最新课程标准：(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
知识点一 集合的概念
在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．
知识点二 元素与集合的表示及关系 1．元素与集合的符号表示
元素：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.表示
集合：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
2．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 示例 若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江a属于集合A a是集合 A中的元素 a不是集合 A中的元素 a∈A a不属于集合A a∉A ∉A 状元随笔 对元素和集合之间关系的两点说明
1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A ”与“a∉A ”这两种结果．
2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 3．集合中元素的特征 特征 确定性 含义 集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准 给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现 集合中的元素无先后顺序之分 互异性 无序性 4.空集
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一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 5．几种常见的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N或N＋； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记作R. 6．集合的分类
集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．
知识点三 集合的表示 1．列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．
这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法． 状元随笔
1．列举法表示集合时的4个关注点 (1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等； (3)不能出现未被说明的字母． 知识点四 区间及其表示 1．区间的几何表示
定义 名称 符号 数轴表示 *
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{x|a≤x≤b} {x|a 定义 符号 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x [基础自测] 1．下列能构成集合的是( ) A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．香港的高楼 解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 答案：C 2．集合{x∈N* |x－3<2}的另一种表示法是( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 解析：∵x－3<2，x∈N* ， ∴x<5，x∈N* ， - 3 - ∴x＝1,2,3,4.故选B. 答案：B 3．若1∈{a，a＋1，a}，则a的值是( ) A．0 B．1 C．－1 D．0或1或－1 解析：由已知条件1∈{a，a＋1，a}知有三种情况，若a＝1，则a＋1＝2，a＝1.则a＝ 2 2 2 a2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1. 若a＋1＝1，即a＝0，则a＝0.与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0. 若a＝1，即a＝±1，当a＝－1时，符合题意．综上知a＝－1. 答案：C 4．用区间表示下列集合： 1 (1)x－≤x<52 2 2 ＝________； (2){x|x<1或2 解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－≤x<5}＝ 2 －1，5. 2 (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2 2 题型一 集合的概念[经典例题] 例1 下列对象能构成集合的是( ) A.高一年级全体较胖的学生 B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1 C．全体很大的自然数 D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D. 【答案】 D - 4 - 构成集合的元素具有确定性． 方法归纳 判断一组对象组成集合的依据 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． 跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( ) A．所有的正数 B．等于2的数 C.接近于0的数 D．不等于0的偶数 解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C. 答案：C C中元素不确定． 题型二 元素与集合的关系[经典例题] 例2 (1)下列关系中，正确的有( ) 1 ①∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q. 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 1 【解析】 (1)是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因 2此，①②③正确，④错误． (2)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C a分类处理： - 5 - ①a＝0，a＝1，a＝2； ②a＝3，a＝4 还讨论吗？ 方法归纳 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件． 跟踪训练2 下列说法正确的是( ) A.0∉N B.2∈Q C．π∉R D.4∈Z 解析：A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.2是无理数，Q是有理数集合， 2∉Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.4＝2,2是正整数，则4∈Z，故本选项正确．故选D. 答案：D N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集． 题型三 集合的表示[教材P7例题1] 例3 用适当的方法表示下列集合： (1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A； (2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B. 【解析】 (1)因为0和1是方程x(x－1)＝0的解，而且这个方程只有两个解，所以A＝{0,1}． (2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此 B＝{(x，y)|x＞0，y＞0}. 找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同特征． 教材反思 本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择 - 6 - 相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素． 跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合： 2x－3y＝14， (1)方程组 3x＋2y＝8 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x－2x＋1＝0的实数根组成的集合； (4)二次函数y＝x＋2x－10的图像上所有的点组成的集合． 2x－3y＝14， 解析：(1)解方程组 3x＋2y＝8，x＝4， x，y| y＝－2 2 2 x＝4， 得 y＝－2， 故解集可用描述法表示为 ，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.可用列举法表示为{3,5,7,11}． (3)方程x－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x－2x＋1＝0}． (4)二次函数y＝x＋2x－10的图像上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x， 2 2 2 y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}． 易错点 忽略集合中元素的互异性出错 2 例 含有三个元素的集合a，，1，也可表示为集合{a，a＋b,0}，求a，b的值． ba ba，，1＝{a2，a＋b,0}， 【错解】 ∵ a ∴ba··1＝a·a＋b·0，a2 ba＋＋1＝a2＋a＋b＋0，a a＝1，解得 b＝0 a＝－1， 或 b＝0. 2 【正解】 ∵a，，1＝{a，a＋b,0}， ba - 7 - ba＋＋1＝a＋a＋b＋0，a∴ba·a·1＝a·a＋b·0， 22 解得 a＝1，b＝0 或 a＝－1，b＝0. 由集合中元素的互异性，得a≠1. ∴a＝－1，b＝0. 【易错警示】 错误原因 纠错心得 含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素错解忽略了集合中元素的互异性，当a＝1时，与集合的关系、集合相等，解题时需要根据在一个集合中出现了两个相同的元素 集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论 课时作业 1 一、选择题 1．已知集合A中元素x满足－5≤x≤5，且x∈N，则必有( ) A．－1∈A B．0∈A C.3∈A D．1∈A 解析：x∈N，且－5≤x≤5，所以x＝1,2.所以1∈A. 答案：D * * x＋y＝52．将集合x，y 2x－y＝1 A．{2,3} B．{(2,3)} C．{(3,2)} D．(2,3) x＋y＝5， 解析：解方程组 2x－y＝1， 用列举法表示，正确的是( ) x＝2，得y＝3. - 8 - 所以答案为{(2,3)}． 答案：B 3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( ) A．2 B．2或4 C．4 D．0 解析：集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A， 所以a＝2， 或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4， 综上所述，a＝2或4.故选B. 答案：B 4．下列集合的表示方法正确的是( ) A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5} C．{全体整数} D．实数集可表示为R 解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”意思重复． 答案：D 二、填空题 1 5．给出下列关系：(1)∈R；(2)5∈Q；(3)－3∉Z；(4)－3∉N，其中正确的是________． 31 解析：是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理 3数，(4)正确． 答案：(1)(4) 6．用区间表示下列数集． (1){x|x≥2}＝________； (2){x|3 (3)(1,2)∪(2，＋∞)． 答案：(1)[2，＋∞) (2)(3,4] (3)(1,2)∪(2，＋∞) 12 ∈N7．已知集合A＝xx∈N，6－x ，用列举法表示集合A为________． - 9 - 解析：(6－x)是12的因数，并且x∈N，解得x为0,2,3,4,5. 答案：{0,2,3,4,5} 三、解答题 8．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 解析：因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0. 此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. 9．用适当的方法表示下列集合． (1)方程x(x＋2x＋1)＝0的解集； (2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合． 解析：(1)因为方程x(x＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}． (2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}． 2 2 [尖子生题库] 10．下列三个集合： ①{x|y＝x＋1}； ②{y|y＝x＋1}； ③{(x，y)|y＝x＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？ 解析：(1)它们是不相同的集合． (2)集合①是函数y＝x＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x＋1}＝R.集合②是函数y＝x＋1的所有函数值y组成的集合． 由二次函数图像知y≥1， 所以{y|y＝x＋1}＝{y|y≥1}． 集合③是函数y＝x＋1图像上所有点的坐标组成的集合． - 10 - 2 2 2 2 2 2 22 - 11 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容