6.

解答：（1）设数列{an}的公比为q，∴qn1n1∴an2或an(2).

2a54，∴q2. a312n1(2)n1n21或Sn[1(2)n]， （2）由（1）知，Sn12123mm∴Sm2163或Sm[1(2)]63（舍），

13∴m6. 18． 解答：

（1）第一种生产方式的平均数为

x184，第二种生产方式平均数为x274.7，∴

x1x2，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的

效率更高.

（2）由茎叶图数据得到m80，∴列联表为

n(adbc)240(151555)2K106.635(ab)(cd)(ac)(bd)20202020（3），∴有

299%

的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．

解答：（1）∵正方形ABCD半圆面CMD，

10

∴AD半圆面CMD，∴AD平面MCD.

∵CM在平面MCD内，∴ADCM，又∵M是半圆弧CD上异于C,D的点，∴CMMD.又∵ADIDMD，∴CM平面ADM，∵CM在平面BCM内，∴平面BCM平面ADM.

（2）线段AM上存在点P且P为AM中点，证明如下：

连接BD,AC交于点O，连接PD,PB,PO；在矩形ABCD中，O是AC中点，P是

AM的中点；

∴OP//MC，∵OP在平面PDB内，MC不在平面PDB内，∴MC//平面PDB.

20． 解答：

（1）设直线l方程为ykxt，设A(x1,y1),B(x2,y2),

ykxt2222联立消y得(4k3)x8ktx4t120， xy21342222则64kt4(4t12)(34k)0，

得4k23t2…①，

8kt6t2yyk(xx)2t2m， ，12122234k34k∵m0，∴ t0且k0.

且x1x234k2且t…②.

4k(34k2)2由①②得4k3， 216k2∴k11或k. 22 11

1. 2uuruuruurruuruuurr（2）FPFAFB0，FP2FM0,

∵k0，∴ k∵M(1,m)，F(1,0)，∴P的坐标为(1,2m).

14m2331，∴m，M(1,)， 由于P在椭圆上，∴ 4324x12y12x22y221，1， 又4343两式相减可得

y1y23xx12，

x1x24y1y2又x1x22，y1y2直线l方程为y即yx3，∴k1， 23(x1)， 47， 47yx4∴2， 2xy134消去y得28x56x10，x1,2214321，

14uuruur|FA||FB|(x11)2y12(x21)2y223，

uur33|FP|(11)2(0)2,

22∴|FA||FB|2|FP|. 21．

ax2x1解答：（1）由题意：fx得

ex(2ax1)ex(ax2x1)exax22axx2f(x)， x2(e)ex 12

∴f(0)22，即曲线yfx在点0,1处的切线斜率为2，1∴y(1)2(x0)，即2xy10；

（2）证明：由题意：原不等式等价于：ex1ax2x10恒成立；令

g(x)ex1ax2x1，

∴g(x)ex12ax1，g(x)ex12a，∵a1，∴g(x)0恒成立，∴g(x)在(,)上单调递增，∴g(x)在(,)上存在唯一x0使g(x0)0，∴ex012ax010，即ex012ax01，且g(x)在(,x0)上单调递减，在(x0,)上

单调递增，∴g(x)g(x0).

又g(x0)ex01ax02x01ax02(12a)x02(ax01)(x02)，

111111g()ea1，∵a1，∴0ea1e1，∴x0，∴g(x0)0，得证.

aa综上所述：当a1时，fxe0. 22． 解答：

（1）eO的参数方程为xcos22，∴eO的普通方程为xy1，当90时，

ysin直线：l:x0与eO有两个交点，当90时，设直线l的方程为yxtan2，由直线l与eO有两个交点有|002|1tan21，得tan21，∴tan1或tan1，∴

4590或90135，综上(45,135).

（2）点P坐标为(x,y)，当90时，点P坐标为(0,0)，当90时，设直线l的

22xy1①22方程为ykx2，A(x1,y1),B(x2,y2)，∴有x(kx2)1，整理

ykx2② 13

2kx③222k221k22yy得(1k)x22kx10，∴x1x2，，∴ 121k21k2y2④1k2得kx2222代入④得xy2y0.当点P(0,0)时满足方程xy2y0，∴ABy2y0，即x2(y22中点的P的轨迹方程是xy221)，由图可知，22A(22222,)，则y0，故点P的参数方程为,)，B(222222cosx2（为参数，0）. y22sin22

23． 解答：

13x,x21（1）f(x)x2,x1，如下图：

23x,x1 14

（2）由（1）中可得：a3，b2， 当a3，b2时，ab取最小值， ∴ab的最小值为5.

15