第1讲 倍数问题（一）„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 3
第2讲 倍数问题（二）„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 5
第3讲 假设法解题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 7
第4讲 作图法解题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 9
第5讲 周期问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11
第6讲 置换问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13
第7讲 包含与排除„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„15
第8讲 一般应用题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19
第9讲 盈亏问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„21
第10讲 行程问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„25
第11讲 火车行程问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„27
第12讲 灵活运用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„29
终结性测试题一 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 31
终结性测试题二 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 32
第1讲 平均数
专题简析
把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的输就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记：
平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平均数
例1
某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3，被改的数原来是多少？
分析解答： 原来三个数的和是2×3=6，后来个数的和是3×3=9，9比6多出了3，是因为把那个数改成了4，因此，原来的数应该是4-3=1。
3×3-2×3=3 4-3=1
答：被改的数原来是1。
随堂练习：
1、已知九个数的平均数是72 ，去掉一个数后，余下数的平均数是78，去掉的数是多少？
2、有五个数，平均数是9，如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8。这个改动的数原来是多少？
例2
把五个数从小到大排列，其平均数时38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？
分析解答： 先求五个数的和：38×5=190。在秋初前三个数的和：27×3=81，后三个数的和：48×3=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个书就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。
27×3+48×3-38×5=35
答：中间一个数是35。
随堂练习：
1、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲乙的平均年龄是18岁，乙丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？
2、十名参赛者平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？
拓展训练
1、 化肥厂在一星期前3天平均每天生产化肥250吨，后4天共生产化肥1126吨， 这个星期平均每天生产化肥多少吨？
2、 修一条渠，第一天修3小时，平均每小时修4.5千米;第二天修5小时,平均每小时修5.3千米,这两天平均每天修多少千米?平均每小时修多少千米?
3、 三个小组采集树种,第一小组10人,一天采集树种180千克;第二小组12人,一天采集树种240千克;第三小组13人,一天采集树种280千克.平均每人采集树种多少千克?
1
4、 张红前三次数学测验平均成绩是92分,第四次得了96分.他四次的平均成绩是多少分?
5、 下面是某小学五(1)中队第一小队向灾区捐款的情况统计表,请你算出平均每人捐多少元?
捐款金额(元) 人数 3 1 5 4 8 3 10 4 6、 兴华小学四年级有3个班,一、二班的平均人数是55人,二、三班的平均人数是56人,一、三班的平均人数是52人,问这三个班各有多少人?
7、 15个同学分连环画,平均每人分到7本,后又来了若干个同学,大家重新分配,平均每人分到5本,问又来了几名同学?
8、甲、乙两地相距161千米。汽车从甲地到乙地用了3小时，从乙地返回甲地时，比去时多用了1小时，这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？
9、 爸爸、妈妈的平均年龄是36.5岁，儿子的年龄是11岁，再过3年，他们三人的平均年龄是多少岁？
10、 九个数的平均数是72，去掉一个数后，余下的数的平均数是78，去掉的数是多少？
11、 韩磊期末考试语文、外语、思想品德和自然的平均成绩是81分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高2分，他的数学成绩是多少分？
12、 五年级5个同学参加作文竞赛，其中4人的平均成绩是65分，加上李明的分数后，平均成绩就是70分，李明得了多少分？
13、李华期末考试思想品德、语文、数学、英语、社会五科的平均成绩是89分，思想品德、数学两科的平均成绩是91分，语文、英语两科的平均成绩是84分，思想品德、英语两科的平均成绩是86分，且英语比语文多10分。问李华这五科的成绩各是多少分？
第2讲 倍数问题（一）
专题分析：
倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或者差以及几个数的倍数关系，求这几个数的应用题。
2
解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其他几个数与这个数的关系，确定“和”或者“差”相当于这样的几倍。最后用用除法求出1倍数。 和数÷（倍数＋1）＝较小数 差数÷（倍数－1）＝较小数
例1 两根同样长的铁丝，第一根剪去18米，第二根剪去26米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少米？
分析解答：这两根铁丝的差保持不变，而剩下的铁丝的差依然是原来铁丝的差。根据余下的铁丝第一根是第二根的3倍。则余下的铁丝相差2倍。这样很容易计算第二根余下的铁丝是：（26－18）÷（3－1）＝4（厘米） 则原第二根铁丝长30厘米。
随堂练习：
1、两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各长多少米？
2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和5个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。原来两筐水果一共有多少个？
例2 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来甲组有图书多少本？
分析解答：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3＝18（本），则甲组仍是乙组的3倍，事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，这样24本正好对应后来两组的（5－3＝2）倍。因此后来乙组的图书是：（6×3＋6）÷（5－3）＝12（本）。则原来乙组为18本，甲组就是18×3＝54（本）。
随堂练习：
1、原来小明的画片是小红的3倍，后来二人个买了5张，这样小明的画片就是小红的2倍。原来二人各有多少张画片？
2、一个书架分上下两层，上层的书的本数是下层的4倍，从下层拿出5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有几本书？
拓展训练
1、幼儿园买来的苹果的个数是 梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，还有苹果正好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？
2、两个数的和是682，其中一个数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个数。这两个数各是多少？
3、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出40吨，乙粮库每天运出30吨。若干天后，乙粮库的粮食全部运完，甲粮库还有80吨。甲乙粮库原来各有粮食多少吨？
3
4、高年级同学分7人一组植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍，如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么杉树正好分完，杨树还剩20棵。参加植树的一共有多少人？
5、兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本8.4元。弟弟买了3支笔，每支1.2元。现在弟弟的钱数是哥哥的3倍。兄弟两人原来各有多少钱？
6、学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男女生人数相等，如果参加的男生名额给4个女生，则男生人数是女生的一半。原定夏令营中男女生各多少人？
7、体育室有排球和篮球共65个，已知篮球个数的3倍比排球个数的一半多20个。排球和篮球各有多少个？
8、甲乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元时，两人余下的钱正好相等，求甲乙原来各存有多少钱？
9、原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克，大米的重量是面粉的2倍。食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？
10、饲养场的白兔是黑兔的5倍，后来卖掉10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？
第3讲 倍数问题（二）
4
例1 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍，如果每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩16个。两种水果原来各有多少个？
分析解答：因为苹果是梨的2倍，如果每组领梨3个，领苹果就应为6个，这样才会一起分完。可实际每组只分4个苹果，少分2个，剩下的16个苹果就告诉我们有8个组。因此苹果的个数是：8×4＋16＝48（个），梨有24个。
随堂练习：
同学们带着水果去看敬老院的老人，带的苹果是橘子的3倍，如果每位老人拿2个橘子和4个苹果，那么，橘子正好分完，苹果还多14个。问同学们把苹果分给了几位老人？
例2 有两筐橘子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐里的橘子是乙筐的2倍。甲乙两筐原来各有多少个橘子？
分析解答：“如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；”表示两筐橘子相差16个，“如果从乙筐拿出13个放到甲筐，”表示现在两筐的橘子差距是16＋13×2＝42（个）“甲筐里的橘子是乙筐的2倍”说明现在倍数差是2－1＝1（倍），这样就可以计算现在乙筐的橘子数是：42÷1＝42（个）则原来就是55个。甲筐的计算就容易了。
随堂练习：甲乙仓库存有货物，若从甲仓库取31吨放入乙仓库，则两仓库存货物同样多；若乙仓库取14吨放入甲仓库，则甲仓库的货物是乙仓库的4倍。原来两仓库各存货物多少吨？
拓展训练
1、养鸡场新买来100只小鸡，其中，母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只。买来母鸡、公鸡各多少只？
思路：题中已知母鸡和公鸡只数的和是100只，就可以计算它们的4倍是400只。又因为母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只，从400只去掉120只，就是公鸡只数的7倍，则公鸡的只数是40只，母鸡就是60只。
2、有两块地共有80公顷，第一块地的3倍比第二块地的2倍少10公顷。这两块地各有多少公顷？
3、养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡的只数就是公鸡的4倍。原来养鸡场一共养了多少只鸡？
思路：养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的6倍，如果公鸡增加60只，则母鸡应增加360只，这样才能保证母鸡是公鸡的6倍，实际上母鸡只增加了60只，少增加的300只就是母鸡只数是公鸡只数的4倍。所以现在的公鸡数是：60×（6－1）÷（6－4）＝150（只）原来的总数为：（150－60）×（1＋6）＝630（只）。
4、今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍。今年小明多少岁？练习七：
5、有1800千克的货物，分装在甲乙丙三辆车上。已知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲乙丙三辆车各装货物多少千克？
5
思路：把乙车看成1倍数，因为乙车比丙车多装200千克，甲车是乙车装的2倍，这样在总数中加上200千克，就可以看成乙车的4倍。所以乙车装了500千克。甲车和丙车就好计算了。
6、三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少200箱，三堆货物各多少箱？
7、甲乙丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲乙丙三数各是多少？
8、把840本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层的3倍多5本，中层放的本数是上层的2倍多1本。问：上中下三层各放书多少本？
9、甲乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本。乙书架原来有书多少本？ 思路：先计算现在的甲书架的书的本数：600÷3×2＝400（本），根据甲书架的书是乙书架的2倍还多150本，可计算现在乙书架的书的本数：（400－150）÷2＝125（本），因为从乙书架借出四分之三后是125本，所以原来的本数是：125÷1×4＝500（本）。
10、某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女生的四分之三去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的2倍。这个学校共有学生多少人？
第4讲 假设法解题
6
专题分析：
假设法解题是一种常用的思维方法，在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案。
例1 有5元和10元的人民币共14张，共100元，问5元和10元的人民币各多少张？
分析解答：先假设有14张5元的，则总数是70元，那么与实际相差30元，所以这30元就是10元人民币少出来的，因此10远人民币的张数是30÷（10－5）＝6（张）。也可以假设有14张10元的„„
随堂练习：
1、笼中共有鸡兔100只，鸡和兔的脚共248只，求笼中鸡兔各多少只？
2、一堆2分和5分的硬币共39枚，共值1.5元。问2分和5分的银币各有多少枚？ 3、营业员把一张5元的人民币和一张5角的人民币换成了28张票面为一元和一角的人民币。求换来的这两种人民币各多少张？
例2 有一元、二元、五元的人民币50张，总面值为116元。已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各有多少张？
分析解答：如果减少2张一元的，那么，总张数就是48张，总面值就是114元，这样一元和二元的张数就同样多了。假设48张都是5元的，则总面值为240元，比实际多了126元，这126元不仅包括把一元的假设为5元，而且包括把二元的假设为5元，这样在两张5元中就多了7元。所以二元的就有18张，一元的就有20张，五元的有12张。
随堂练习：
1、有3元、5元和7元的电影票400张，一共价值1920元。其中7元的和5元的张数相等，三种价值的电影票各有多少张？
2、有一元、五元、十元的人民币共14张，总计66元，其中一元的比十元的多2张，问三种人民币各有多少张？
3、有1角、2角、4角、5角的邮票共26张，总计6.9元。其中，1角和2角的张数相等，4角和5角的张数相等。求这四张邮票各有多少张？
拓展练习
1、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍。如果从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，那么取了多少次后，白子余1个，而黑子余18个？
思路：假设每次取出3个白子，黑子应取出6个，那么白子剩下1个时，黑子应剩下2个。而实际剩下了18个，是因为每次少取了2个黑子。所以取了（18）÷（6－4）＝8（次）。
2、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的3倍。如果从这堆棋子中每次同时取出黑子6个，白子3个，那么取了多少次后，白子余5个，黑子余36个？
3、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍。如果从这堆棋子中每次同时
7
取出黑子3个，白子4个，那么取了多少次后，白子余2个，黑子余29个？
4、操场上有一群同学，男生人数是女生的4倍，每次同时有2名男生和1名女生回教室，若干次后，男生剩下8人，女生剩下1人？操场上共有多少名同学？
5、用大小两种汽车运货，每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱。现有18车货，价值3024元。若每箱便宜2元，则这批货物价值2520元。问大小汽车各多少辆？
思路：根据“若每箱便宜2元，则这批货物价值2520元。”可以知道一共便宜了504元，这样可以计算出货物有252箱。假设18辆都是大汽车，可以装324箱，比实际多装72箱。用一辆大汽车换一辆小汽车可少运6箱，所以有12辆小汽车。6辆大汽车。
6、一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一共运了112次。平均每天运14次。这几天中有几天是雨天？
7、有鸡蛋18箩，每只大箩装180个，每只小箩装120个，这批蛋共值302.4元。若将每个鸡蛋便宜2分出售，这些鸡蛋可卖252元。问大箩、小箩各有多少个？
8、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批西瓜共值290元。如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问有多少千克大西瓜？
9、甲乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次倒扣6分。两人各投10次，共得152分。其中甲比乙多得16分，问两人各中多少次？
思路：根据共得152分。其中甲比乙多得16分，可计算甲得84分，乙得68分。甲投10次，假设全中。应得100分，这样比实际多了16分，由于脱靶一次扣6分，所以甲脱靶一次应扣16分，这样可计算出甲脱靶了1次。同理可计算乙脱靶了2次。那么计算甲乙投中的次数就容易了。
10、百货公司委托搬运站送500只玻璃瓶，双方商定每只运费0.24元。如果打破一只，不但不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果，搬运站共得运费115.50元。问搬运中打破了几只？
第5讲 作图法解题
8
专题分析：
用作图法把应用题的数量关系表示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。
在解答已知一个数或者几个数的和差、差倍以及相互之间的关系、求其中一个数或者几倍数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。
例1 五（一）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱团，剩下的男生人数是女生的3倍。五（一）班原有男女生多少人？
分析解答：先作图：由于男生人数和女生人数同样多，抽去18名男生和26名女生参加合唱团，说明男生比女生少抽8名，剩下的男生人数是女生的3倍，这8名正好是剩下男女生相差的2倍。这样很容易计算剩下的女生是4人。则原有女生30名。
随堂练习：
1、两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？
2、甲乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？
3、哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元。二人的存款正好相等。哥哥原来存有多少钱？
例2 两根电线共长59米，如果第一根剪去3米，第一根电线的长度就是第二根的3倍。求原来两根电线各长多少米？
分析解答：如果把第一根剪去3米，则总长是56米，这56米正好是原来第二根电线的4倍。这样计算就十分容易了。
随堂练习：
1、甲乙两筐苹果共重83千克，如果从甲筐取出3千克后，甲筐苹果的重量就是乙筐的4倍。甲乙两筐苹果原来各重多少千克？
2、学校图书室共有图书和故事书250本，又买来50本科技书后，科技书的本数是故事书的2倍，学校图书馆原来各有科技书和故事书多少本？
3、参加奥数竞赛集训的男生和女生共有21人，如果女生减少5名，男生人数就是女生的3倍，参加奥数竞赛集训的男女生各有多少人？
拓展训练
1、甲乙丙丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍丁组植树减少一半，那么四个组植的树正好相同。原来四个小组各植树多少棵？
思路：我们把现在的丙组看成1份，丁组则为4份，由于甲乙两组一组多2棵，一组少2棵，故总数不变。这样现在的丙组为：45÷（1＋4＋2＋2）＝5（棵）其他组的计算就简单了。
2、甲乙丙丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4，四个数正好相等，求这四个数。
9
3、甲乙丙三人分113个苹果，如果把甲分得个数减去5，乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数相同。三人原来分得苹果各多少个？
4、甲乙丙丁一共做370个零件，如果把甲做的个数加10，乙做的个数减少20，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人做的零件就相同。求乙实际做了多少个？
5、五（一）班全体同学做数学竞赛题，第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人。第二次及格人数增加5人。使及格的人数是不及格人数的6倍。五（一）班有多少人？
思路： 先作图，第二次及格人数增加5人，也就是不及格的减少5人，因为第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人。那么及格人数应减少15人，这样及格与不及格相差24人，这24人对应着（6－3）倍。第二次不及格的人数就是8人。其他问题就容易计算了。
6、有两筐苹果，甲筐水果的个数是乙筐的3倍，如果从乙筐中拿5个放进甲筐，这时甲筐的水果恰好是乙筐的5倍。原来两筐水果各有多少个水果？
7、某车间有两个小组，A组的人数不B组人数的2倍多2人。如果从A组中抽10人去A组，则A组人数是B组的4倍。原来两组各有多少人？
8、五（一）班上学期体育达标的人数比未达标人数的5倍多2人，今年又有2位同学达标，这样达标人数正好是未达标人数的7倍。这个班共有学生多少人？
9、用绳子测井深，把绳子三折来量，井外余16分米，把绳子四折来量，井外余4分米，求井深和绳长。
思路：把绳子三折来量，井外余16分米，就是绳长是井深的3倍多48分米，同理，把绳子四折来量，井外余4分米，就是绳长是井深的4倍多16分米，两次多余的差就正好是两次倍数的差。即井深是16分米。绳长计算就简单了。
10、用一根绳子量大树的周长，把绳子2折后正好绕大树2圈，若把绳子3折，绕大树一圈还余30厘米。求大树的周长和绳长。
第6讲 周期问题
10
专题分析：
周期问题是指事物在运动变化过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期有关的问题。这些数学问题只要我们发现某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
例1 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？
分析解答：249÷（5＋9＋13）＝9（组）……6（朵） 这六朵花包括5朵红花和1朵黄花。
红花：5×9＋5＝50（朵） 黄花：9×9＋1＝82（朵） 绿花：13×9＝117（朵） 随堂练习： 1、1÷7＝0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？
2、有47盏彩灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色？三种颜色的灯各占总数的几分之几？
3、在100米的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学从一端开始，按两女生，再一男生的规律站立着。问这些同学中共有多少个女生？
例2 下面是一组数列，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？
8（ ）（ ）（ ）？（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）6
分析解答：根据规律，第四个数一定是8，第二个数一定就是“6”。不信你数数就知道了。
随堂练习：
1、下面是一个数列，每3个相邻数字之和是14，你知道“？”表示的数字是几吗？
3（ ）（ ）（ ）？（ ）（ ）7
2、下面是一个数列，每3个相邻数字之和是15，你知道“？”表示的数字是几吗？你能填出其他数字吗？
8（ ）（ ）（ ）（ ）？（ ）（ ）（ ）（ ）3 3、1998个7相乘，它的结果的末位数字是几？
拓展训练
1、2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？ 92÷7＝13（周）……1（天） 星期一加上一天就是星期二了。 2、2002年1月1日是星期二，2002年的儿童节是星期几？ 3、如果今天是星期五，那么80天后是星期几？ 4、以今天为标准，算一算今年你的生日是星期几？
11
5、将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E作为代表，问一问2001所在的列以哪个字母作为代表？
A、 B、 C、 D、 E 1、 3、 5、 7 15、13、 11、9 17、 19、21、23 31、29、 27、25 …… ……
因为2001是一列数中的1001个数，所以1001÷8＝125……1。即2001这个数在B为代表的列中。
6、将偶数2、4、6、8……按下图依次排列，2014出现在哪一列？ A、 B、 C、 D、 E 8、 6、 4、 2、 10、 12、14、16 24、22、 20、18、 26、 28、30、32 …… ……
7、把自然数按下面规律排列，865排在哪一列？ A、 B、 C、 D、 1、 2、 3、 6、 5、 4 7、 8、 9 12、 11、10 …… ……
8、小学生小学生小学生…… 热爱劳动热爱劳动热……
上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。……求460组是什么？
9、有一个100位数，每位上的数字都是8，这个数除以7，当商是整数时，余数是几？
88888……8÷7＝126984126984……余数分别是（146520循环） 100÷7＝16……4 所以余数就是5。 10、有一个100位数，每位上的数字都是4，这个数除以3，当商是整数时，余数是几？
第7讲 置换问题
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专题分析：
置换问题主要研究把数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题，解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：
1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法。 2、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
例1 20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。求苹果和梨的单价。
分析解答：2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，则20千克苹果相当于25千克梨，这样就把两种数量转化为一种数量了，先计算梨的单价是：132÷（25＋30）＝2.4（元），其余的计算就容易了。
随堂练习：
1、6只鸡和8只羊共重78千克，已知5只鸡的重量和2只羊的重量相等。求每只鸡和每只羊的重量。
2、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。老师买了4支钢笔和6支圆珠笔共付了72元。求钢笔和圆珠笔的单价。
3、用两种汽车运货，如果2辆大汽车的载重量正好等于3辆小汽车的载重量，且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。求每辆大汽车比小汽车多装几吨货？
例2中华学校买来史地书、科技书和文艺书共456本。其中科技书是史地书的的1.2倍，文艺书比科技书多31本。三种书各买了多少本？
分析解答：先用史地书代换科技书，科技书加上31本又是文艺书，这样三种书都
可表示成史地书，则史地书为：（456－31）÷（1＋1.2＋1.2）＝125（本）。其他书的计算就简单了。
随堂练习：
某菜站运来西红柿和黄瓜共重1660千克，已知运来的西红柿的重量比黄瓜重量的3倍少60千克，菜站运来的西红柿和黄瓜各多少千克？
拓展训练
1、一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？
思路：假设甲乙都做6小时后，甲还要做2小时，乙还要做6小时。以后的计算相信你可以解决了。
2、小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的钱能买8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮。结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？
3、一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？
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4、买2条床单和3条毛巾只用210元，买同样的3条床单和2条毛巾只用280元。买一条床单和毛巾各需多少元？
5、一条公路长72千米，由甲乙丙三个修路队共同修完。甲队修的千米数是乙队的2倍，丙队修的千米数比甲队少3千米。甲乙丙三队各修了多少千米？
6、糖果店卖的水果糖、奶糖和巧克力糖有以下关系：买1.5千克奶糖的钱和买2.4千克的水果糖的钱相等；买2千克巧克力糖的钱和买3千克奶糖的钱相等。如果用买4.5千克巧克力糖的钱，可买水果糖多少千克？
第8讲 包含与排除
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专题分析：
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数字中的最基本的概念之一。集合中的每一个事物为这个集合的一个元素。两个集合可以做加法运算，把两个集合合并在一起，就组成了一个新的集合，新的集合的个数的思考方法主要是包含和排除。
在解答包含和排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，提高数量关系和逻辑关系。
例1 五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？
分析解答：两个集合相加成了一个新的集合，采用排除法就可以计算重复的元素。即64＋48－96＝16（人）
随堂练习：
1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学都做完的有多少人？
2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人。问语文、数学都得优的有多少人？
3、某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人得满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都获得满分的有多少人？
例2 某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少名外语教师？
分析解答：把两个集合相加减去其中重复的元素即可。35＋34－21＝48（人）。
随堂练习：
1、某校的每个学生至少喜爱体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都喜欢。这个学校有多少个学生？
2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优。这个班有多少学生？
3、第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一道的有15人，做对第二道的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。第一小组一共有多少人？
拓展训练
1、在100个外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有两种语言都懂的教师，问只懂英语的老师有多少人？
思路：首先计算两种语言都懂的有20人，当然只懂英语的就只有55人了。
2、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一道，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人，问只做对第一题的有多少人？
3、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文得优的人数。
4、全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打羽毛球又会打乒乓球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？
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5、学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
思路：计算参加这两个组的总人数是83＋86－25＝144（人）用250人减去144人就可以了。
6、在100位旅客中，有70人懂英语，65人懂日语，既懂英语又懂日语的有45人，那么既不懂英语又不懂日语的有多少人？
7、五（1）班有学生50人，在一次测验中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的有35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？
8、老师在统计考试成绩，数学得优的25人，语文得优的有21人，两科中有一科得优的有38人。问两科都得优的有多少人？
9、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级，有12人不是五年级的。该学校书法比赛获奖的总人数是多少人？
思路：只需理解“在获奖者中有16人不是四年级，有12人不是五年级的”的意思是有16人是五年级和其他年级的，有12人是四年级和其他年级的。这样其他年级是（16＋12－20）÷2＝4（人）。则全校获奖的有24人。
10、五（1）小学举行小学田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，五、六年级和中低年级运动员各有多少名？
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第10讲 一般应用题
专题简析
较复杂的一般应用题中，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。因此，我们在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。
例1 把一条大鱼分成鱼头、鱼身和鱼尾。鱼尾重4千克，鱼头的重量等于鱼尾的重量加鱼身一半的重量，而鱼身的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。这条鱼重多少千克？
分析解答： 鱼身：（4＋4）×2＝16（千克）
鱼头：16－4＝12（千克） 整鱼：12＋16＋4＝32（千克）
随堂练习：
1、爸爸将钓来的一条大鲤鱼分成前中后三段。中段重量恰好比前后两段重量的和少1千克，后段重量等于中段重量的一半与前段重量的和。只知道前段重2千克。这条大鲤鱼重多少千克？
2、一条大鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半，这条大鲨鱼全长多少米？
3、有一段木头，不知它的长度。用一根绳子来量它，绳子多1.5米，如果将绳子对折以后再来量，有不够。正好差0.4米。问这根绳子长多少米？
例2 一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机，此时已漏进水800桶。一台
抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶。50分钟把水抽完。每分钟漏进水多少桶？
分析解答：
（18＋14）×50－800＝800（桶） 800÷50＝16（桶）
随堂练习：
1、一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐开，20分钟能把一池水放完，已知进水管每分钟往池里进水0.8吨。请求出出水管每分钟放水多少吨？
2、某工地原有水泥120吨，因工程需要，又派了5辆卡车往工地送水泥，平均每辆卡车每天送25吨，3天后工地上共有水泥102吨，求这个工地平均每天用水泥多少吨？
3、一堆货物重96吨，甲队用16小时运完，乙队用24小时可以运完。如果让两队合作同时运送。几小时可以运完？
拓展训练
1、五（一）班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔，全班共带了三种水果，其中苹果40个、梨32个、橘子26个。那么，带梨和橘子的有多少个同学？
2、在一次庆祝“六、一”儿童节活动中，一个方队的同学每人手里都拿着两种不同的气球，共有红、黄、绿三种颜色，其中红色有56只，黄色的60只，绿色的46只，那
17
么，受拿红绿两种气球的有多少个同学？
3、学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组，第一小组的同学每人都参加了其中的两个小组，其中9人参加了球类小组，6人参加了美术小组，7人参加了音乐小组的活动。问：参加美术和音乐小组活动的有多少个同学？
4、甲乙丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲乙都比丙多拿24千克，结帐时，甲乙都要付给丙24元。每千克苹果多少元？
5、甲乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13支，乙拿了7支。因此甲又给了乙6角钱。问每支铅笔多少钱？
6、春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品，结果三人平分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。求每个面包多少元？
7、“六、一”儿童节同学们做纸花，小华买了7张红纸，小英买了和红纸价格同样的黄纸5张，教师把这些纸平均分给了小英、小华和另外两名同学，结果另外两名同学共付给老师9元钱。问老师怎样把这9元钱分给小华和小英？
8、甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨。大小卡车跑一趟的耗油量分别是10公升和5公升。问用多少辆大卡车和小卡车运输时耗油量最少？
9、五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整数。如果最高分是90分，那么得分最少的选手至少得多少分？
10、用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1角的邮票多少张？
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第11讲 盈亏问题
专题简析
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一袋饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块；如果每人分4块，少8块。小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分配之差＝人数。 还有一些非标准的盈亏问题，它们可以分为四类： 1、两盈：两次分配都有剩余。 2、两亏：两次分配都不够。
3、盈不足：一次分配有余，一次分配不足。 4、不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变而来的。解题时我们可以记住： 1、“两亏”问题的数量关系式：两次亏的数量差÷两次所分配之差＝两次参与分配的对象总数。
2、“两盈”问题的数量关系式：两次盈的数量差÷两次所分配之差＝两次参与分配的对象总数。
3、“一盈一亏”问题的数量关系式：（盈＋亏）÷两次所分配之差＝两次参与分配的对象总数。
例1 某校乒乓球队有若干学生，如果少一个女生，增加一个男生，则男生为总数
的一半；如果少一个男生，增加一个女生，则男生为女生人数的一半，乒乓球队共有多少人？
分析解答：原女：（1×2＋1×2）×2－1＝7（人） 总：7＋7－2＝12（人） 随堂练习：
1、学校买来了白粉笔和彩粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒。彩粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩粉笔的5倍，学校买来两种粉笔各多少盒？
2、操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货物一样重，若甲乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。求这两堆货物一共有多少吨？ 3、五（一）班的优秀学生中，若增加2各男生，减少1各女生，则男女人数同样多，若较少1个男生，增加1个女生，则男生是女生人数的一半。这些学生中男女生各多少人？
例2 幼儿园老师给小朋友分梨子，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。问有多少个小朋友？多少个梨子？
分析解答：小朋友：（9＋6）÷（5－4）＝15（个） 梨子：15×4＋9＝69（个） 随堂练习：
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1、小明去买练习本，他付给营业员的钱买4本多1元，买6本又差2元。小明付给营业员多少元？每本练习本多少元？
2、老师把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则多4支，每人7支则少4支。老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？
3、幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每人5个余10个；如果分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3个学生，这筐苹果有多少个？
拓展训练
1、小红把自己的一些连环画借给她的几位同学。若每人借5本则、差17本；若每人借3本，则差3本。问小红的同学有几人？她一共有多少本连环画？ 同学：（17－3）÷（5－3）＝7（个） 连环画：7×5－17＝18（本）
2、六一班第一小队的同学去植树，如果每人栽8棵则少27棵；如果每人栽6棵则少5棵。六一班第一小队有多少个同学？他们要栽多少棵树？
3、学校将一批铅笔奖给三好学生，每人9支缺15支；每人7支缺7支。问三好学生有多少人？铅笔有多少支？
4、老师将一批铅笔奖给三好学生。每人4支多10支，每人6支多2支？问三好学生有多少人？铅笔有多少支？
5、幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？
注：这箱饼干分给中班和小班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分4块，说明中班的人数是小班人数的6÷4＝1.5（倍），因此，这箱饼干全分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5＝9（块），一共可分到15块。
6×（6÷4＋1）＝15（块）
6、老师把一批书借给甲组的同学，平均每人借4本，如果只借给甲组的女同学，每人可借6本。如果只借给甲组的男同学，平均每人可借到几本？
7、甲乙两组同学做红花，每人做8朵，正好送给五年级每人一朵，如果把这些花让甲组同学单独做，每人要多做4朵。如果把这些花让乙组同学单独做。每人要做多少朵
8、老师把一袋糖分给小朋友，如果只分给小班，每人可得12块，如果分给中班和小班，每人只能得到4块。如果这袋糖只分给中班。每人可分得多少块？
9、全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？
注：减少一条船可以看成较少9个同学，同理增加一条船可以看成增加6个同学。 船：（9＋6）÷（9－6）＝5（条） 同学：9×（5－1）＝36（人）
10、老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5个，如果增加一个同学，每个同学正好分得4个。求这篮苹果一共有多少个？
20
第12讲 算式题
专题分析：
算式谜一般是一些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据四则运算的规定，四则运算算式中的数量关系以及数的组成，逐步确定算式中的未知数字哈运算符号。
解答算式谜的关键是找准突破口，推理时应注意：
1、认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件，选择有特征的部分做出局部判断。
2、采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字。 3、算式谜解出后，务必要验算。
例 1 有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至到第一位前面，所得的新六位数是原数的4倍，求原数。
分析解答：先列出竖式，逐一推理，就可得出答案。（153846） 随堂练习：
1、已知六位数“1ABCDE”，这个六位数的3倍正好是“ABCDE1”。求这个六位数。
2、已知六位数“2华罗庚金杯”，这个六位数的3倍正好是“华罗庚金杯2”。求这个六位数。
3、已知六位数“我们热爱科学”，这个六位数的“学”倍正好是“好好好好好好”。求这个六位数。
例2 下图的五个方格中已经填入84忽然72两个数，请你在其余的三格中也分别
填入一个两位数，使得横行的三个数与竖行的三个数之和相等，并且这五个两位数正好是0——9十个数字组成。
分析解答：84与72的和是156，则上下两个方格之和也是156，即95和61，则中间是30。
随堂练习：
1、把0——9这十个数填到圆圈内，每个数字只用一次，使算式成立。 O＋O＝O O－O＝O O×O＝OO
2、将1——9九个数字填入圆圈中，使等式成立。 OOO×OO＝OO×OO＝5568
3、把44、2、11、12、22、33六个数分成二组，使每组中的三个数的积相等。 O×O×O＝O×O×O
拓展训练
1、把1——9这十个数填入下面的的圆圈，使三个等式成立。 O＋O＝O O－O＝O O×O＝O
2、将0——6填到下列只有一、两位数的圆圈中，使等式成立。 O×O＝O＝O÷O O×OOO＋O＋O＝O
3、用2、3、4、5、7、9这六个数分别填在六个圆圈中，使乘积最大。
21
OOO×OOO
思路：1、7和9要放在百位，2、5和4要放在十位。因为95个74和94个75比较，肯定是95个75大（你可以用乘法分配律来检验），„„，所以正确答案是942乘以753。
4、用9、8、2、1组成两个两位数，使它们的乘积最大。
5、用6、1、2、5、9、7组成两个三位数，使它们的乘积最小。
6、“我喜欢×小数报”表示两个三位数相乘，我、喜、欢、小、数、报这六个字代表3、4、5、6、7、8这六个数。这个算式乘积最大是多少？
7、甲乙丙三个自然数的和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都是“商5余1”，甲数是多少？
思路：根据甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都是“商5余1”不难看出乙数最小，我们就假设乙数是1、2、3、4„„，并逐一试商即可。
8、甲乙丙三个数的和是57，甲数是乙数的3倍多1，乙数又是丙数的3倍多1，求丙数。
9、A、B、C、D四个数的和是38，A是B的2倍少2，B是C的2倍少2，C是D的2倍少2，求数B。
10、一个三位数，它的十位上的数字比个位上的数字多3；百位上的数字又是个位上数字的平方。又知这个三位数比十位与个位上的数字乘积的25倍还多202，这个数是多少？
22
第13讲 行程问题
专题分析：
行程问题是专门讲物体运动的速度、时间和路程的应用题。行程问题的主要数量关系是：路程＝速度×时间、路程和÷速度和＝相遇时间、路程差÷速度差＝相遇时间。
例1甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇。东西两地相距多少千米？
分析解答：两车在距中点32千米处相遇，意思是：两车行的路程相差64千米。有了路程差和速度差就可以求出相遇时间了为8小时。其他计算就容易了。
随堂练习：
1、小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫相向而行，并在离中点120米处相遇，学校到少年宫有多少米？
2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，汽车每小时行40千克，摩托车每小时行65千米。当摩托车行到两地中点处，与汽车相距75千米。甲乙两地相距多少千米？
3、小轿车每小时行60千米，比客车每小时多行5千米，两车同时从甲乙两地相向而行，在距中点20千米处相遇，求甲乙两地之间的路程。
例2 快车和慢车同时从甲乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米。慢车每小时行多少千米？
分析解答：先计算快车3小时行120千米，再减去25千米就是路程的一半，这时快车与慢车还相距7千米，则慢车行了63千米。因此慢车的速度为21千米/小时。
随堂练习：
1、兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。弟弟每分钟行多少米？
2、汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到乙地？
3、学校运来一批树苗，五（1）班的40个同学都去参加植树活动，如果每人植3棵，全班同学能植这批树苗的一半还多20棵。如果这批树苗平均分给五（1）班的同学去植，平均每人植多少棵？
拓展训练
1、甲乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。求东西两村相距多少千米？
思路：先找到路程差，就可以求出相遇时间为5小时，则甲的速度就是15÷（5－4）＝15（千米/小时）。两村相距是15×4＝60（千米）
2、甲乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。甲到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处相遇。A、B两地之间相距多少千米？
3、小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到家，到家后立即沿原路返回，在离家350米处遇到小红。小红每分钟走多少米？
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4、甲乙二人上午7时同时从A地去B地，甲每小时比乙快8千米。上午11时到达B地后立即返回，在距离B地24千米处相遇。求A、B两地相距多少千米？
5、甲乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行。一个同学骑自行车以每小时14千米的速度，在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？
思路：要求两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？就要求他的速度和时间。速度是已知的，时间就是两队的相遇时间。只要先求出相遇时间就可以了。
6、两支队伍从相距55千米的两地相向而行。通信员骑马以每小时16千米的速度在两支队伍之间不断往返联络。已知一支队伍每小时行5千米，另一支队伍每小时行6千米，两队相遇时，通信员共行了多少千米？
7、甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，甲带着一条狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝着甲这边跑，碰到甲的时候，它又掉头朝着乙这边跑。直到两人相遇时，这只狗一共跑了多少千米？
8、两队同学同时从相距30千米的甲乙两地相向出发，一只鸽子以每小时20千米的速度在两队同学之间不断往返送信。如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了30千米，而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4千米，求两队同学的行走速度。
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第14讲 火车行程问题
专题分析：
有关火车过桥，火车过隧道，两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题。在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑火车的长度。如果有些问题不容易一下看出来运动过程中的数量关系，可以利用作图或演示的方法来帮助解决。
解答火车行程问题应注意以下几点：
1、火车过桥（或隧道）所用的时间＝[桥（隧道）长＋火车长]÷火车的速度。 2、两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间＝两列火车长度和÷两列火车速度和
3、两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间＝两列火车车身和÷两列火车速度差。
例1 甲火车长210米，每秒行18米，乙火车长140米，每秒行13米。乙火车在前，两火车在双轨车道上行驶。求甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少时间？
分析解答：直接用公式“两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间＝两列火车车身和÷两列火车速度差。”即可。
随堂练习：
1、一列快车长150米，每秒行22米，一列慢车长100米，每秒行14米。快车从后面追上到完全超过慢车共需多少秒？
2、小明以每秒2米的速度沿铁路旁的人行道跑步，身后开来一列长188米的火车，火车每秒行18米，问火车追上小明到完全超过小明共用了多少秒？
3、甲火车长180米，每秒行18米，乙火车每秒行15米，两列火车同方向行驶，甲火车从追上乙火车到完全超过共用了100秒。求乙火车长多少米？
例2 一列火车长180米，每秒行25米。全车通过一条120米长的山洞，需要多少时间？
分析解答：根据：火车过桥（或隧道）所用的时间＝[桥（隧道）长＋火车长]÷火车的速度。可以计算了。
随堂练习：
1、一列火车长360米，每秒行18米。全车通过一座长90米的大桥，需要多少时间？ 2、一座大桥长2100米，一列火车以每分钟800米的速度通过这座大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了3.1分钟。这列火车有多长？
3、五年级384个同学排成两路纵队郊游，每两个同学相隔0.5米，队伍以每分钟61米的速度通过一座长207米的大桥。一共需要多少时间？
拓展训练
1、有两列火车，一列长130米，每秒行23米，另一列长250米，每秒行15米，现在两车相向而行，问从相遇到相离需要几秒钟？
思路：根据：“两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间＝两列火车长度和÷两列火车速度和”可以计算了。
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2、有两列火车，一列长360米，每秒行18米，另一列长216米，每秒行30米，现在两车相向而行，问从相遇到相离需要几秒钟？
3、有两列火车，一列长220米，每秒行22米，另一列长200米迎面开来，两车从相遇到相离共用了10秒钟，求另一列火车的速度。
4、有两列火车，一列长320米，每秒行18米，另一列火车以每秒22米的速度迎面开来，两车从相遇到相离共用了15秒钟，求另一列火车的长度。
5、一列火车通过2400米的大桥需要3分钟，用同样的速度从路边的一根电线杆旁边通过，只用了1分钟。求这列火车的长度。
思路：用同样的速度从路边的一根电线杆旁边通过，只用了1分钟，这里只有车长，一列火车通过2400米的大桥需要3分钟，说明火车行驶2400米的路程要2分钟，即速度是1200米/分钟。
6、一列火车从小明身旁通过用了15秒。用同样的速度通过一座100米的桥用了20秒。这列火车的速度是多少？
7、一列火车长900米，从路旁的一棵大树旁通过用了1.5分钟，以同样的速度通过一座大桥用了3.5分钟。求这座大桥的长度。
8、一列火车通过200米的大桥需要80秒，同样的速度通过144米长隧道需要72秒。求火车的速度和车长。
9、甲列车每秒行20米，乙列车每秒行14米，若两列车齐头并进，则甲车行40秒超过乙列车，若两列车齐尾并进，则甲车行30秒超过乙列车。求两列车各长多少米？
思路：两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间＝两列火车车身和÷两列火车速度差。把这个公式倒着用即可。
甲：（20－14）×40＝240（米） 乙：（20－14）×30＝180（米）
10、一列快车长200米，每秒行22米，一列慢车长160米，每秒行17米，两列车齐头并进，快车超过慢车要多少秒？若齐尾并进，快车超过慢车需要多少秒？
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第15讲 灵活运用
专题分析：
本单元种类繁多，题型各异，综合性强，所用的知识较多，有的题目需要一定的解题技巧。因此，解答以下的题目时需要多动脑筋，展开联想，灵活运用各种知识和方法。
例1 甲乙两人进行3000米的长跑，甲离终点还有500米时，乙距终点还有600米，照这样跑下去，当甲到终点时，乙距终点还有多少米？
分析解答：甲乙两人进行3000米的长跑，甲离终点还有500米时，乙距终点还有600米，也就是说甲跑2500米，乙跑2400米。剩下的500米，甲跑20和25米，乙只能跑20个24米，则乙还剩120米。
随堂练习：
1、在1000米赛跑中，当甲离终点还有100米时，乙距终点还有190米，照这样跑下去，当甲到终点时，乙距终点还有多少米？
2、甲乙丙三人进行100米赛跑，当甲到终点时，乙距终点还有10米，丙落后乙10米。照这样的速度，当乙到终点时，丙距终点还有多少米？
3、甲乙两车同时从A城出发开往B城，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米，出发4小时后乙车加速，结果两车同时到达B城。求乙车后来每小时行多少千米？
例2 豹子和狮子进行100米往返比赛。豹子一步3米，狮子一步2米，但豹子跑两步的时间狮子跑3步。谁获胜？
分析解答：豹子一步3米，狮子一步2米，但豹子跑两步的时间狮子跑3步，表面上看它们的速度一样，但100米内，豹子正好跑50步，而狮子要跑33步零1米，这样就浪费了时间。
随堂练习：
1、甲乙丙三人进行60米赛跑，当甲到达终点时，比乙领先10米，比丙领先20米，如果按原速前进，当乙到达终点时，将比丙领先几米？
2、甲走2步的距离乙要走5步，甲走3步的时间乙可以走8步，他们谁走得快？ 3、甲处的兔子和乙处的狗相距56米，狗跑3次的时间与兔子跳4次的时间相同。兔子跳出112米的丙处被狗追上，狗一跳前进多少米？
拓展训练
1、有一口9米深的井，蜗牛和乌龟同时从井底向上爬。因为井壁湿滑，蜗牛白天向上爬2米，晚上向下滑1米，乌龟白天向上爬3米，晚上向下滑1米。当乌龟爬到井口时，蜗牛距井口还有几米？
思路：乌龟白天向上爬3米，晚上向下滑1米，每天爬2米，但最后一天是3米。因此乌龟需要4天；蜗牛白天向上爬2米，晚上向下滑1米，每天爬1米，但最后一天是2米，所以蜗牛爬了前三天的3米和第四天的2米，共5米，所以还剩4米。
2、蜗牛从9米深的井底向上爬，白天向上爬5米，晚上向下滑4米。这只蜗牛几天几夜才能爬到井口？
3、从1000里减去125，加上120，再减去125，加上120„„，按这样的方式运算，当运算结果是零时，一共减去了多少个125？
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4、盒中有棋子若干粒，从中取出3粒，接着在放进5粒，当取了18次3粒而第18次还未放进5粒时，盒中有棋子100粒。盒中原有棋子多少粒？
5、把盒中200只红球进行调换，每次调换必须首先从盒中取出3只红球，然后再放入2只白球，那么在最后一次调换之前盒中的球数是多少？
思路：200只红球每次取3只，最多可取66次，在最后一次调换之前，也就是第65次时，减少了195个红球，增加了130个白球。盒中有135只球。
6、玩具箱里有100块长方体积木，每次拿出3块长方体积木，再放进2块正方体，如此交换下去，在最后一次交换之前，箱里一共有多少块积木？
7、盒子里有黑白棋子各40粒。每次取出3粒白的，放进2粒黑的，经过多少次取放后，盒中的黑棋子是白棋子的2倍？
8、盒子里的白球个数是红球的3倍，每次从盒里取2个白球和2个红球，取若干次后红球正好取完。而白球还有32个。原来盒里共有多少个球？
9、给一本书编上页码共要用789个数字，这本书有多少页？
思路：一位数的页码有9页，共9个数字；二位数的页码有90页，共180个数字。剩下的数字600个排三位数的页码，可排200页。这本书有299页。
10、给一本书编页码，从第1页编到300页，一共要用多少个数字？ 11、给一本书编页码，一共用了1179个数字。这本书有多少页？
12、编一本故事书的页码刚好用了183个数字，被弟弟撕去4张纸后，留下的页码还有175个数字。被撕掉的是哪几页？
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五年级数学思维训练试题(一)
1、将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E作为代表，问一问2001
所在的列以哪个字母作为代表？（10分）
A、 B、 C、 D、 E 1、 3、 5、 7 15、13、 11、9 17、19、 21、23 31、29、 27、25 „„ „„
2、 九个数的平均数是72，去掉一个数后，余下的数的平均数是78，去掉的数是
多少？（10分）
3、甲乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元时，两人余下的钱正好相等，求甲乙原来各存有多少钱？（10分）
4、今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍。今年小明多少岁？ （10分）
5、甲乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次倒扣6分。两人各投10次，共得152分。其中甲比乙多得16分，问两人各中多少次？（10分）
6、用绳子测井深，把绳子三折来量，井外余16分米，把绳子四折来量，井外余4分米，求井深和绳长。（10分）
7、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级，有12人不是五年级的。该学校书法比赛获奖的总人数是多少人？（10分）
8、李明有1角的人民币4张，2角的人民币2张，5角的1张，1元的人民币2张。如果从中取1至9张，那么他取出的总钱数可能有多少种不同的金额？（10分）
9、五（一）班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔，全班共带了三种水果，其中苹果40个、梨32个、橘子26个。那么，带梨和橘子的有多少个同学？（10分）
10、甲乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。求东西两村相距多少千米？（10分）
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五年级数学思维训练试题(二)
1、有一口9米深的井，蜗牛和乌龟同时从井底向上爬。因为井壁湿滑，蜗牛白天向上爬2米，晚上向下滑1米，乌龟白天向上爬3米，晚上向下滑1米。当乌龟爬到井口时，蜗牛距井口还有几米？（10分）
2、有两列火车，一列长360米，每秒行18米，另一列长216米，每秒行30米，现在两车相向而行，问从相遇到相离需要几秒钟？（10分）
3、小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到家，到家后立即沿原路返回，在离家350米处遇到小红。小红每分钟走多少米？（10分）
4、用9、8、2、1组成两个两位数，使它们的乘积最大。（10分）
5、“六、一”儿童节同学们做纸花，小华买了7张红纸，小英买了和红纸价格同样的黄纸5张，教师把这些纸平均分给了小英、小华和另外两名同学，结果另外两名同学共付给老师9元钱。问老师怎样把这9元钱分给小华和小英？（10分）
6、有一个六位数，它的前四位恰好是1997，并且知道这个六位数既是11的倍数，又是13的倍数，这个六位数的末尾的两位是多少？（10分）
7、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级，有12人不是五年级的。该学校书法比赛获奖的总人数是多少人？（10分）
8、 一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？（10分）
9、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级，有12人不是五年级的。该学校书法比赛获奖的总人数是多少人？（10分）
10、用一根绳子量大树的周长，把绳子2折后正好绕大树2圈，若把绳子3折，绕大树一圈还余30厘米。求大树的周长和绳长。（10分）
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