9.1 小波变换的定义
给定一个基本函数ψ(t)，令
1t−bψ() （9.1.1）
aa
式中a,b均为常数，且a>0。显然，ψa,b(t)是基本函数ψ(t)先作移位再作伸缩以后得到
ψa,b(t)=
的。若a,b不断地变化，我们可得到一族函数ψa,b(t)。给定平方可积的信号x(t)，即
x(t)∈L2(R)，则x(t)的小波变换（Wavelet Transform，WT）定义为
WTx(a,b)= =
1∗t−b()ψ()dt xt∫aa
∫x(t)ψ∗
a,b(t)dt=〈x(t),ψa,b(t)〉 （9.1.2）
式中a,b和t均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从−∞到+∞。信号x(t)的小波变换WTx(a,b)是a和b的函数，
b是时移，a是尺度因子。ψ(t)又称为基本小波，或母小波。ψa,b(t)是母小波经移位和
伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（9.1.2）式的WT又可解释为信号x(t)和一族小波基的内积。
母小波可以是实函数，也可以是复函数。若x(t)是实信号，ψ(t)也是实的，则
WTx(a,b)也是实的，反之，WTx(a,b)为复函数。
在（9.1.1）式中，b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子
t
a的作用是把基本小波ψ(t)作伸缩。我们在1.1节中已指出，由ψ(t)变成ψ()，当a>1
a
时，若a越大，则ψ()的时域支撑范围（即时域宽度）较之ψ(t)变得越大，反之，当a<1时，a越小，则ψ()的宽度越窄。这样，a和b联合越来确定了对x(t)分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。
t
a
ta
ϕ(t)
- 252 -
t
图9.1.1 基本小波的伸缩及参数a和b对分析范围的控制 (a)基本小波，（b）b>0，a=1 ,(c) b不变，a=2, (d)分析范围
这样，（9.1.2）式的WT可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对x(t)作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。
（9.1.1）式中的因子有着相同的能量，即
a
4a3a2aabb1
是为了保证在不同的尺度a时，ψa,b(t)始终能和母函数ψ(t)a
2
1t−b
)dt ∫ψa,b(t)dt=∫ψ(
aa
2
令
2t−b
=t′，则dt=adt′，这样，上式的积分即等于∫ψ(t)dt。 a
令x(t)的傅里叶变换为X(Ω)，ψ(t)的傅里叶变换为Ψ(Ω)，由傅里叶变换的性质，
ψa,b(t)的傅里叶变换为：
ψa,b(t)=
1t−bψ() ⇔ Ψa,b(Ω)=aΨ(aΩ)e−jΩb （9.1.3）
aa
- 253 -
由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表为：
WTx(a,b)=
=此式即为小波变换的频域表达式。
1
+∞ −∞ X(Ω)Ψ∗(aΩ)ejΩbdΩ （9.1.4） 9.2 小波变换的特点 下面，我们从小波变换的恒Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。 比较（9.1.2）和（9.1.4）式对小波变换的两个定义可以看出，如果ψa,b(t)在时域是有限支撑的，那么它和x(t)作内积后将保证WTx(a,b)在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使WTx(a,b)反映的是x(t)在b附近的性质。同样，若即Ψa,b(Ω)围绕着中心频率是有限支撑的，那么Ψa,b(Ω)和X(Ω)Ψa,b(Ω)具有带通性质， 作内积后也将反映X(Ω)在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。显然，这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波ψ(t)，使其在时域和频域都是有限支撑的。有关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。 由1.3节可知，若ψ(t)的时间中心是t0，时宽是Δt，Ψ(Ω)的频率中心是Ω0，带宽是ΔΩ，那么ψ()的时间中心仍是t0，但时宽变成aΔt，ψ()的频谱aΨ(aΩ)的频率中心变为Ω0/a，带宽变成ΔΩ/a。这样，ψ()的时宽－带宽积仍是ΔtΔΩ，与a无关。这一方面说明小波变换的时－频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q性质。定义 Q=ΔΩ/Ω0=带宽/中心频率 (9.1.5) 为母小波ψ(t)的品质因数，对ψ()，其 带宽/中心频率= t ata ta ta ΔΩ/a =ΔΩ/Ω0=Q Ω0/ata 因此，不论a为何值(a>0)，ψ()始终保持了和ψ(t)具有性同的品质因数。恒Q性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。图9.2.1说明了Ψ(Ω)和Ψ(aΩ)的带宽及中心频率随a变化的情况。 - 254 - Ψ (Ω) Ω0 Ψ(aΩ)ΔΩ/2Ψ(aΩ)ΔΩ 2ΔΩ Ω Ω0/2Ω 2Ω0 Ω 图9.2.1 Ψ(aΩ)随a变化的说明；(a) a=1，(b) a=2，(c) a=1/2 将图9.1.1和图9.1.2结合起来，我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当a变小时，对x(t)的时域观察范围变窄，但对X(Ω)在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图9.2.1c所示。反之，当a变大时，对x(t)的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图9.2.1b所示。将图9.1.1和9.2.1所反映的时－频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图9.2.2所示。 图9.2.2 a取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间 由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图9.2.2中三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变。由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。该分析窗口在高频端（图中2Ω0处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中Ω0/2处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的a值下，图9.2.2中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。 众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖 - 255 - 0 0 Δt/2P(a=1/2)2Ω0(a=1) }2ΔΩΔtP2ΔtΩ0 }ΔΩ}ΔΩ/2(a=2)Ω/2 脉冲等。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。 总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的a对信号作高频分析时，我们实际上是用高频小波对信号作细致观察，当我们用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。如上面所述，小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。 现在我们来讨论一下小波变换和前面几章所讨论过的其它信号分析方法的区别。 我们知道，傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频域有着最佳的定位功能（频，但在时域所对应的范围是−∞~+∞，完全不具备定位功能。这是FT的一域的δ函数）个严重的缺点。 人们希望用短时傅里叶变换来弥补FT的不足。重写（2.1.1）式，即 STFTx(t,Ω)=∫x(τ)g∗(τ−t)e−jΩtdt = ∗jΩτx(τ)g(τ)dτ=〈x(τ),g(τ−t)e〉 (9.2.6) tτ,∫ 由于该式中只有窗函数的位移而无时间的伸缩，因此，位移量的大小不会改变复指数e−jΩτ的频率。同理，当复指数由e−jΩτ变成e−j2Ωτ（即频率发生变化）时，这一变化也不会影响窗函数g(τ)。这样，当复指数e−jΩτ的频率变化时，STFT的基函数gt,τ(τ)的包络不会改变，改变的只是该包络下的频率成份。这样，当Ω由Ω0变化成2Ω0时，gt,τ(τ)对x(τ)分析的中心频率改变，但分析的频率范围不变，也即带宽不变。因此，STFT不具备恒Q 性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力，如图9.2.3所示。图中 g(t)=e−t 2 /T. Ωgt,τ(t) G(Ω)- 256 - tΩ0Ωg't,τ(t)G'(Ω) u Ω0/2 图9.2.3 STFT的时－频分析区间 (a) gt,τ(t)=g(τ−t)e −jΩ0t 2Ω0Ω0τ0τ1 t，gt′,τ(t)=g(τ−t)e −j2Ω0t ，(b) G(Ω)是gt,τ(t)的FT， G′(Ω)是gt′,τ(t)的FT， (c)在不同的Ω0和τ处，时宽、带宽均保持不变 我们在第六至第八章所讨论的M通道最大抽取滤波器组是将x(n)分成M个子带信号，每一个子带信号需有相同的带宽，即2π/M，其中心频率依次为 - 257 - πM k, k=0,1,\",M−1（注：若是DFT滤波器组，则中心频率在 2π，k, k=0,1,\",M−1） M 且这M个子带信号有着相同的时间长度。在小波变换中，我们是通过调节参数a来得到不同的分析时宽和带宽，但它不需要保证在改变a时使所得到的时域子信号有着相同的时宽或带宽。这是小波变换和均匀滤波器组的不同之处。但小波变换和7.9节讨论过的树状滤波器组在对信号的分析方式上极其相似。由后面的讨论可知，离散小波变换是通过“多分辨率分析”来实现的，而“多分辨率分析”最终是由两通道滤波器组来实现的。 由（9.1.1）式，定义 2 1∗t−b WTx(a,b)=x(t)ψ()dt (9.2.7) ∫aa 2 为信号的“尺度图（scalogram）”。它也是一种能量分布，但它是随位移b和尺度a的能量分布，而不是简单的随(t,Ω)的能量分布，即我们在第二章至第四章所讨论的时－频分布。但由于尺度a间接对应频率（a小对应高频，a大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种时－频分布。 综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换是八十年代后期发展起来的应用数学分支。法国数学家Y.Meyer，地质物理学家J.Morlet和理论物理学家A.Grossman对小波理论作出了突出的贡献。法国学者I.Daubechies和S.Mallat在将小波理论引入工程应用，特别是信号处理领域起到了重要的作用。人们称这些人为“法国学派”。在小波理论中一些有影响的教科书如文献[3,5,8,16]等，一些有影响的论文如文献[42,43,51,52,53,87,88,105,116]等。国内从工程应用的目的较为全面地介绍小波理论的著作见文献[21]，结合MATLAB介绍小波理论的著作见文献[18]. 9.3 连续小波变换的计算性质 1．时移性质 若x(t)的CWT是WTx(a,b)，那么x(t−τ)的CWT是WTx(a,b−τ)。该结论极易证明。记y(t)=x(t−τ)，则 WTy(a,b)= = 1a1a ∗ xt(−τ)ψ(∫ t−b )dt a ∗′xt()ψ(∫ t′−(b−τ) )dt′ a =WTx(a,b−τ) （9.3.1） - 258 - 2． 尺度转换性质 如果x(t)的CWT是WTx(a,b)，令y(t)=x(λt)，则 WTy(a,b)= 证明： WTy(a,b)=则 WTy(a,b)= = = 1 λWTx(λa,λb) （9.3.2） 1∗t−bx(λt)ψ()dt，令t′=λt， ∫aa1a ∗′x(t)ψ(∫ t′λ−b1 )dt′ λa 11 λ1 λa ∗ ∫x(t)ψ( t−λb )dt λa λWTx(λa,λb) 该性质指出，当信号的时间轴按λ作伸缩时，其小波变换在a和b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。 3． 微分性质 如果x(t)的CWT是WTx(a,b)，令y(t)= WTy(a,b)=证明： WTy(a,b)= dx(t) =x′(t)，则 dt ∂ WTx(a,b) （9.3.3） ∂b 1dx(t)∗t−b ψ()dt aa∫dt Δt→0 =Lim =Lim 1 ax(t+Δt)−x(t)∗t−b ψ()dt ∫aΔt 1⎡11⎤∗t−b∗t−bx(tt)ψ()dtx(t)ψ()dt+Δ−∫⎥ Δt→0Δt⎢a∫aaa⎣⎦ WTx(a,b+Δt)−WTx(a,b) Δt→0Δt∂ WTx(a,b) ∂b 由（9.3.1）式的移位性质，有 WTy(a,b)=Lim即 WTy(a,b)= 4． 两个信号卷积的CWT， 令x(t),h(t)的CWT分别是WTx(a,b)及WTh(a,b)，并令y(t)=x(t)∗h(t)，则 - 259 - WTy(a,b)=x(t)∗WTh(a,b) =h(t)∗WTx(a,b) （9.3.4） 式中符号∗表示对变量b作卷积。 证明： +∞1∗t−b[x(τ)h(t−τ)dτ]ψ()dt WTy(a,b)= aa∫∫−∞ b b b = ∫ +∞ −∞ x(τ)[ 1∗t−bh(t−τ)ψ()dt]dτ ∫aa 再由（9.3.1）式的移位性质，有 WTy(a,b)=同理， WTy(a,b)=于是（9.3.4）式得证。 5． 两个信号和的CWT 令x1(t),x2(t)的CWT分别是WTx1(a,b),WTx2(a,b)，且x(t)=x1(t)+x2(t)， 则 WTx(a,b)=WTx1(a,b)+WTx2(a,b) （9.3.5a） 同理，如果x(t)=k1x1(t)+k2x2(t)，则 WTx(a,b)=k1WTx1(a,b)+k2WTx2(a,b) （9.3.5b） （9.3.5）式说明两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足叠加原理。看到WT的这一性质，估计读者马上会想到WVD中的交叉项问题。由（9.3.5）式看来，似乎小波变换不存在交叉项。但实际上并非如此。（9.1.2）式所定义的CWT是“线性”变换，即x(t)只在式中出现一次，而在（3.1.2）式的WVD表达式中x(t)出现了两次，即 ∫∫ +∞ −∞+∞ x(τ)WTh(a,b−τ)dτ h(τ)WTx(a,b−τ)dτ −∞ x(t+τ/2)x∗(t−τ/2)，所以，我们称以Wigner分布为代表的一类时－频分布为“双线 性变换”。正因为如此，Wx(t,Ω)是信号x(t)能量的分布。与之相对比，小波变换的结果WTx(a,b)不是能量分布。但小波变换的幅平方，即（9.2.7）式的尺度图则是信号x(t)能 量的一种分布。将x(t)=x1(t)+x2(t)代入(9.2.7)式，可得： 2 2 WTx(a.b)=WTx1(a,b)+WTx2(a,b) - 260 - 2 +2WTx1(a,b)WTx2(a,b)cos(θx1−θx2) (9.3.6) 式中θx1,θx2分别是WTx1(a,b)和WTx2(a,b)的幅角。 证明： WTx(a,b)=WTx(a,b)WTx∗(a,b) 2 ∗ ∗ =[WTx1(a,b)+WTx2(a,b)][WTx1(a,b)+WTx2(a,b)] =WTx1(a,b)+WTx1(a,b) +WTx1(a,b)WTx2(a,b)+[WTx1(a,b)WTx2(a,b)] 由于后两项互为共轭，因此必有（9.3.6）式. （9.3.6）式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该交叉项的行为和WVD中的交叉项稍有不同。我们在3.5节中已指出，WVD的交叉项位于两个自项的中间，即位于(tμ,Ωμ)处，tμ=(t1+t2)/2,Ωμ=(Ω1+Ω2)/2,(t1,Ω1),(t2,Ω2)分别是两个自项的时－频中心。由（9.3.3）式可以得出，尺度图中的交叉项出现在WTx1(a,b)和WTx2(a,b)同时不为零的区域，也即是真正相互交叠的区域中，这和WVD有着明显的区别。可以证明信号x(t)的WVD和其尺度图有如下关系： WTx(a,b)= 2 【钱，书】 22 ∗∗∗ ，同一 ∫∫Wx(t,Ω)Wψ( t−b ,aΩ)dtdΩ （9.3.7） a 该式揭示了WVD和WT之间的关系，这说明cohen式中Wψ(t,Ω)是母小波ψ(t)的WVD， 类的时－频分布和小波变换有着非常密切的内在联系。 6． 小波变换的内积定理 定理9.1 设x1(t),x2(t)和ψ(t)∈L(R)，x1(t),x2(t)的小波变换分别是WTx1(a,b)和WTx2(a,b)，则 2 ∫∫ 0 ∞+∞ −∞ WTx1(a,b)WTx∗2(a,b) da db=Cψ〈x1(t),x2(t)〉 （9.3.8）2 a 式中 Cψ= ∫ ∞ 0 Ψ(Ω) dΩ （9.3.9） Ω 2 Ψ(Ω)为ψ(t)的傅里叶变换。 证明：由（9.1.4）式关于小波变换的频域定义，（9.3.8）式的左边有： - 261 - ∫∫ 0 ∞∞ −∞ 4π2∫−∞ ∞0 a ∞ ∗ X1(Ω)Ψ∗(aΩ)ejΩbdΩ∫X2(Ω′)Ψ(aΩ′)e−jΩ′bdΩ′ −∞ ∞ da db 2a =∫=∫ ∫ ∞ −∞∞ 4π2a∫−∞ da ∞ ∗ X1(Ω)X2(Ω′)Ψ∗(aΩ)Ψ(aΩ′)dΩdΩ′∫ej(Ω−Ω′)bdb ∞ 0 da∞∗∗ ∫−∞2πa∫−∞X1(Ω)X2(Ω′)Ψ(aΩ)Ψ(aΩ′)δ(Ω−Ω′)dΩdΩ′ da∞2∗ X(Ω)X(Ω)Ψ(aΩ)dΩ 2∫−∞2πa∫−∞1 ∞ =∫ ∞ 0 =∫ 假定积分 ∞ 0 1 2π∫ ∞ −∞ Ψ(aΩ)∗ d(aΩ)X1(Ω)X2(Ω)dΩ aΩ 2 2 2 ∫ ∞ 0 ∞Ψ(Ω′)Ψ(aΩ) d(aΩ)=∫=cψ 0aΩΩ′ 存在，再由Parseval定理，上述的推导最后为 cψ于是定理得证。 （9.3.8）式实际上可看作是小波变换的Parseval定理。该式又可写成更简单的形式,即 〈WTx1(a,b),WTx2(a,b)〉=cψ〈x1(t),x2(t)〉 (9.3.10) 进一步，如果令x1(t)=x2(t)=x(t)，由（9.3.8）式，有 ∞ 1 2π∫ ∞ −∞ ∗ X1(Ω)X2(Ω)dΩ=cψ〈x1(t),x2(t)〉 ∫ −∞ x(t)dt= 2 1 cψ∫∫ 0 ∞∞ −∞ a−2WTx(a,b)dadb (9.3.11) 2 该式更清楚地说明，小波变换的幅平方在尺度－位移平面上的加权积分等于信号在时域的总能量，因此，小波变换的幅平方可看作是信号能量时－频分布的一种表示形式。 （9.3.8）和（9.3.11）式中对a的积分是从0~∞，这是因为我们假定a总为正值。这两个式子中出现的a−2是由于定义小波变换时在分母中出现了1/a，而式中又要对a作积分所引入的。 读者都熟知傅里叶变换中的Parseval定理，即时域中的能量等于频域中的能量。但小波变换的Parseval定理稍为复杂，它不但要有常数加权，而且以cψ的存在为条件。 9.4小波反变换及小波容许条件 - 262 - 下述定理给出了连续小波反变换的公式及反变换存在的条件。 定理9.2 设x(t),ψ(t)∈L(R)，记Ψ(Ω)为ψ(t)的傅里叶变换，若 cψ= Δ 2 ∫ ∞ 0 Ψ(Ω) <∞ Ω ∞ 2 则x(t)可由其小波变换WTx(a,b)来恢复，即 x(t)= 1cψ∫ ∞ 0 a−2∫WTx(a,b)ψa,b(t)dadb (9.4.1) −∞ 证明：设x(t)=x1(t)，x2(t)=δ(t−t′),则 〈x1(t),x2(t)〉=x(t′) WTx2(a,b)= 1t−b1t′−b ′ttdtδ()ψ()=ψ() − aaa∫a ∞ ∞ 将它们分别代入（9.3.8）式的两边，再令t′=t，于是有 x(t)=于是定理得证。 在定理9.1和定理9.2中，结论的成立都是以cψ<∞为前提条件的。（9.3.9）式又称为“容许条件（admissibility condition）。该容许条件含有多层的意思： 1. 并不是时域的任一函数ψ(t)∈L(R)都可以充当小波。其可以作为小波的必要条件 是其傅里叶变换满足该容许条件； 2. 由（9.3.9）式可知，若cψ<∞，则必有Ψ(0)=0，否则cψ必趋于无穷。这等效地告诉我们，小波函数ψ(t)必然是带通函数； 3. 由于Ψ(Ω)Ω=0=0，因此必有 2 1 cψ∫ 0 a−2∫WTx(a,b)ψa,b(t)dadb −∞ ∫ψ(t)dt=0 (9.4.2) 这一结论指出，ψ(t)的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。 以上三条给我们勾画出了作为小波的函数所应具有的大致特征，即ψ(t)是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时－频定位的角度，我们总希望ψ(t)是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波（wavelet）的原因。 2. 由上述讨论，ψ(t)自然应和一般的窗函数一样满足： ∫ψ(t)dt<∞ （9.4.3） - 263 - 3. 由后面的讨论可知，尺度a常按a=2j来离散化，j∈Z.由（9.1.3）式，对应的傅里叶变换2 j/2 Ψ(2jΩ)e−jΩb，由于我们需要在不同的尺度下对信号进行分析，同时 j 也需要在该尺度下由WTx(a,b)来重建x(t)，因此要求Ψ(2Ω)是有界的，当j由 2 −∞~+∞时，应有 A≤ j=−∞ ∑Ψ(2Ω) j ∞ 2 ≤B (9.4.4) 式中0 我们在上一节指出，并不是时域任一函数都可以用作小波ψ(t)。可以作为小波的函数至少要满足（9.3.9）式的容许条件。与此结论相类似，并不是(a,b)平面上的任一二维函数WT(a,b)都对应某一函数的小波变换。WT(a,b)如果是某一时域信号，如x(t)的小波变换，它应满足一定的条件，此即本节要讨论的内容。 定理9.3 设(a0,b0)是(a,b)平面上的任一点，(a,b)上的二维函数WTx(a,b)欲是某一函数的小波变换的充要条件是它必须满足如下的重建核方程，即 WTx(a0,b0)= ∫ ∞ 0 a −2 ∫ ∞ −∞ WTx(a,b)Kψ(a0,b0;a,b)dadb （9.5.1） 式中WTx(a0,b0)是WTx(a,b)在(a0,b0)处的值， Kψ(a0,b0;a,b)= =称为重建核。 1∗ ψ(t)ψ(t)dt a,ba∫0,b0 Cψ1 〈ψa,b(t),ψa0,b0(t)〉 （9.5.2） Cψ证明：由（9.1.2）式小波变换的定义，有 WTx(a,b)=将（9.4.1）式代入该式，有 ∗ x(t)ψa,b(t)dt ∫ 1 WTx(a0,b0)=∫[ cψ ∫ ∞ 0 a −2 ∫ ∞ −∞ ∗ WTx(a,b)ψa,b(t)dadb]ψa(t)dt 0,b0 - 264 - = = ∫ ∞ 0 a −2 ∫ ∞ −∞ WTx(a,b)[ 1∗ ψa,b(t)ψa(t)dt]dadb ∫0,b0 cψ∫ ∞ 0 a −2 ∫ ∞ −∞ WTx(a,b)[ 1∗ 〈ψa,b(t),ψa(t)〉]dadb 0,b0cψ此即（9.5.1）和（9.5.2）式。 （9.5.1）式的重建核方程和（9.5.2）式的重建核公式说明，若WTx(a,b)是x(t)的小波变换，那么在(a,b)平面上某一点(a0,b0)处小波变换的值WTx(a0,b0)可由半平面也即，WTx(a0,b0)是半平面上WTx(a,τ)的总贡(a∈R+,b∈R)上的值WTx(a,b)来表示， 献。既然(a,b)平面上各点的WTx(a,τ)可由（9.5.1）式互相表示，因此这些点上的值是相关的，也即（9.4.1）式对x(t)的重建是存在信息冗余的。这一结论告诉我们可以用(a,b)平面上离散栅格上的WTx(a,b)来重建x(t)，以消除重建过程中的信息冗余。 在第二章中已指出，当用x(t)的短时傅里叶变换STFTx(t,Ω)来重建x(t)时，(t,Ω)平面上的信息也是有冗余的，即(t,Ω)平面上各点的STFTx(t,Ω)是相关的，因此引出了离散栅格上的STFT，如（2.2.6）式，进一步的发展即是信号的Gabor展开与Gabor变换。由此可以得出，将一个一维的函数映射为一个二维函数后，在二维平面上往往会存在信息的冗余，由此引出了二维函数的离散化问题及标架理论。有关离散小波变换及小波标架的内容将在本章的最后两节来讨论。 重建核kψ(a0,b0;a,b)是小波ψa,b(t)和(a0,b0)处的小波ψa0,b0(t)的内积，因此kψ反映了ψa,b(t)和ψa0,b0(t)的相关性。若a=a0,b=b0，即两个小波重合时，kψ取最大值；若(a,b)远离(a0,b0)，则kψ将迅速减小。若能保证kψ=δ(a−a0,b−b0)，则(a,b)平面上各点小波变换的值将互不相关。这等效地要求对任意的尺度a及位移b，由母小波ψ(t)形成的一族ψa,b(t)是两两正交的。可以想象，若a,b连续取值，要想找到这样的母小波 ψ(t)使ψa,b(t)两两正交，那将是非常困难地。因此，连续小波变换的WTx(a,b)必然存在 信息冗余。然而，当a,b离散取值时，则有可能得到一族正交小波基ψa,b(t)。 9.6小波的分类 由前两节的讨论可知，作为一个小波的函数ψ(t)，它一定要满足容许条件，在时域一 - 265 - 定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，若时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中。此外，我们希望由母小波ψ(x)形成的ψa,b(t)是两两正交的，或是双正交的；进一步，我们希望ψ(x)有高阶的消失矩，希望与ψ(x)相关的滤波器具有线性相位，等等。我们可以根据上述要求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。在下面的分类中，第一类是所谓地“经典小波”，在MATLAB中把它们称作“原始（Crude）小波”。这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是Daubecheis构造的正交小波，第三类是由Cohen，Daubechies构造的双正交小波。 9.6.1经典类小波 1. Haar小波 Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是： 0≤t<1/2⎫⎧1 ⎪⎪ ψ(t)=⎨−1 1/2≤t<1⎬ （9.6.1） ⎪0⎪其它⎩⎭ 其波形如图9.6.1（a）所示。ψ(t)的傅里叶变换是： Ψ(Ω)=j Ω4 sin2()e−jΩ/2 （9.6.2） Ωa Haar小波有很多好的优点，如： （1） Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）； （2） 若取a=2,j∈Z,b∈Z，那么Haar小波不但在其整数位移处是正交的，即 j + 〈ψ(t),ψ(t−k)〉=0，而且在j取不同值时也是两 两正交的，即〈ψ(t),ψ(2t)〉=0如图9.6.1(b)和(c) 所示。所以Haar小波属正交小波； （3） Haar波是对称的。我们知道，离统的单位抽样响应 若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除 相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一个既 具有对称性又是有限支撑的正交小波； （4）Haar小波仅取＋1和－1，因此计算简单。 00−j ψ(t)11/21t−1ψ(t−1)12t但Haar小波是不连续小波，由于tψ(t)dt≠0，因 - 266 - ∫ ψ(t/2)102t此Ψ(Ω)在Ω=0处只有一阶零点，这就使得Haar 小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。但由于 Haar小波有上述的多个优点，因此在教科书与论文 中常被用作范例来讨论。 图9.6.1 Harr小波， (a) ψ(t)，(b) ψ(t−1)，(c) ψ(t/2) 2.Morlet小波 Morlet小波定义为 ψ(t)=e其傅里叶变换 Ψ(Ω)= −t2/2 ejΩt (9.6.3) 2πe −(Ω−Ω0)2/2 （9.6.4） 它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号，所以在MATLAB中将（9.6.3）式改造为： ψ(t)=e−t 2 /2 cosΩ0t （9.6.5） 并取 Ω0=5。该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取−∞~+∞。但是当Ω0=5，或再取更大的值时，ψ(t)和Ψ(Ω)在时域和频域都具有很好的集中，如图9.6.2所示。 Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。 10.80.6120.40.2010864-0.6-0.8-1-4-2 Morlet wavelet: Psi1614TheFTofPsi -0.2-0.4 0242000.51图9.6.2 Morlet小波， (a)时域波形， (b)频谱 3 .Mexican hat小波 该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr小波。它定义为 - 267 - ψ(t)=c(1−t)e式中c= 2 −t2/2 (9.6.6) 21/4 π，其傅里叶变换为 3 Ψ(Ω)= 2πcΩ2e−Ω 2 /2 (9.6.7) 该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。其波形和其频谱如图9.6.3所示。 该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小 波变换。由于该小波在Ω=0处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人 眼视觉的空间响应特征，因此它在1983年即被用于计算机视觉中的图像边缘检测[131,75]。 1 Mexican hat wavelet: Psi20180.8160.61412TheFTofPsi0.4 -4-2024108642000.510.20-0.2-0.4 图9.6.3 墨西哥草帽小波， (a)时域波形， (b)频谱 4．Gaussian小波 高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为： dk−t2/2 ， k=1,2,\",8 (9.6.8) ψ(t)=cke dt 式中定标常数是保证ψ(t) 2 =1。 该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当k取偶数时ψ(t)正对称，当k取奇数时，ψ(t)反对称。图9.6.4给出了k=4时的ψ(t)的时域波形及对应的频谱。 - 268 - 1.210.8Gaussian wavelet: Psi15TheFTofPsi 0 .6 0.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-10105 -50510000.51 图9.6.4 高斯小波，取k=4， (a)时域波形， (b)频谱 9.6.2 正交小波 目前提出的正交小波大致可分为四种，即Daubechies小波，对称小波，Coiflets小波和Meyer小波。这些正交小波和前面所讨论的“经典小波”不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给出ψ(t)，而是通过一个叫做“尺度函数（Scalling function）”的φ(t)的加权组合来产生的。尺度函数是小波变换的又一个重要概念。由下一章的讨论可知，小波函数尺度函数φ(t)同时和一个低通滤波器H0(z)及高通滤波器H1(z)相关连，H0(z)和ψ(t)， H1(z)可构成一个两通道的分析滤波器组。这些内容构成了小波变换的多分辨率分析的理H1(z)分析滤波器组H0(z)，论基础。因此，在讨论正交小波时，同时涉及到尺度函数φ(t)， 及综合滤波器组G0(z)，G1(z)。MATLAB中的Wavelet Toolbox中有相关的软件来产生各类正交小波及其相应的滤波器。 1．Daubechies小波 Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者Ingrid Dauechies于90年代初提出并构造的。Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度a取2的整数次幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作《Ten Lectures on Wavelet（小波十讲）》深受同行们的欢迎。 db1即是Haar小波。因此， dbN中的N表示db小波的阶次，N=2~10.当N=1时， 前述的Haar小波应归于“正交小波”类。Daubechies计算出了N=2~10时的 φ(t),h0,h1,g0及g1。在MATLAB5.3中，N的阶次还可以扩展。db小波是正交小波，当然也是双正交小波，并是紧支撑的。φ(t)的支撑范围在t=0~(2N−1)，ψ(t)的支撑范围在(1−N)~N。小波ψ(t)具有N阶消失矩，Ψ(Ω)在Ω=0处具有N阶零点。但db - 269 - 小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。图9.6.5给出了 N=4时，ψ(t)，φ(t)及Ψ(Ω)，Φ(Ω)的波形。有关db小波的构造等更多内容见第十 一章。 2. 对称小波 对称小波简记为symN，N=2,3,\",8，它是db小波的改进，也是由Daubechies提出并构造的。它除了有db小波的特点外，主要是ψ(t)是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。图9.6.6是N=4时的对称小波。 3. Coiflets小波 该小波简记为coifN，N=1,2,\",5.在db小波中，Daubechies小波仅考虑了使小波函数ψ(t)具有消失矩（N阶），而没考虑尺度函数φ(t)。R.Coifman于1989年向Daubechies提出建议，希望能构造出使φ(t)也具有高阶消失矩的正交紧支撑小波。Daubechies接受了这一建议，构造出了这一类小波，并以Coifman的名字命名。 coifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为6N−1，也是接近对称的。ψ(t)的消失矩是2N，φ(t)的消失矩是2N−1。图9.6.7是N=4时的coif4小波。 1.510.50db4: Phi1.510.50-0.524 The FT of Phi68-1024 The FT of Psi68db4: Psi 2015 10 5-0.5015105 0.510 0000.51 图9.6.5 N=4时db小波， (a) φ(t)，(b) ψ(t)，(c) Φ(Ω)，(d) Ψ(Ω) Sym4:1.2Phi1.5Sym4: Psi 1 0.810.50.6- 270 - 0-0.50.40.2-10-0.202468-1.502468 图9.6.6 N=4时的对称小波，(a) φ(t)，(b) ψ(t) Coif4:Phi1.21.5Coif4:Psi110.80.50.6 0 . 4 0.200-0.5-0.20102030-10102030图9.6.7N=4时的Coiflets小波，(a) φ(t)，(b) ψ(t) 4．Meyer小波 Meyer小波简记为meyr，它是由Meyer于1986年提出的 【】 。该小波无时域表达式，它 是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的，详细内容见第十一章。 Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在[－8，8]之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。图9.6.8给出了Meyer小波的尺度函数φ(t)和小波函数ψ(t)。 1.2110.80.60.40.201.50.5 0 -0.2-0.4-10-50510-0.5-1-10-50510 图9.6.8 Meyer小波，(a) φ(t)，(b) ψ(t) 9.6.3 双正交小波 - 271 - 我们在第七章已指出，两通道正交镜像滤波器组具有仿酋性质。满足这一条件的分析滤波器H0(z)和H1(z)是功率对称的，且h0(n)和h1(n)之间有着（7.4.11）和（7.4.12）式的正交性，再是h0(n)，h1(n)，g0(n)和g1(n)有着同样的长度，都不是线性相位的。为了取得线性相位的滤波器组，我们需放弃H0(z)的功率互补性质。这也就放弃了h0(n)和 h1(n)之间的正交性，代之的是双正交关系。 由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。因此，正交小波条件下的ψ(t)，。为此，Daubechies和Cohen提出φ(t)和h0,h1,g0与g1都不具有线性相位（Haar小波除外）并构造了双正交小波的滤波器组。 双正交滤波器组简称biorNr,Nd，其中Nr是低通重建滤波器的阶次，Nd是低通分解滤波器的阶次。在MATLAB中，Nr和Nd的可能组合是： Nr=1, Nd=1,3,5 Nd=2,4,6,8 Nr=2, 【】 ，其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小波及相应 Nr=3, Nd=1,3,5,7,9 Nr=4, Nd=4 Nr=5, Nd=5 Nr=6, Nd=8 这一类小波自然不是正交的，但它们是双正交的，是紧支撑的，更主要的是它们是对称的，因此具有线性相位。分解小波ψ(t)的消失矩为Nr−1。图9.6.9给出的bior3.7的分解小波、尺度函数及重建小波和尺度函数。 21Dec. scalling function:Phi420Dec. wavelet function:Psi0-1-2051015-40510150.8Rec. scalling function:Phi10.50Rec. wavelet function:Psi 0.6 0.4 0.200510- 272 - -0.515-1051015 图9.6.9 双正交小波bior3.7 (a) 分解尺度函数φ(t)，(b) 分解小波ψ(t)， (c)重建尺度函数φ(t)， (d)重建小波ψ(t) 9.7连续小波变换的计算 在（9.1.2）式关于小波变换的定义中，变量t，a和b都是连续的，当我们在计算机上实现一个信号的小波变换时，t，a和b均应离散化。对a离散化最常用的方法是取 a=a0j,j∈Z，并取a0=2，这样a=2j。对于a按2的整次幂取值所得到的小波习惯上 称之为“二进（dyadic）”小波。对这一类小波的小波变换，我们可用第十章的有关离散小波变换的方法来实现。然而取a=2,j∈Z，在实际工作中有时显得尺度跳跃太大。当希望a任意取值(a>0)，也即在a>0的范围内任意取值时，这时的小波变换即是连续小波变换。 计算（9.1.2）式的最简单的方法是用数值积分的方法，即，令 j WTx(a,b)= = 1∗t−bx(t)ψ()dt ∫aa1 a∑ k ∫ k+1 k x(t)ψ∗( t−b )dt (9.7.1) a 由于在t=k~k+1的区间内，x(t)=x(k)，所以上式又可写为： k+11∗t−bxk()ψ()dt WTx(a,b)=∑aak∫k k+1k1∗t−b∗t−bxkdt−()[ψ()ψ =∑∫−∞∫−∞(a)dt] (9.7.2) aak 由该式可以看出，小波变换WTx(a,b)可看作是x(k)和ψ∗( t−b )的卷积后的累加所得到a 的结果，卷积的中间变量是t，卷积后的变量为b及a。MATLAB中的cwt.m即是按此思路来实现的。具体过程大致如下： 1. 先由指定的小波名称得到母小波ψ(t)及其时间轴上的刻度，假定刻度长为 0~N−1； - 273 - 2. 从时间轴坐标的起点开始求积分 ∫ψ0 k ∗ (t)dt，k=1,\",N−1； 2. 由尺度a确定对上述积分值选择的步长，a越大，上述积分值被选中的越多； 3. 求x(k)和所选中的积分值序列的卷积，然后再作差分，即完成（9.7.2）式。 本方法的不足之处是在a变化时，（9.7.2）式中括号内的积分、差分后的点数不同，也即和x(k)卷积后的点数不同。解决的方法是在不同的尺度下对ψ(t)作插值，使其在不同的尺度下，在其有效支撑范围内的点数始终相同。有关CWT快速计算的方法还可借助于CZT及梅林变换等方法，详细内容见文献[21]，此处不再讨论。 例9.7.1令x(t)为一正弦加噪声信号，它取自MATLAB中的noissin.mat。对该信号作CWT，a分别等于2和128，a=2时，小波变换的结果对应信号中的高频成份，a=128时，小波变换对应信号中的低频成份。其原始信号及变换结果见图9.7.1(a)，(b)和（c）。 例9.7.2 仍然使用例9.7.1的信号“noissin”，对其作CWT时a分别取10，30，60，90，120及150。所得到的图9.7.2是在各个尺度下的小波系数的灰度图。颜色越深，说明在该尺度及该位移（水平轴）处的小波系数越大。此例旨在说明对小波变换的结果具有不 同的表示方式。 signal \"noissin\"20 a=2-210-102004006008001000 0200400600800100020 a=128 0 -200 2004006008001000 图9.7.1 信号“noissin”的小波变换，(a)原信号，(b)a=2，(c)a=128 150Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 10 30 60 90 120 ...- 274 - 120s a 90 图9.7.2 多尺度下小波变换的灰度表示 9.8尺度离散化的小波变换及小波标架 我们在（9.1.2）式定义了信号x(t)的连续小波变换，式中a，b和t都是连续变量。为了在计算机上有效地实现小波变换，t自然应取离散值，a和b也应取离散值。从减少信息冗余的角度，a和b也没有必要连续取值。 a和b形成了一个二维的“尺度－位移”平面。前已述及，a越大，Ψ(aΩ)对应的频 率越低，反之，对应的频率越高。因此，a−b平面也可视为“时－频平面”。对同一个信号x(t)，我们已给出过不同的表示形式，如STFT，Gabor变换，WVD及本章的小波变换。 现重写几个有关的公式，即 x(t)= x(t)= x(t)= 1 STFTx(t,Ω)ejΩtdΩ (9.8.1) ∫2πg(0) m=−∞n=−∞ ∑∑c ∞∞ m,nm,n h(t) (9.8.2) 1tW(,Ω)ejΩtdΩ (9.8.3) x∗∫2πx(0)2 1 x(t)= cψ∫ ∞ 0 a −2 ∫ ∞ −∞ WTx(a,b)ψa,b(t)dadb (9.8.4) 其中（9.8.2）式是用时－频平面离散栅格(m,n)上的点来表示x(t)，即Gabor展开，（9.8.3）式是具有双线性变换的表示形式，它和其它三种表示形式有较大的区别。（9.8.1）和（9.8.4） - 275 - 式说明同一信号x(t)在时－频平面上具有不同的表示形式。在第二章已指出，（9.8.1）式的反变换是有信息冗余的，即不需要STFT(t,Ω)的所有的值即可恢复x(t)。同理，（9.8.4）式的小波变换也存在着信息冗余。在这两个式子中，我们只需取时－频平面上的离散栅格处的点即可。问题的关键是如何决定a和b抽样的步长以保证对x(t)的准确重建。下面，我们首先考虑尺度a的离散化，然后再考虑a和b的同时离散化。 9.8.1尺度离散化的小波变换 目前通用的对a离散化的方法是按幂级数的形式逐步加大a，即令 a=a0j,a0>0,j∈Z。若取a0=2，则 ψj,b(t)=2−j/2ψ(2−j(t−b)) (9.8.5) 称为“半离散化二进小波”，而 WTx(j,b)=〈x(t),ψj,b(t)〉 =2称为二进小波变换。 设母小波ψ(t)的中心频率为Ω0，带宽为ΔΩ，当a=2j时，ψj,b(t)的中心频率变为 −j/2 ∗−j x(t)ψ(2(t−b))dt (9.8.6) ∫ (Ωj)0=Ω0/2j=2−jΩ0，带宽ΔΩj=2−jΔΩ。若a=2j+1时，ψj+1,b(t)的中心频率和带 宽分别是：(Ωj+1)0==2望当a由2变成2 j j+1 −j−1 Ω0，ΔΩj+1=2−j−1ΔΩ。从对信号作频域分析的角度，我们希 时，ψj,b(t)和ψj+1,b(t)在频域对应的分析窗 [(Ωj)0−ΔΩj,(Ωj)0+ΔΩj]和[(Ωj+1)0−ΔΩj+1,(Ωj+1)0+ΔΩj+1] 能够相连接。这样，当j由0变至无穷时，ψj,b(t)的傅里叶变换可以覆盖整个Ω轴。显然，若令母小波ψ(t)的(Ω)0=3ΔΩ，则上面两个频域窗首尾相连，即 ΔΩ]和[2−j+1ΔΩ,2−j+2ΔΩ] 首尾相连。通过对母小波作合适的调制，可以方便地做到(Ω)0=3ΔΩ。 [2ΔΩ,2 −j−j+1 ˆ(t)是ψ(t)的对偶现在，我们来讨论如何由（9.8.6）式的WTx(j,b)来恢复x(t)，设ψˆj,b(t)和ψj,b(t)取类似的形式，即 小波，并令ψ - 276 - ˆj,b(t)=2−j/2ψˆ(2−j(t−b)) (9.8.7) ψ这样，通过对偶小波，我们希望能重建x(t)： x(t)= j=−∞ ∑2∑2 ∞∞ ∞ −3j/2 −j ˆWT(j,b)ψ(2(t−b))db (9.8.8) x∫ ˆ(t)和ψ(t)应满足的关系，现对上式作如下改变： 为了寻找ψ x(t)= = −3j/2 ˆ∗(2−j(t−b))〉 〈WTx(j,b),ψj=−∞ j=−∞ ∑2−3j/2 1 ˆ∗(2−j(t−b))]〉 〈ℑ[WTx(j,b)],ℑ[ψ2π式中ℑ代表求傅里叶变换。由（9.1.3）和（9.1.4）式，有 x(t)= j=−∞ ∑2−3j/2 ∞ 1ˆ(2jΩ)ejΩt]dΩ [X(Ω)2j/2Ψ∗(2jΩ)][2jΨ∫2π∞ ∗ 1 = 2π显然，若 ˆ(2Ω)]e ∫X(Ω)[∑Ψ(2Ω)Ψ j j j=−∞ jΩt dΩ (9.8.9) (9.8.10) j=−∞ ˆ(2Ω)=1 ∑Ψ(2Ω)Ψ ∗ ∞ jj 则（9.8.9）式的右边变成X(Ω)的傅里叶反变换，自然就是x(t)。 9.4节已指出，对于满足容许条件的小波ψ(t)，当a=2,j∈Z时，其二进制小波 j ψj,b(t)对应的傅里叶变换应满足（9.4.4）式的稳定性条件。这样，结合（9.4.4）和（9.8.10） ˆ(t): 式，我们可由下式得到对偶小波ψ[8]ˆ(Ω)= Ψ Ψ(Ω) j=−∞∑Ψ(2Ω) jj 2 ∞ 2 (9.8.11) 由于（9.8.11）式的分母满足（9.4.4）式，因此有 1 ≤ B j=−∞∑Ψ(2Ω)≤ ∞ 1 (9.8.12) A ˆ(t)也满足稳定性条件，也即，我们总可以找到一个“稳定的”对偶小波这样，对偶小波ψˆ(t)由（9.8.8）式重建出x(t)。下面的定理更完整地回答了在半离散二进小波变换情况ψ下x(t)的重建问题。 定理9.4 如果存在常数A>0,B>0，使得 - 277 - A≤则 Ax 2 j=−∞ ∑Ψ(2jΩ)≤B ∀Ω (9.8.13) 122 WTjbBx(,)≤ (9.8.14) ∑xj j=−∞2 ∞ ∞ 2 ≤ ˆ(t)满足 如果ψ 则 x(t)= = jj∗ˆΨ(2Ω)Ψ(2Ω)=1 ∀Ω＝R－｛０｝ (9.8.15) ∑ ∞ j=−∞ j=−∞∞ ∑2 ∞ −j ˆj,•(t) WTx(j,•)∗ψj=−∞ ∑2 −3j/2 ∫WT(j,b)ψˆ(2 x −j (t−b))db (9.8.16) j 该定理指出，若ψ(t)的傅里叶变换满足稳定性条件，则x(t)在a=2,j∈Z上的小 ˆ(t)的傅里叶变换若满足（9.8.15）式（也波变换的幅平方的和是有界的。进而，ψ(t)和ψ即（9.8.10）式），则x(t)可由（9.8.16）式重建。 总之，若ψ(t)满足容许条件，且再满足稳定性条件，由二进小波变换WTx(j,b)总可 ˆ(t)总是存在的。但是，满足稳定性以重建x(t)，也即一个满足稳定性条件的对偶小波ψˆ(t)不一定是唯一的。如何构造“好”的小波ψ(t)及得到唯一的对偶小条件的对偶小波ψˆ(t)是小波理论中的重要内容。我们将再第十一章详细讨论。 波ψ文献[10]证明了若（9.8.13）式的稳定性条件满足，则（9.3.9）式的容许条件必定满足，且 2 Ψ(Ω) dΩ≤Bln2 (9.8.17) Aln2≤∫0Ω 从而，由连续小波变换WTx(a,b)总可以恢复x(t)，也即（9.4.1）式总是成立。 B 以上讨论的是仅对a作二进制离散化的情况，现在考虑a和b同时离散化的相应理论问题。 9.8.2离散栅格上的小波变换 令a=a0,j∈Z，我们可实现对a的离散化。若j=0，则ψj,b(t)=ψ(t−b)。欲对b离散化，最简单的方法是将b均匀抽样，如令b=kb0，b0的选择应保证能由WTx(j,k)来 - 278 - j 恢复出x(t)。当j≠0时，将a由a0 j−1 变成a0时，即是将a扩大了a0倍，这时小波ψj,k(t) j 的中心频率比ψj−1,k(t)的中心频率下降了a0倍，带宽也下降了a0倍。因此，这时对b抽样 12 的间隔也可相应地扩大a0倍。由此可以看出，当尺度a分别取a0,a0,a0,\",时，对b的抽 12样间隔可以取a0b0,a0b0,a0b0,\",，这样，对a和b离散化后的结果是： −j/2−j ψj,k(t)=a0ψ[a0(t−ka0jb0)] =a0 −j/2 ψ(a0−jt−kb0) j,k∈Z (9.8.18) 对给定的信号x(t)，（9.1.2）式的连续小波变换可变成如下离散栅格上的小波变换，即 WTx(j,k)= ∫x(t)ψj,k (t)dt (9.8.19) 此式称为“离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）”。注意式中t仍是连续变量。这样，(a,b)平面上离散栅格的取点如图9.8.1所示。图中取a0=2，尺度轴取以2为底的对数坐标。由该图可看出小波分析的“变焦距”作用，即在不同的尺度下（也即不同的频率范围内），对时域的分析点数是不相同的。 图9.8.1 DWT取值的离散栅格 记dj,k=WTx(j,k)，我们可以仿照傅里叶级数和Gabor展开那样来重建x(t)，即 x(t)= ∞ ∞ ∑∑d j=0k=−∞ j ˆj,k(t) (9.8.20) (k)ψˆj,k(t)是ψj,k(t)的对偶函数，或对偶小波。 该式称为小波级数，dj(k)称为小波系数，ψ我们知道，对任一周期信号x(t)，若周期为T，且x(t)∈L(0,T)，则x(t)可展成傅 - 279 - 2 里叶级数，即 x(t)= k=−∞ ∑X(kΩ)e ∞ jkΩ0t Ω０＝２πT (9.8.21a) 式中X(kΩ0)是x(t)的傅里叶系数，它由下式求出： 1T/2 X(kΩ0)=∫x(t)e−jkΩ0tdt (9.8.21b) T−T/2 小波级数和傅里叶级数形式上类似，但其物理概念却有着明显的不同： （1） 傅里叶级数的基函数e ,k∈Z，是一组正交基，即〈ejk1Ω0t,ejk2Ω0t〉=δ(k1−k2)。 ˆj,k(t)不一定是正交基，甚至不一定是一组“基”； 而小波级数所用的一族函数ψjkΩ0t jkΩ0t （2） 对傅里叶级数来说，基函数是固定的，且分析和重建的基函数是一样的，即都是e （差一负号）；对小波级数来说，分析所用的函数ψj,k(t)是可变的，且分析和重建所 ˆj,k(t)； 用的函数是不相同的，即分析时是ψj,k(t)，而重建时是ψ（3） 在傅里叶级数中，时域和频域的分辨率是固定不变的，而小波级数在a,b轴上的离散 化是不等距的，这正体现了小波变换“变焦”和“恒Q”性的特点。 将（9.1.2）式的连续小波变换改变成（9.8.19）式的离散小波变换，人们自然会问： （1） 一族小波函数ψj,k(t),j,k∈Z，在空间L(R)上是否是完备的？所谓完备，是指对 任一x(t)∈L(R)，它都可以由这一组函数（即ψj,k(t)）来表示； （2） 如果ψj,k(t)是完备的，那么ψj,k(t)对x(t)的表示是否有信息的冗余？ （3） 如果ψj,k(t)是完备的，那么对a和b的抽样间隔如何选取才能保证对x(t)的表示不 存在信息的冗余？ Daubechies对上述问题进行了深入的研究，给出了“小波标架”的理论[5]，现介绍 一下其中主要的结论。 2 2 9.8.3小波标架理论介绍 我们在1.8节给出了标架的基本理论，其要点是： ψn}是Hilbert空间中的一组向量，对给定的x(t)∈L(R)，若存在常数 1. 若{2 0 2 ≤∑〈x,ψn〉≤Bx (9.8.22) n 22 - 280 - 则{ψn}构成了一个标架； ψn}为紧标架，若A=B=1，则{ψn}构成一正交基； 2. 若A=B，则称{3. 定义标架算子S为 Sx=则 x= ∑〈x,ψn n 〉ψn (9.8.23) ∑〈x,S n −1 ψn〉ψn=∑〈x,ψn〉S−1ψn (9.8.24) n −1 −1 ˆn也构成一个标架，标架界分别为B和A； ˆn=S−1ψn为ψn的对偶函数族，则ψ记ψ4. 用标架来表征一个信号x，也即对x作分解时，标架可给出完备的且是稳定的表示， ˆn不是唯一的。对信号的冗余表但这种表示是冗余的，即{ψn}之间是线性相关的，因此ψ示有时并不一定是坏事，它在表示的稳定性、对噪声的鲁棒性（robustness）方面都优于正交基[5]； 5. 标界边界A和B之比值，即B/A称为冗余比。在实际工作中，总希望B/A接近于 1，即{ψn}为紧标架。当A=B时，我们有 ˆj= ψ1 ψj (9.8.25) A 将以上要点内容用于小波变换，即得小波标架。在（9.8.18）式中，令a=a0j， b=ka0jb0，我们从而得到了一族在尺度和位移上均是离散的小波ψj,k(t)。能否由离散小波变换 WTx(j,k)=dj(k)来重建x(t)，显然取决于a0和b0。a0和b0越小，重建越容易，当然ˆj,k(t)存在。当冗余度也越大，ψj,k(t)对不同的j,k∈Z是线性相关的，这时将有无数的ψ然，a0，b0过大，准确重建将不会可能。下面两个定理给出了小波标架的主要内容。 定理9.5 如果ψj,k(t)=a0 −j/2 −j ψ(a0t−kb0),j,k∈Z构成L2(R)中的一个标架，且标 架边界分别为A和B，则母小波ψ(t)须满足： ∞Ψ(Ω)blna0blna0A≤∫dΩ≤0B (9.8.26a) 002π2πΩ 2 及 0Ψ(Ω)blna0blna0 A≤∫dΩ≤0B (9.8.26b) 0 −∞2π2πΩ 2 - 281 - 该定理的证明见文献[5]。该定理又称ψj,k(t)构成标架的必要条件。这一条件实际上即是连续小波变换中的容许条件。当仅对a取二进制离散化，b保持连续（即9.8.1节的内容）时，该必要条件也就是充分条件。 若ψj,k(t)构成紧标架，即A=B，那么，其标架边界 0Ψ(Ω)∞Ψ(Ω)2π2πdΩ=dΩ (9.8.27) ≤∫ A=∫−∞0b0lna0b0lna0ΩΩ 2 2 若ψj,k(t)构成L(R)中正交基，则 2 定理9.6 定义 ∫ ∞ 0 0Ψ(Ω)Ψ(Ω)blna0 dΩ=∫dΩ=0 (9.8.28) −∞ΩΩ2π22 及 β(ξ)=sup 1≤Ω≤a0j=−∞ ∑Ψ(aΩ)Ψ(aΩ+ξ) (9.8.29) j 0 j0 ∞ Δ= k=−∞k≠0 ∑[β( ∞ 2πk2πk1/2 )β(−)] (9.8.30) b0b0 如果a0和b0的选取保证 1 (inf A0= b01≤Ω≤a0 及 j=−∞∑Ψ(a0jΩ)−Δ)>0 (9.8.31a) ∞ 2 1 (sup B0= b01≤Ω≤a0 j=−∞ ∑Ψ(aΩ) j0 ∞ 2 +Δ)<∞ (9.8.31b) 则ψj,k(t)是L(R)中的一个标架。A0、B0分别是标架界A和B的下界与上界。 此定理的证明仍见文献[5]，定理中“sup”表示上限或“上确界（supremum）”，“inf”表示下限或“下确界（infimum）”。该定理指出，尽管ψ(t)满足容许条件，但若a0，b0取的不合适，也即（9.8.31）式不能得到满足，ψj,k(t)也不一定构成一个标架。 例9.8.1 对（9.6.6）式给出的墨西哥草帽小波，文献[]利用（9.8.31）式计算了在a和 {}2 {}b取不同步长时边界A和B的值，如表9.8.1所示。表中，a=a0j，取 a0=21/N,N=1,2,3,4。显然，若N=1；则a=a0j={\",1,2,3,4,\",}；若N=2，则 - 282 - j/3 N=4时，若N=3；则a=a0={a=a0j/2={\",1,21/2,2,23/2,\",}；\",1,21/3,22/3,2,\",}； a=a0j/4=\",1,21/4,21/2,23/4,\",。显然，N越大，对a离散化的步长越小。 表9.8.1 墨西哥草帽标架界的计算 由该表可以看出： （1）当b0≤0.75时，无论N=1,2,3还是4，墨西哥草帽离散化后的ψm,n(t)都接近于构成一个紧标架，即这时的B/A接近于1； （2）同一N值下，b0越小（如b0=0.25），A和B的值越大，因为这时A≈B，所以它们的值反映了冗余度的大小。显然，b0越小，冗余度越大，自然A和B越大； （3）同一N值下，b0越大，B/A的值越大，这就越远离紧标架。若再增加b0，有可能使求出的A为负值，从而使这时的ψm,n(t)不再构成标架。 总之，以上的标架理论及边界A,B值的计算给我们一个大致估计a0,b0选取的原则， 即二者的选取要保持离散化后的ψm,n(t)至少要构成一个标架，以保证对信号稳定、完备的表示。但在一般情况下，标架并不是正交基，除非A=B=1。 我们在1.8节还给出了Riesz基的概念，现把这一概念扩展到二维函数ψj,k(t)。 定义9.8.1[3,22] 若ψj,k(t),j,k∈Z是由母小波ψ(t)通过伸缩与移位生成的L(R)上的“稠密”的二维函数族，并且存在常数A和B，使得 {}{}{}2 - 283 - Acj,k {}22 ≤ j=−∞k=−∞ ∑ ∞ ∑cj,kψj,k 2 ∞ 2 ∞ 2 ≤B{cj,k} (9.8.32) 22 {} {c}j,k 对于所有满足平方和的序列cj,k成立，式中 22 = j=−∞k=−∞∑ ∞ ∑cj,k<∞ (9.8.33) 则称ψj,k(t),j,k∈Z是L(R)上的一个Riesz基，常数A和B分别称为Riesz基的下界和上界。 上述定义中“稠密”的含义是指L(R)中的任一函数都可由二维序列ψj,k(t),j,k∈Z的线性组合来表示。其实，该定义可简单地解释为如下： （1）首先，ψj,k(t),j,k∈Z是一个标架； （2）对任意的j,k∈Z，ψj,k之间是线性无关的。 母小波ψ(t)称为Riesz函数。 这样，Riesz基可以比标架最大限度地去除冗余度。此外，生成Riesz基ψj,k(t),j,k∈Z的 2 {}2 {}{}{}ˆj,k(t),j,k∈Z也是一个Riesz基，因此ψˆj,k对可以证明[8]，Riesz基的对偶函数序列ψˆj,k是唯一的。这样，我们有 任意的j,k是线性无关的，对给定的ψj,k，其对称基ψ x(t)= j=−∞k=−∞∞ ∞ {}∑∑〈x,ψˆ ∞∞ j,k 〉ψj,k ˆj,k (9.8.34) 〉ψ= j=−∞k=−∞ ∑∑〈x,ψj,k 下面，我们在1.6节关于小波分类的基础上再给出几个有关小波的定义： 1．正交小波 若Riesz基ψj,k(t),j,k∈Z满足 〈ψj,k,ψj′,k′〉=δj,j′δk,k′ (9.8.35) 则称生成ψj,k(t)的母小波ψ(t)为正交小波。式中 {}δj,j′δk,k′=δ(j−j′)δ(k−k′)=⎨ ⎧1, ⎩0 j=j′,k=k′ 其它 (9.8.36) （9.8.35）式指出，在同一尺度j下，不同移位之间的ψj,k是正交的。同时，在同一位移k下，不同尺度j之间的ψj,k也是正交的。 2．半正交小波 若ψj,k(t),j,k∈Z满足 - 284 - {} 〈ψj,k,ψj′,k′〉=0， 对j≠j′,j,k,j′,k′∈Z （9.8.37） 该式的含义是，若j=j′，则〈ψj,k,ψj′,k′〉≠0。这时，对不同的位移k之间ψj,k不是正交的。因此，生成ψj,k的ψ(t)称为半正交小波。 3. 双正交小波 ˆj,k(t),j,k∈Z之间满足 若ψj,k(t),j,k∈Z和其对偶小波ψˆj′,k′〉=δj,j′δk,k′ (9.8.38) 〈ψj,k,ψ则称生成ψj,k(t)的ψ(t)为双正交小波。 {}{}{}ˆ(t)之间的关系，因此半正交小波不是正交小波，双正交小波指的是ψ(t)和其对偶ψ也不是正交小波。但一个正交小波必定是半正交的，也是双正交的。下面的定理给出了正交小波、半正交小波及双正交小波之间的关系。 定理9.7[3,22] 令ψ(t)∈L(R)是一个半正交小波，其傅里叶变换为Ψ(Ω)，定义 2 ˆ(Ω)= Ψ Ψ(Ω) k=−∞ ∑Ψ(Ω+2kπ) ∞ (9.8.39) 2 ˆ(Ω)的傅里叶反变换为ψˆ(t)分别作二进制伸缩和移位生成的ˆ(t)，则由ψ(t)和ψ并记Ψ ˆj,k之间是双正交的，即它们满足（9.3.38）式。 ψj,k和ψ该定理的证明见文献[3]。同时，该定理给出了将半正交小波变成正交小波的方法。由 ˆ(Ω)=Ψ(Ω)，（1.7.11）式，若ψ(t)为正交小波，则（9.8.39）式的分母为1，这样，Ψ ˆ(t)=ψ(t)。这正是我们以前所指出的，即正交基和其对偶基是一样的。因此，令 也即ψ Ψ⊥(Ω)= Ψ(Ω) [∑Ψ(Ω+2kπ)] k=−∞∞21/2 (9.8.40) ˆ(t)应由下式并记ψ(t)为Ψ(Ω)的傅里叶反变换。由定理（9.7），ψ(t)的对偶小波ψ给出： ⊥⊥⊥⊥ ˆ(Ω)= Ψ ⊥ ˆ⊥(Ω)Ψ k=−∞ ∑Ψ ∞ ⊥ (Ω+2kπ) 2 (9.8.41) ˆ⊥(Ω)，即ψ⊥(t)和其对偶函数ψˆ⊥(t)是自对偶的，因此，ψ⊥(t)即可以证明，Ψ⊥(Ω)=Ψ 是正交小波。有关该结论的证明可参考下章定理10.2的证明。 - 285 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容