15.2 分式的运算
1．分式的乘除
(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． aca·c用式子表示为：·＝. bdb·d
(2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． acada·d
用式子表示为：÷＝·＝.
bdbcb·c
分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式． 4a4b29x
【例1】 计算：(1)·；
15x28a4ba2－1a2－a(2)2÷； a＋2a＋1a＋1a2－42a(3)2·2； a＋4a＋4a－4a＋44x2＋4xy＋y2(4)÷(4x2－y2)．
2x＋y4a4b2·9x3b4a4b29x
解：(1)·＝＝；
15x28a4b15x2·8a4b10xa2－a
(2)2÷ a＋2a＋1a＋1
（a＋1）（a－1）a＋1＝· （a＋1）2a（a－1）（a＋1）（a－1）（a＋1）1＝＝；
aa（a＋1）2（a－1）2a
(3)2·2 a＋4a＋4a－4a＋4（a＋2）（a－2）2a
· 22
（a＋2）（a－2）a2－4a2－1
＝
2a（a＋2）（a－2）＝ （a＋2）2（a－2）2
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＝； a2－42a
4x2＋4xy＋y2(4)÷(4x2－y2)
2x＋y（2x＋y）21＝·
2x＋y（2x＋y）（2x－y）＝. 2x－y1
2．分式的乘方
(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． aa
(2)用式子表示：b＝bn.
解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．
【例2】 计算： axy(1)－b3；(2)－z2.
2
4
n
n
2
3
a4（a）a8解：(1)＝12； 3＝－b（－b3）4bxy3（xy）x6y3x6y3(2)2＝＝＝－6.
z－z（－z2）3－z6
3．分式的加减
(1)同分母分式相加减：
①法则：分母不变，把分子相加减； aba±b
②用式子表示：±＝. ccc
(2)异分母分式相加减：
①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减； acadbcad±bc
②用式子表示：±＝±＝.
bdbdbdbd
警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；
2
2
3
224
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(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；
(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式． 【例3】 计算：
（a－b）2（a＋b）2(1)＋；
2ab2aba1(2)2－； a－11－a2112x(3)－＋22； x＋yx－yx－y122(4)2＋； m－93－mx－32(5)2－； x－1x＋14(6)－a－2. a＋2
（a－b）2（a＋b）2
解：(1)＋ 2ab2ab（a－b）2＋（a＋b）2
＝ 2ab
a2－2ab＋b2＋a2＋2ab＋b22a2＋2b2＝＝
2ab2aba2＋b2
＝；
ab
a1a1(2)2－＝＋ a－11－a2a2－1a2－11
＝＝； a2－1（a＋1）（a－1）a－1a＋1
a＋1
＝
112x(3)－＋22 x＋yx－yx－y
12x－＋ x＋yx－y（x＋y）（x－y）1
＝
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（x－y）－（x＋y）＋2x＝
（x＋y）（x－y）
2x－2y
＝
（x＋y）（x－y）
2＝；
（x＋y）（x－y）x＋y
2（x－y）
＝
122122(4)2＋＝－ m－93－m（m＋3）（m－3）m－3
12
2（m＋3）
＝
－
（m＋3）（m－3）（m＋3）（m－3）12－2（m＋3）
＝
（m＋3）（m－3）－2（m－3）
＝
（m＋3）（m－3）
2＝－；
m＋3x－32(5)2－ x－1x＋1
x－3
2（x－1）
＝
－
（x＋1）（x－1）（x＋1）（x－1）－（x＋1）＝
（x＋1）（x－1）（x＋1）（x－1）x－3－2（x－1）
＝
1＝－；
x－1
44(6)－a－2＝－(a＋2) a＋2a＋2（a＋2）（a＋2）24＝－＝－ 1a＋2a＋2a＋2
4
4－（a＋2）24－a2－4a－4
＝＝ a＋2a＋2
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a2＋4a＝－.
a＋24．整数指数幂
1－－
一般地，当n是正整数时，an＝n(a≠0)．这就是说，an(a≠0)是an的倒数．这样引
a入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．
－－＋－
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，am÷an＝amn，am·an＝am(n)＝am
－n－
，因此am÷an＝am·an.
anana－1－1n特别地，＝a÷b＝a·b，所以b＝(a·b)，即商的乘方b可以转化为积的乘方(a·b
b
－1
)n.
这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：
＋
(1)am·an＝amn(m，n是整数)； (2)(am)n＝amn(m，n是整数)； (3)(ab)n＝anbn(m，n是整数)． 【例4】 计算： 2
－； (1)3(2)a2b3(a1b)3÷(ab)1.
－
－
－
－2
2119
－＝解：(1)2＝＝； 3－244
39
(2)a2b－3(a－1b)3÷(ab)－1＝a2b－3·a－3b3·ab＝a0b＝b. 5．科学记数法
(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为原数整数部分的位数减1；
－
(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a×10n的形式，其中n为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a|＜10.
提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小． 【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来： (1)650 000；
(2)－36 900 000； (3)0.000 002 1； (4)－0.000 006 57.
解：(1)650 000＝6.5×105； (2)－36 900 000＝－3.69×107； (3)0.000 002 1＝2.1×10－6；
－2
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(4)－0.000 006 57＝－6.57×10－6.
6．分式的乘除混合运算
分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．
谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．
7．分式的混合运算
分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．
解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．
8．把分式化简后再求值
分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．
2
1－x22x＋3x＋2【例6】 计算：2÷(x－1)·. x＋4x＋4x－1
分析：按照从左到右的顺序依次运算，把除法运算转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式或整式．
x2＋3x＋2
解：2÷(x－1)· x＋4x＋4x－1
2
1－x2
（1＋x）（1－x）（x＋1）（x＋2）1＝·· （x＋2）2（x－1）2x－1
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＝－.
（x＋2）（x－1）2
2a－b＋2÷1＋1【例7】 计算：2·. 22a＋2ab＋bababa－b2＋2ab
2
2
2
（x＋1）2
a2－b22a＋b22
＋÷解：原式＝2· 2ab22
aba＋2ab＋ba－b＋2ab
2
a2－b22（ab）2
＋·＝2· 2ab222
a＋2ab＋b（a＋b）a－b＋2ab
a2－b22ab2
＋＝2· 2222
a＋2ab＋b（a＋b）a－b＋2aba2－b22ab2
＋＝· 2222
（a＋b）（a＋b）a－b＋2ab
a2－b2＋2ab2＝· 222
（a＋b）a－b＋2ab＝
.
（a＋b）2
2
2
3xxx－1
【例8】 先化简，再求值：x－1－x＋1·2x，其中x＝－3. 3x（x＋1）－x（x－1）（x＋1）（x－1）
解：原式＝· 2x（x＋1）（x－1）3x2＋3x－x2＋x2x2＋4x2x·（x＋2）
＝＝＝＝x＋2.
2x2x2x当x＝－3时，原式＝－3＋2＝－1.
9.运用分式运算解决实际问题
运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．
x＋y4
作差法举例：若x≠y且x＞0，y＞0，比较与的大小．
x＋yxyx＋y4xy－（x＋y）2－（x－y）2
解：－＝＝.
x＋yxyxy（x＋y）xy（x＋y）
4
因为x≠y，x＞0，y＞0.
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－（x－y）2x＋y4所以＜0，即＜. xy（x＋y）x＋yxy
【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出
168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？
解：设甲每小时生产这种零件x个，则乙每小时生产这种零件(x－8)个，甲完成任务需168144
要时间为小时，乙完成任务需要时间为小时．
xx－8
168144168（x－8）－144x24（x－56）－＝＝. xx－8x（x－8）x（x－8）∵x＞8，∴x－8＞0，∴x(x－8)＞0. 168144故当x＞56时，－＞0；
xx－8168144
当x＝56时，－＝0；
xx－8168144
当x＜56时，－＜0.
xx－8
所以若甲每小时生产零件多于56个，则乙先完成任务；若甲每小时生产零件等于56个，则两人同时完成任务；若甲每小时生产零件小于56个且多于8个，则甲先完成任务．
10．分式混合运算的开放型题
运用分式的混合运算解决开放型问题，关键还是进行分式的混合运算，只是题目具有一定的开放性，所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．
a2＋b22ab
举例：已知P＝2，用“＋”或“－”连接P，Q共有三种不同的形式：2，Q＝2a－ba－b2P＋Q，P－Q，Q－P，请选择其中一种进行化简求值，其中a＝3，b＝2.
12x
【例10】 已知A＝，B＝2，C＝.将它们组合成(A－B)÷C或A－B÷C的
x－2x－4x＋2形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x＝3.
1－2x
解：选一：(A－B)÷C＝2÷ x－2x－4x＋2
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x＋21
＝×＝，
x（x＋2）（x－2）x－2
x
1
当x＝3时，原式＝＝1.
3－212x
选二：A－B÷C＝－2÷ x－2x－4x＋2x＋2
＝－×
xx－2（x＋2）（x－2）
1
2
1
－＝＝， x－2x（x－2）x（x－2）x1
2
x－2
＝
1
当x＝3时，原式＝.
3
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