初中数学专题训练--圆--三角形的内切圆

例 如图，△ABC的内心为I，外心为O，且∠BIC=115°，求∠BOC的度数． 解：∵I为△ABC的内心， ∴∠IBC=

A11∠ABC，∠ICB=∠ACB． 22∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°．

∴∠ABC+∠ACB=130°． ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=50°．

B又O是△ABC的外心，∴∠BOC=2∠A=100°

说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+

OIC1∠A；∠BOC=4∠BIC-360°． 2例 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长． 分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解． 解：由勾股定理得：BCAB2AC23

连结OA、OB、OC，设⊙O的半径为r，则：

11(ABBCCA)r，又S△ABCACBC． 2211∴(ABBCCA)rACBC， 22ACBC431． ∴rABBCCA534S△ABC答：直角三角形内切圆的半径为1． 说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度．

例 （陕西省，2001）如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于D，交△ABC的外接圆于点E．

（1）求证：IE=BE；

（2）若IE=4，AE=8，求DE的长． 证明：（1）连结BI，

1（∠BAC+∠ABC）， 211 ∠IBE=∠IBC+∠EBC=∠ABC+∠EAC=（∠ABC+∠BAC），

22∵∠BIE=∠BAI+∠ABI=

∴∠BIE=∠IBE

∴IE=BE 解：（2）∵I是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE， 又∵∠DBE=∠CAE，

∴∠BAE=∠DBE，又∵∠E为公共角， ∴△ABE∽△BDE，∴

AIBDECAEBE2，∴BEAEDE BEDEIE2422． ∴IEAEDE，∴DEAE82说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B组第3题的变形与结合；（3）本题为

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中档题．

典型例题四

已知：如图，设ABC为Rt，C90，以AC为直径作⊙O交AB与D，设E是BC的中点，连结OD、OE，求证：DEOD.

连结CD.

AC为⊙O的直径，D在⊙O上， CDAB，ADC90，

又E是BC的中点，BDC90， CEDEBE， EDCECD.

BCAC，C是半径的外端点， BC是⊙O的切线，

ECDA EDCA. 又ODOC， ODCOCD

证明

AOCD90， EDCODC90，

ODEEDCODC90. DEOD.

说明：本题证到EDCA时，也可说明DE是⊙O的切线，尽而说明DEOD.

典型例题五

例 已知：如图，在ABC的外接圆中，D是

的中点，AD交BC于点E，ABC 的

平分线交AD于点F.（1）若以每两个相似三角形为一组，试问图中有几组相似三角形，并且逐一写出；（2）求证：FDADED.

2

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解 （1）有三组相似三角形：AEC与BED；BDE与ADB；AEC与

ABD.

（2）∵D是

中点，∴BADCADDBC

ABFCBF,DBCCBFABFBAD.即DBFDFB.

∴DBDF.

DBEDAB,DD,DBE∽DAB.DB:DEDA:DB.

DB2ADED.DBDF,DFADED.2

说明：本题考查三角形内心的性质，解题关键是熟练运用三角形内心的性质.易错点是找不到证明DBDF的解题思路.

典型例题六

例 如图，等腰梯形ABCD中，AB//DC,AB21cm,CD9cm,DA10cm.⊙O1与⊙O2分别为ABD和BCD的内切圆，它们的半径分别为r1,r2，则

r1的值是（ ）. r2

7879 B． C． D． 4334解 过D作DEAB于E，CFAB于F.

A．

∵梯形ABCD为等腰梯形，AB//DC,AB21cm,CD9cm.

AE2196.DE102628.2BE21615.BD1528217.12ABDE

2r1ADADBD1221872 (cm).121172精品设计

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7r7同理，r22（cm）.∴12.∴选A.

r224说明：本题考查三角形内切圆半径的求法，解题关键作辅助线，求出三角形的边长和高线长.易错点是企图求出

r1的而使思路受阻. r2典型例题七

例 （山西省，1998） 如图，已知I为ABC的内心，射线AI交ABC的外接圆于D，交BC边于点E.（1）求证：IDBD；（2）设ABC外接圆半径

R3,ID2,ADx,DEy.当点A在优弧

系式，并指出自变量的取值范围.

上运动时，求函数与自变量x间的函数关

证明 （1）连结BI.∵I是ABC的内心， ∴ABIIBC,BADDAC. 又DACDBC,BADDBC.

∴ABIBADIBCDBC.即 BIDIBD.IDBD. 解 （2）在ABD和BDE中，BADDBE,BDAEDB ∴ABD∽BDE.∴

2BDDE. ADBD又BDID,IDADDE.

4ID2,ADx,DEy,y.

xBDAD2R,2x6.∴自变量x的取值范围是2x6.

说明： 本题考查三角形内心的性质.解题关键是作辅助线并灵活运用三角形内心的性质，易错点是忽视自变量的取值范围或求错自变量的取值范围.

选择题

1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ）

（A）梯形 （B）菱形 （C）矩形 （D）平行四边形 2、 菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为（ ）

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（A）

22553 （B）2 （C）2 （D）3 33223、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）

（A）70° （B）110° （C）120° （D）130° 4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（ ）

（A）1∶2∶3 （B）1∶2∶3 （C）1∶3∶2 （D）1∶2∶3 5、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ）

（A）矩形 （B）菱形 （C）正方形 （D）平行四边形 参考答案：BDBDC

填空题

1. 等边三角形的边长为4，则外接圆的半径为________，内切圆半径为______，内切圆半径：高：外接圆半径=__________.

2. ABC中，内切圆与AB，BC，CA相切于F，D，E，若A40，则

EOF______，EDF______，BOC______.

3. ABC的A50，B80，O是ABC的内心，则AOB______.

4. 内切圆的半径为r的等边三角形的面积为_________

5. 在ABC中，若C90，A30，AC3，则内切圆的直径为________.

BC长为30cm，AC分别为D、6.若ABC的BC边上的高为AH，直线DE//BC交AB、

E，以DE为直径的半圆与BC切于F，若此半圆的面积是18πcm2，则AH_____cm.

7. 在ABC中，I为内心，若A70，则BIC_______.

8. 已知：等边三角形的边长为4，则它的内切圆与外接圆组成的圆环面积是________.

答案: 1.

423，3，1:2:3 2. 140，170，110 3. 115 4. 33r2 5. 336. 10 337.125 8. 4.

解答题

1. 画一个边长为3cm的等边三角形，在画出它的内切圆． 2.（山西省，1998）如图，已知点I为△ABC的内心，射线AI交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E． (1)求证：ID=BD；

(2)设△ABC外接圆半径R=3，ID=2，AD=x，DE=y，当点A在优弧

上运动时，求函数y与自变量x间的函数关系

BDAIEC式，并指出自变量的取值范围．

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3．已知点I为ABC的内心，如果ABCACB100，求BIC的度数。 4．已知：⊙O的半径为R，求它的外切等边三角形的周长和面积。

5．如图，RtABC的内切圆⊙O切斜边AB于点D，切BC于点F，BO的延长线交AC于点E，求证：BOBCBDBE

6．如图，在ABC中，ACBC，E是内心，AE的延长线交ABC的外接圆于D，求证：（1）BEAE，（2）

ABAE ACED

答案： 1. 略

2. 提示：（1）与典型例题2一样；（2）由IDADDE，∴y∴自变量x的取值范围是24．63R，33R

5．连结OD，OF证BOD∽BEC 6．（1）证CABCBA（2）证ABC∽EBD

224，∵BD