2021中考数学 全等三角形专项 培优训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为 ( ) A.16 cm
2. 已知一个多边形的内角和是
B.17 cm C.20 cm D.16 cm或20 cm
1080°，则这个多边形是( )
B．六边形 D．八边形
A．五边形 C．七边形
3. 如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得其中两个角的度数分别为
28°，62°，于是他很快判断出这个三角形是( )
A．等边三角形 C．直角三角形
4. 如图，六根木条钉成一个六边形框架
B．等腰三角形 D．钝角三角形
ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至
少还需要添加木条( )
A．1根
5. 如图，点
B．2根 C．3根 D．4根
B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一
个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE C．∠A＝∠D
B．AC＝DF
D．BF＝EC
6. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC
＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( )
A．24 C．36
7.
B．30 D．42
若三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形的最大内角是
( ) A．75°
8. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为
B．90° C．105° D．120°
B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结
论正确的是( )
A.∠1=∠EFD
9. 如图，已知长方形
B.BE=EC C.BF=CD D.FD∥BC
ABCD，一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形.若这
两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是 ( )
A.360°
10. 如图，平面上到两两相交的三条直线
B.540° C.720° D.630°
a，b，c的距离相等的点一共有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，
∠ADG＝130°，则∠DGF＝________°.
12. 已知:∠AOB，求作:∠AOB
的平分线.作法:①以点O为圆心，适当长为半径画
弧，分别交OA，OB于点M，N;②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 .
13. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角
边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC即为∠AOB的平分线，理由是______________________．
14.
如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要直接利用“AAS”判定
△ABC≌△EDC，应添加的条件是__________．
15. 如图，在△
ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．
16. 如图所示，在△ABC
中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.
若∠AFD=158°，则∠EDF= °.
17. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点
P和点Q是线段AC与射
线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．
18. 如图，P
是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点
E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．
三、解答题（本大题共8道小题）
19. 如图，D是BC上一点，△ABC≌△ADE，AB=AD. 求证:∠CDE=∠BAD.
20. 如图，在△
ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作
CF∥AB交ED的延长线于点F. (1)求证:△BDE≌△CDF;
(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.
21. 如图，在△
ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.
求证：∠CBE＝∠BAD.
22. 如图，在四边形
ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，
CE⊥BD，连接AC交DE于点M. (1)求证：AD＝BE；
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线； (3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．
23. 在△
ABC中，∠B＝55°，且3∠A＝∠B＋∠C，求∠A和∠C的度数.
24. 如图，BE，CF都是△
ABC的高，在BE上截取BD＝AC，在射线CF上截取
CG＝AB，连接AG，AD. 求证：(1)△BAD≌△CGA； (2)AD⊥AG.
25. 如图，AB
为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2＝CD·CA，
︵︵
ED＝BD，BE交AC于点F. (1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)判断△BCF的形状并说明理由；
︵
(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求BD的长度(结果保留π).
26. 如图①所示，在△
ABC中，∠1＝∠2，∠C>∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC
于点F.
(1)试探索∠DEF与∠B，∠C之间的数量关系；
(2)如图②所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？
2021中考数学 全等三角形专项 培优训练-答案
一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C
2. 【答案】D
3. 【答案】C
4. 【答案】C
[解析] 添加3根木条以后成为如右所示图形，其由若干三角形组
成，具有稳定性．
5. 【答案】C
[解析] 选项A中添加AB＝DE可用“AAS”进行判定，故本选项不
符合题意；
选项B中添加AC＝DF可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意； 选项C中添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意； 选项D中添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意． 故选C.
6. 【答案】B
[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4.
1111
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝2AB·DH＋2BC·CD＝2×6×4＋2×9×4＝30.
7. 【答案】C
[解析] ∵一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，∴可设这个
三角形的三个内角分别为2x，3x，7x. 由题意，得2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°. ∴7x＝105°.
8. 【答案】D [解析] 在△AFD和△AFB中，
∴△AFD≌△AFB. ∴∠ADF=∠ABF. ∵AB⊥BC，BE⊥AC， ∴∠BEC=∠ABC=90°.
∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°. ∴∠ADF=∠ABF=∠C. ∴FD∥BC.
9. 【答案】D
[解析] 一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形的情况有以下
三种:
(1)直线不经过原长方形的顶点，如图①②，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形，
∴M+N=540°+180°=720°或M+N=360°+360°=720°;
(2)直线经过原长方形的一个顶点，如图③，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N=360°+180°=540°;
(3)直线经过原长方形的两个顶点，如图④，此时长方形被分割为两个三角形，
∴M+N=180°+180°=360°.
10. 【答案】A
[解析] 如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 【答案】150
[解析] ∵DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，
∴AD是∠BAC的平分线．
1
∵∠BAC＝40°，∴∠CAD＝2∠BAC＝20°. ∴∠DGF＝∠CAD＋∠ADG＝20°＋130°＝150°.
12. 【答案】SSS [解析]由作图可得OM=ON，MC=NC，而OC=OC，
∴根据“SSS”可判定△MOC≌△NOC.
13. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
14. 【答案】∠B＝∠D
15. 【答案】20
[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌
Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB＝AE＋EB＝AB.
16. 【答案】68 [解析] ∵∠AFD=158°，
∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°. ∵FD⊥BC， ∴∠FDC=90°.
∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°. ∵∠B=∠C，DE⊥AB，
∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°. ∴∠EDF=180°-90°-22°=68°.
17. 【答案】5
或10 [解析] ∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°.∴∠C＝∠PAQ＝90°.
分两种情况：①当AP＝BC＝5时， AB＝QP，在Rt△ABC和Rt△QPA中，
BC＝PA，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)； ②当AP＝CA＝10时，
AB＝PQ，
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
AC＝PA，∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)．
综上所述，当AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等．
18. 【答案】32°
[解析] ∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC
于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F， ∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC. 11
∴∠PCF＝2∠ACF，∠PBF＝2∠ABC.
11
∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝2(∠ACF－∠ABC)＝2∠BAC＝32°.
三、解答题（本大题共8道小题）
19. 【答案】
证明:∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE. 由三角形的外角性质，得∠ADC=∠B+∠BAD. 又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠CDE=∠BAD.
20. 【答案】
解:(1)证明:∵CF∥AB， ∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F. ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.
(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2， ∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC，BD=CD， ∴AC=AB=3.
21. 【答案】
证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C，
∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，
∴∠BAD＋∠ABC＝90°，(3分) ∵BE⊥AC,
∴∠CBE＋∠C＝90°， ∴∠CBE＝∠BAD.(5分)
22. 【答案】
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＋∠DBC＝90°. ∵CE⊥BD，
∴∠BCE＋∠DBC＝90°. ∴∠ABD＝∠BCE. 在△DAB和△EBC中，
∠ABD＝∠BCE，
AB＝BC，
∠DAB＝∠EBC＝90°，
∴△DAB≌△EBC(ASA)． ∴AD＝BE.
(2)证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE. ∵BE＝AD， ∴AE＝AD.
∴点A在线段ED的垂直平分线上． ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°. ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°.
在△EAC和△DAC中，
AE＝AD，
∠EAC＝∠DAC， AC＝AC，
∴△EAC≌△DAC(SAS)． ∴CE＝CD.
∴点C在线段ED的垂直平分线上． ∴AC是线段ED的垂直平分线． (3)△DBC是等腰三角形．
理由：由(1)知△DAB≌△EBC，∴BD＝CE. 由(2)知CE＝CD. ∴BD＝CD.
∴△DBC是等腰三角形．
23. 【答案】
解：∵在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，3∠A＝∠B＋∠C， ∴4∠A＝180°， 解得∠A＝45°.
∵∠B＝55°，∴∠C＝180°－45°－55°＝80°.
24. 【答案】
证明：(1)∵BE，CF都是△ABC的高， ∴∠ABE＋∠BAC＝90°，∠ACF＋∠BAC＝90°. ∴∠ABE＝∠ACF.
AB＝GC，
在△BAD和△CGA中，∠ABD＝∠GCA，
BD＝CA，
∴△BAD≌△CGA(SAS)．
(2)∵△BAD≌△CGA，∴∠G＝∠BAD. ∵∠AFG＝90°，
∴∠GAD＝∠BAD＋∠BAG＝∠G＋∠BAG＝90°.∴AD⊥AG.
25. 【答案】
(1)证明：∵BC2＝CD·CA，
BCCD∴CA＝BC， ∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB， ∴∠CBD＝∠BAC， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，
即∠BAC＋∠ABD＝90°， ∴∠ABD＋∠CBD＝90°， 即AB⊥BC，
又∵AB为⊙O的直径， ∴BC为⊙O的切线；
(2)解：△BCF为等腰三角形． ︵︵
证明如下：∵ED＝BD，
∴∠DAE＝∠BAC， 又∵△CBD∽△CAB， ∴∠BAC＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠DBF， ∴∠DBF＝∠CBD， ∵∠BDF＝90°，
∴∠BDC＝∠BDF＝90°， ∵BD＝BD，
∴△BDF≌△BDC， ∴BF＝BC，
∴△BCF为等腰三角形；
(3)解：由(1)知，BC为⊙O的切线， ∴∠ABC＝90° ∵BC2＝CD·CA，
BC2152
∴AC＝CD＝9＝25，
由勾股定理得AB＝AC2－BC2＝252－152＝20， ∴⊙O的半径为r＝∵∠BAC＝36°， ︵
∴BD所对圆心角为72°. ︵72×π×10
则BD＝180＝4π.
26. 【答案】
AB
＝10， 2
1
解：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝2∠BAC. 又∵∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)，
11∴∠1＝2[180°－(∠B＋∠C)]＝90°－2(∠B＋∠C)．
11∴∠EDF＝∠B＋∠1＝∠B＋90°－2(∠B＋∠C)＝90°＋2(∠B－∠C)． ∵EF⊥BC，∴∠EFD＝90°.
11∴∠DEF＝90°－∠EDF＝90°－[90°＋2(∠B－∠C)]＝2(∠C－∠B)．
(2)当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，在(1)中探索得到的结论仍成立．
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