2017-2018学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ） A．1
B．2
C．
D．﹣
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（ ） A．
B．
C．
D．1
3．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN=1，则S△ABC为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（ ）
A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m
5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（ ）
A．
B．2 =
C．
D．6
7．如图，在⊙O中，，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（ ）
A．14
B．11 C．6 D．3
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 ．
10．AB为弦，OC⊥AB，如图所示，圆O的半径为5，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是 ．
11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于 m．
12．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 ．
13．“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，如图，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．
，
14．A、B、C是小正方形的顶点，如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的正弦值为 ．
15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=
，x2=
，则此二次函数图象的对称轴为 ．
16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：⊙O．
求作：⊙O的内接正方形． 作法：如图．
（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点； （2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点； （3）连接AB、BC、CD、DA．
∴四边形ABCD为所求．
请回答：该尺规作图的依据是 （写出两条）．
三、解答题（本题共68分） 17．（5分）计算：
tan30°﹣cos60°+sin45°．
18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值： x y … … ﹣1 m ﹣ 0 ﹣1 1 ﹣2 2 ﹣1 3 2 … … ﹣ ﹣ （1）二次函数图象的顶点坐标是 ；
（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是 ． 19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC． （1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．
20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象． （1）结合图象信息，求此二次函数的表达式； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围： ．
21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．
22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E． （1）求线段CD的长； （2）求cos∠ABE的值．
23．（5分）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A（1，n）． （1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；
（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x的取值范围为 ． 24．（5分）中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45
米，AC=18米，求直线隧道MN的长．
25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）． （1）填空：c= （用含b的式子表示）． （2）b＜4．
①求证：抛物线与x轴有两个交点；
②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围 ；
（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式． 26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线． （1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O； （2）求证：BC为⊙O的切线；
（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．
27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．
（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由． （2）直接写出DE的最小值．
28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y
﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 ； ②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为 ；
（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等． ①直接写出m= ；（用含c的式子表示） ②求此二次函数的表达式．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为 ．
2017-2018学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ） A．1
B．2
C．
D．﹣
【分析】把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于a的方程，可求得a的值． 【解答】解：
∵点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上， ∴2=a×（﹣1）2，解得a=2， 故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（ ） A．
B．
C．
D．1
【分析】根据正弦的定义列式计算即可． 【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC， ∴sinA=
=，
故选：A．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN=1，则S△ABC为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
N分别为AC、BC的中点可得出MN∥AB、AB=2MN，【分析】由M、进而可得出△ABC∽△MNC，
根据相似三角形的性质结合S△CMN=1，即可求出S△ABC的值． 【解答】解：∵M、N分别为AC、BC的中点， ∴MN∥AB，且AB=2MN， ∴△ABC∽△MNC， ∴
=（
）2=4，
∴S△ABC=4S△CMN=4． 故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC∽△MNC是解题的关键．
4．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（ ）
A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m
【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC）．在△ABC中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AC的长，进而求得地毯的长度． 【解答】解：如图，
由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC， 即地毯的总长度至少为（AC+BC），
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°． ∵tanA=
，
．
∴AC=BC÷tan30°=2∴AC+BC=2故选：B．
+2．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角△ABC的直角边的和．
5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积=|k|，再根据图象所在象限求出k的值既可．
【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积=|k|， 即|k|=2， 解得，k=±4，
由于函数图象位于第一、三象限， 故k=4， 故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 6．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（ ）
A．
B．2
C．
D．6
【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长．
【解答】解：在△ADC和△ACB中， ∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）； ∴AC：AB=AD：AC， ∴AC2=AB•AD，
∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5， ∴AC2=5×2=10， ∴AC=
．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：
①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）； ②相似三角形的对应边成比例． 7．如图，在⊙O中，
=
，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：
∵在⊙O中， =，
∴∠AOC=∠AOB， ∵∠AOB=50°， ∴∠AOC=50°，
∴∠ADC=∠AOC=25°， 故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（ ）
A．14 B．11 C．6 D．3
【分析】首先由y=2x2﹣4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，所以CD=14﹣6=8，又DE=3，所以可知杯子高度． 【解答】解：∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6， ∴抛物线顶点D的坐标为（1，6）， ∵AB=4，
∴B点的横坐标为x=3，
把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14， ∴CD=14﹣6=8， ∴CE=CD+DE=8+3=11． 故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 y=﹣x2+1（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可． 【解答】解：抛物线解析式为y=﹣x2+1（答案不唯一）． 故答案为：y=﹣x2+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．
10．AB为弦，OC⊥AB，如图所示，圆O的半径为5，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是 8 ．
【分析】如图，连接OA；首先求出OE的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．
【解答】 解：如图，连接OA； OE=OC﹣CE=5﹣2=3； ∵OC⊥AB， ∴AE=BE；
由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2， ∵OA=5，OE=3， ∴AE=4，AB=2AE=8． 故答案为8．
【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题；作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键．
11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于 6 m．
【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB． 【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE， ∴
，
∵BE=2m，CE=1m，CD=3m， ∴
，
解得：AB=6 故答案为：6；
【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
12．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 x1=﹣2，x2=1 ．
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，
，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．
【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1）， ∴方程组
的解为
，
，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1． 故答案为x1=﹣2，x2=1．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣
），对称轴直线x=﹣
．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．
，，
13．“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，如图，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 5π ．
【分析】根据扇形的面积公式代入，再求出即可． 【解答】解：由扇形面积公式得：S=故答案为：5π；
【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S=14．A、B、C是小正方形的顶点，如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的正弦值为 ． ．π，
【分析】首先利用勾股定理计算出AB2，BC2，AC2，再根据勾股定理逆定理可证明∠BCA=90°，然后得到∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数可得∠ABC的正弦值． 【解答】解：AB2=32+12=10，BC2=22+12=5，AC2=22+12=5， ∴AC=CB，BC2+AC2=AB2， ∴∠BCA=90°， ∴∠ABC=45°， ∴∠ABC的正弦值为故答案为：
．
．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数．
15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=
，x2=
，则此二次函数图象的对称轴为 直线x=﹣2 ．
【分析】，根据两交点的横坐标和抛物线关于对称轴对称得出二次函数图象的对称轴是直线x=（x1+x2），代入求出即可．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=
，x2=
，
∴此二次函数图象的对称轴是直线x=（x1+x2）=﹣2， 故答案为：直线x=﹣2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：两交点关于对称轴对称． 16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：⊙O．
求作：⊙O的内接正方形． 作法：如图．
（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点； （2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点； （3）连接AB、BC、CD、DA． ∴四边形ABCD为所求．
请回答：该尺规作图的依据是 相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角 （写出两条）．
【分析】由AC、BD为直径且AC⊥BD知AB=BC=CD=DA，其依据为相等的圆周角所对的弦相等；
再由AC为直径可知∠ABC=90°，其依据为“直径所对圆周角为直角”，由正方形的判定即可得．
【解答】解：过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点， 则AC为⊙O的直径，
过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点，
∴BD也是⊙O的直径，且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， ∴AB=BC=CD=DA（相等的圆周角所对的弦相等）， 由AC为直径可知∠ABC=90°（直径所对圆周角为直角）， 则四边形ABCD为正方形（有一内角为直角的菱形是正方形）， 故答案为：相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆心角定理、圆周角定理及正方形的判定．
三、解答题（本题共68分） 17．（5分）计算：
tan30°﹣cos60°+sin45°．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式==+
．
×
﹣+
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算． 18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值： x y … … ﹣1 m ﹣ 0 ﹣1 1 ﹣2 2 ﹣1 3 2 … … ﹣ ﹣ （1）二次函数图象的顶点坐标是 （1，﹣2） ；
（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是 n＞﹣3 ． 【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的顶点坐标． （2）在y=x+n中，令x=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围． 【解答】解：（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得
，解得
，
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2， ∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2）， （2）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时， ∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，
故答案为：（1）（1，﹣2），（2）n＞﹣3
【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键． 19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．
【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；
（2）根据相似三角形的性质，可得答案． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC． ∵∠A=∠BDC， ∴△ABD∽△DCB；
（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15， ∴
=
，即
=
，
解得DB=10， DB的长10．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．
20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象． （1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；
（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围： x＜﹣1或x＞3 ．
【分析】（1）根据顶点坐标设y=a（x﹣1）2﹣4，利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出图象在x轴上方的图象的自变量的取值范围即可； 【解答】解：（1）∵顶点坐标（1，﹣4） ∴设y=a（x﹣1）2﹣4，
将（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2﹣4，得 4a﹣4=0 解得，a=1，
∴二次函数表达式y=（x﹣1）2﹣4，
（2）观察图象可知当y＞0时，的取值范围x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．
【分析】由在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC=6cm，利用勾股定理，即可求得BC的长，又由∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得AD、BD的长；
【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， ∵AB=10cm，AC=6cm， ∴BC=
=8（cm），
∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D， ∴
=
，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD=AB•cos45°=10×
=5
（cm）．
【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的
垂线，垂足为点E． （1）求线段CD的长； （2）求cos∠ABE的值．
【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA=三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；
=，则可计算出AB=10，然后根据直角
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S
△BDC
=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=
，然后在Rt△BDE中利用余弦的
定义求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°， ∴sinA=而BC=8， ∴AB=10， ∵D是AB中点， ∴CD=AB=5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8， ∴AC=
=6，
=，
∵D是AB中点， ∴BD=5，S△BDC=S△ADC，
∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC， ∴BE=
=
，
=
=
，
在Rt△BDE中，cos∠DBE=即cos∠ABE的值为
．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
23．（5分）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A（1，n）． （1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；
（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x的取值范围为 x＜0或1＜x＜4 ．
【分析】（1）将A（1，n）代入y=﹣x+5，求出n=4．将A（1，4）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，即一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围．
【解答】解：（1）将A（1，n）代入y=﹣x+5， 得，n=﹣1+5=4．
将A（1，4）代入y=中， 得，k=1×4=4，
故反比例函数的表达式为y=；
（2）当x＜0或1＜x＜4时，反比例函数的值大于一次函数的值． 故答案为x＜0或1＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求反比例函数的解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
24．（5分）中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．
【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵∴
，
，
又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ANM， ∴∵BC=45 ∴MN=3000，
答：直线隧道MN长为3000米．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
，
25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）． （1）填空：c= 2b﹣4 （用含b的式子表示）． （2）b＜4．
①求证：抛物线与x轴有两个交点；
②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围 ﹣1＜b≤0 ；
（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）①只要证明△＞0即可； ②构建不等式即可解决问题；
（3）利用配方法求出顶点坐标，再代入直线的解析式，转化为方程即可解决问题； 【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）
∴0=4﹣2b+c， ∴c=2b﹣4， 故答案为2b﹣4
（2）当b＜4时
①△=b2﹣4•1•c=b2﹣4（2b﹣4）=（b﹣4）2， ∵b＜4
∴（b﹣4）2＞0 即△＞0，
∴当b＜4时，抛物线与x轴有两个交点． ②由题意：﹣＜﹣≤﹣4或0≤﹣＜， 解得：8≤b＜9或﹣1＜b≤0， ∵b＜4， ∴﹣1＜b≤0， 故答案为﹣1＜b≤0．
（3）由y=x2+bx+c=x2+bx+2b﹣4=（x+）2﹣（﹣2）2， ∴顶点P[﹣，﹣（﹣2）2]． 将其代入y=x﹣4中，得， ﹣（﹣2）2=﹣﹣4 解得，b=0或10．
∴抛物线的表达式为y=x2﹣4或y=x2+10x+16．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线． （1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O； （2）求证：BC为⊙O的切线；
（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．
【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上； （2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线；
（3）根据∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再结合三角形相似就可求出圆的半径的长． 【解答】解：（1）如图所示，…2′ （2）连接OD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠BAD， 又∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AC，…3′ ∴∠ODB=∠C=90°， 又∵OD为半径， ∴BC是⊙O的切线．…4′ （3）∵AC=3，tanB=， ∴BC=4， ∴AB=5，…5′，
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，BO=5﹣r， ∵OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴即解得，r=
， ，…6′， ，…7′
．
∴⊙O的半径为
【点评】本题综合考查了切线的判定，解直角三角形和相似三角形的性质的应用，还考查了学生运用基本作图的知识作复杂图的能力，本题中作图的理论依据是垂径定理．
27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．
（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由． （2）直接写出DE的最小值．
【分析】（1）根据相似三角形的性质得到根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
，且∠CBP=∠ABE，∠BCP=∠BAE，
（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∠BAE的度数为定值， ∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形， ∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°， ∴
，且∠CBP=∠ABE，
∴△CBP∽△ABE， ∴∠BCP=∠BAE，
∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠BCP=45°， ∴∠BAE=∠BCP=45°；
（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AD=AB=2∵∠DAE=45°，
，
∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE=2，
∴DE的最小值是2．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y
﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 2 ； ②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为 4 ；
（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等． ①直接写出m= ﹣c ；（用含c的式子表示） ②求此二次函数的表达式．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为 1+2
．
【分析】（1）①②根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；
（2）因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，推出c=1﹣b，因为二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，可得可解决问题；
（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大． 【解答】解：（1）①点A（1，3）的“坐标差”为=3﹣1=2，
=﹣1，解得b=3，由此即
故答案为2；
②设P（x，y）为抛物线y=﹣x2+3x+3上一点， 坐标差=﹣x2+2x+3，=﹣（x﹣1）2+4，最大值为4， 所以抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为4 故答案为4．
（2）①由题意：0﹣m=c﹣0，可得m=﹣c． ②∵C（0，c），
又∵点B与点C的“坐标差”相等， ∴B（﹣c，0），
把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c， ∴c=1﹣b，
∵二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1 所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1， ∴解得b=3， ∴c=﹣2，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣2． 故答案为﹣c．
=﹣1，
（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．
作TF⊥x轴于E交MJ于F． 易知△TMF是等腰直角三角形， ∵TF=FM=
，EF=KM=3，EK=FK=M=
，TE=3+
， ﹣（2﹣
）=1+2
．
，
∴OE=OK﹣EK=2﹣
半径为2的圆的“特征值”为3+故答案为1+2
．
【点评】本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．
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