数形结合思想在高中数学中的应用

数形结合思想在高中数学中的应用

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

现从以下几个方面对高中数学中出现的一些问题就个人的一些见解进行阐述：

一、数形结合在集合方面的应用

例1，向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外对A，B都不赞成的人数比对A，B都赞成的人数的三分之一多1人。问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

解：将50名学生全体记为U，赞成A的人记为集合A，易知有30人，赞成B的人记为集合B，易知有33人。设对A，B都赞成的学生为x人，画出Venn图如图1，容易得到：30+33-x+ x+1=50，可得x=21

图1

所以，对A，B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。

例2：已知集合A={x|1≤x≤3}，B{x|x≥a}

①A B求a的取值范围

②A∩B=？覫求a的取值范围

图2 图3

解；利用数轴，如图2所示得①，得a≤1

②如图3，由图得a>3

变式训练：

1.某班有36名同学参加数学，物理化学课 外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学物理化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？

2.设全集为R，集合A={x|a≤x≤a+3}，CRB={x|-1≤x≤5}，

（1）若A∩B=？覫求实数a的取值范围

（2）若A∩B=A求实数a的取值范围

答案1，8人，画Venn图

2.（1）{a|-1≤a≤2}，（2）{a|a≥5}∪{a|a0，f（3）>0，f- =f（-k）x

法一：分析 代数法利用不等式的性质等价转化，常规解法

原不等式等价于（I）x≥0x+2≥0x+2>x2或（II）xx的解，就是使y1= 的图象在y2=x的上方的那段对应的横坐标，如图5，不等式的解集为{x|xA≤x例3，已知0A.1个 B.2个

C.3个 D.1个或2个或3个

分析判断方程的根的个数就是判断图象y=a{x}与y={logax}的交点个数，画出两个函数图象图6，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

图6

变式训练：

1.方程2x=x2+2x+1的实数解的个数是_____。

A.1 B.2 C.3 D.以上都不对

2.方程x=10sin x的实根的个数是_______。

3.若不等式M=x+1+x-1的解集是非空数集，那么实数M的取值范围是_________。

4.若方程x2-3ax+2a2=0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。

答案：1.B，画出y=2x与y=x2+2x+1的图像看交点

2.3，画图像看交点 3.M≥2，画数轴

4. 〈a〈1，，令f（x）=x2-3ax+2a2借助图像得f（1）<0

三、解析几何问题

例4，已知x，y满足 + =1，求y-3x的最大值与最小值。

分析：对于二元函数y-3x在限定条件 + =1下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之。令y-3x=b，则y=3x+b，原问题转化为：在椭圆 + =1上求一点，如图7，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上的截距最大或最小，由圆形知，当直线y=3x+b与椭圆 + =1相切时，有最大截距与最小截距。

y=3x+b + =1？圯169x2+96bx+16b2-400=0，由Δ=0，得b=±13，故y-3x的最大值为13，最小值为-13。图7 图8

例5，如果实数x，y满足（x-2）2+y2=3，则 的最大值为（ ）

A. B. C. D.

分析：等式（x-2）2+y2=3有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为（2，0），半径r= ，如图8，而 = 则表示圆上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆心，以 为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图可见，在∠A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值tg60°=

变式训练：1如果实数x、y满足等式（x-2）2+y2=3，那么 的最大值是_____。

A. B. C. D.

2.已知集合P={（x，y）|y= }、Q={（x，y）|y=x+b}，若P∩Q≠？覫，则b的取值范围是____。

A.|b|<3 B.|b|≤3

C.-3≤b≤3 D.-3答案：1.选D，转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题

2.选c

四、复数问题

例6，设|z1|=5，|z2|=2，|z1- |= ，求 的值。

【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。

【解】如图9，设z1= 、z2= 后，则 = 、 = 如图所示。

由图可知， = ，∠AOD=∠BOC，由余弦定理得：cos∠AOD= =

∴ = （ ± i）=2± i

【另解】设z1= 、 = 如图10所示。则 = ，且cos∠AOD= = ，sin∠AOD=± ，所以 = （ ± i）=2± i，即 =2± i。

【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。

图9 图10

例7，已知复数z满足z-2-2i= ，求z的模的最大值、最小值的范围。

分析：由于z-2-2i=z-（2+2i），有明显的几何意义，它表示复数z对应的点到复数2+2i对应的点之间的距离，因此满足z-2-2i= 的复数z对应点Z，在以（2，2）为圆心，半径为 的圆上，如图11，而z表示复数z对应的点Z到原点O的距离，显然，当点Z、圆心C、点O三点共线时，z取得最值，zmin= ，zmax=3 ，∴z的取值范围为[ ，3 ]

图11

变式训练：1.满足方程|z+3- i|= 的辐角主值最小的复数z是_____。

答案1.- + i利用复数摸的几何意义

总结：采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将

数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，要争取胸中有图，见数想图产生事半功倍的效果。

数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，学习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。