均匀设计在多响应线性模型失拟检验中的最优性

维普资讯 http://www.cqvip.com 第３　６卷第２期　２　０　０　７年４月　上海师范大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈａｎｇｈａｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｖｏ１．３６．Ｎｏ．２　２　０　０７，Ａｐｒ．　均匀设计在多响应线性模型失拟检验中的最优性　张宣昊，岳荣先　（１．上海第二工业大学理学院，上海２０１２０９；２．上海师范大学数理信息学院，上海２００２３４）　摘要：运用Ｋｈｕｒｉ（１９８５）组合响应的方法，将Ｗｉｅｎｓ（１９９１）的结论推广至多响应情形．证明　均匀设计在对多响应线性模型作显著性检验时，在模型失拟情况下使检验的功效函数最小值　达到最大，在模型未失拟情况下使检验的功效函数最大值达到最小．　关键词：多响应线性模型；失拟检验；均匀设计　中图分类号：Ｏ２１２．６　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００．５１３７（２００７）０２４２０１２－０５　Ｏ　引　言　本文作者考虑多响应线性模型失拟检验的统计试验设计问题．关于失拟检验的试验设计问题，文献　中已有一些研究工作，Ｊｏｎｅｓ和Ｍｉｔｃｈｅｌｌ（１９７８）研究了单响应情况下失拟检验的试验设计，Ｗｉｊｅｓｉｎｈａ和　Ｋｈｕｒｉ（１９８７）研究了多响应情况下失拟检验的试验设计，其中包括最优设计准则、等价性定理以及构造　方法．这些研究工作都是针对假定的模型实际存在失拟的情况而进行的．本文讨论当模型失拟部分只是　试验水平的函数，无论所拟合的模型是否存在失拟．证明：对于多响应线性模型，当模型实际上失拟　时，均匀设计使检验功效函数（认为模型失拟的概率）的最小值达到最大；当模型实际上并不失拟时，均　匀设计使检验功效函数的最大值达到最小．即用均匀设计对多响应线性模型进行失拟检验是最优的．　１模型转换及失拟定义　在设计区域．ｓ上，设在任一试验水平　处的各响应观测Ｙ　（　），ｉ＝１，…，ｒ，可用下列模型描述：　Ｅｙ　（　）＝　。　（　）＝厂　（　）　＋　（　），　＝１，…，ｒ，　（１）　其中　为Ｐ　维已知函数向量，　为Ｐ　维未知参数向量．现令　），（　）＝（Ｙ　（　），…，Ｙ，（　）），厂　（戈）＝（厂　（　），…　（　）），　＝ａｉａｇ（／３　一，　，），ｚ（ｘ）＝（　（　），…，。，（　）），　记ｐ＝∑Ｐ　，则模型（１）可表示为：　Ｅｙ（　）＝　（　）＝厂　（　）　＋　（　）．　（２）　假设ｙ（ｘ）服从正态分布，其协方差阵为　＝（　）…．　假定所需拟合的模型为　收稿Ｅｔ期：２００７－０１－０８　基金项目ｉ国家自然科学基金项目（１０２７１０７８）；上海高校选拔培养优秀青年教师科研专项基金项目（ＹＱ３Ｏ６ＯＯ４）；　上海市教委科研项目（０５ＤＺ０３）；教育部高校博士点专项科研基金项目（２００６０２７０００２）．　作者简介：张宣昊（１９８１一），男，上海第＿－ＳＮＩ，大学理学院助教．岳荣先（１９５８一），男，上海师范大学数理信息学　院教授．　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　张宣吴，岳荣先：均匀设计在多响应线性模型失拟检验中的最优性　１　３　，　（　）＝ｆ　（ｘ）１３　，　＝１，…，ｒ＿　／ｘ　（　）＝ｆ　（，０１３．　（３）　（４）　令　（　）＝（　，。（　），…，　，，（　）），将模型（３）表示为：　Ｋｈｕｒｉ（１９８５）提供了一种多响应线性模型检验方法，将多响应线性模型的各响应进行适当的线性组　合，使其转化为单响应线性模型，而后作　一检验．具体作法如下：　设有非零ｒ×１维常数向量ｃ＝（ｃ　“，ｃ，）　，对模型（２）作变换，令Ｙ　（　）＝，，（　）ｃ，　（　）＝　（ｘ）ｃ，类似地对模型（４）作变换，令　，　（　）＝　（　）ｃ，则真实模型（２）和拟合模型（４）转换为：　（　）＝　（　）＝厂　（　）卢　＋　（　）＝∑ｃ　；（　）卢；＋∑Ｃｉ。；（　），　，　（５）　（６）　（　）＝ｆ　（　）卢　＝∑ｃｆ　（　）卢　，　其中１３　＝ＪＢ　ｃ＝（ｃ，３１　“，ｃ　，）　是Ｐ维参数向量，　（　）＝ｚ（ｘ）ｃ，而ｖａｒ（ｙ　（　））＝ｖａｒ（ｙ（ｘ）ｃ）＝　，　其中　：＝ｃ　＝∑ｃｉ２　＋２∑Ｃｉ　．　对一个有』ｖ次观测的设计　，令　（　＝１，…，ｒ）是模型（３）的各响应的设计阵，令Ｆ＝（　失拟检验统计量是Ａ　（Ｇ　Ｇｉ　），其中Ａ　（・）表示矩阵的最大特征值，而　Ｇｌ＝Ｙ　（，『ｖ—　０（　０　０）－１　０　一　）Ｙ，　Ｇ２＝Ｙ　ＫＹ，　“，　），其维数为Ｎ×Ｐ，设ｒｋ（Ｆ）＝ｑ．令　为　各列的基构成的矩阵，其维数为Ｎ×ｑ．对模型（６）的　Ｙ是设计　之下的响应观测值矩阵，维数为Ｎ×ｒ，Ｋ＝ｄｉａｇ（Ｋ１，…，Ｋ，０），维数Ｎ×Ｎ，０是（Ⅳ一　）×　（Ｎ一　）维全０矩阵，　＝　一（１／ｖ　）　，　。是　×Ｖ　单位阵，　是Ｖ　×　全１矩阵，（　＝１，…，　），　其中ｎ，　，　定义如下：对有』ｖ次观测的设计　，其中不妨设有ｎ个试验水平有重复试验，各重复　次　（　＝１，…，ｎ），且　＝∑　，其余Ｎ一　个试验水平无重复试验．Ｋｈｕｒｉ（１９８５）确定线性组合系数向量　ｃ为Ａ　（Ｇ　Ｇｉ　）对应的标准特征向量，如果检验结果显示单响应模型（６）失拟，则认为原多响应模型　（４）失拟．　以下部分利用统计量Ａ　（Ｇ。　）讨论均匀设计在多响应线性模型失拟检验中的优良性．　取ｃ为Ａ　（Ｇ　Ｇｉ　）对应的标准特征向量，则模型（６）的　统计量为：　篆＝Ａ　（Ｇ。Ｇｉ　）服从非　中心Ｆ分布，根据Ｗｉｅｎｓ（１９９１）的讨论，单响应线性模型显著性检验的功效是非中心参数的增函数．为　确定非中心参数，将模型（５）和（６）表示为：　Ｅ　ｙｃ＝Ｕｃ．。＝　Ｕｃ．　＋ｚ　，　。，　（７）　（８）　＝　其中ｙｃ＝Ｙｃ　Ｚ。＝Ｚｃ，Ｚ是Ｎ×ｒ矩阵，其各行为　中试验水平　对应的ｚ（ｘ）．模型（８）对应的　检验　统计量的非中心参数为：　（　，　）＝　ｚ。　（，『ｖ—　０（　０　０）Ｉ１　０　）Ｚ　．　（，　（９）　现在定义模型在真实情况下的失拟及不失拟：根据Ｗｉｅｎｓ（１９９１），相对于真实模型（５），当ｚ　（　）　∈　时认为模型（６）失拟，其中　为满足以下条件的　（　）组成的集合：　）　Ｓ　（　ＣｉＺｉ）　ｄｘ≥田　，　２。．　）　（　）ａｘ；ｆ　（∑ｃ　）　）　＝０　．　当　（　）∈Ｚｃ时认为模型（６）不失拟，其中　中的　（　）满足以上条件２及与１相反的条件（不等号　维普资讯 http://www.cqvip.com １４　上海师范大学学报（自然科学版）　２００７年　反向）．这里田　为常数．　类似于Ｗｉｊｅｓｉｎｈａ和Ｋｈｕｒｉ（１９８７）采用的定义方式，定义相对于真实多响应模型（２）而言多响应模　型（４）的失拟情况．当ｚ（　）∈Ｚ　时，认为模型（４）失拟，其中ｚ　为满足以下条件的ｚ（　）组成的集合：　’　．　．　ｒ　。－上ｚ（　）ｚ　（　）　ｚ　≥　，　２。．ｆ　（　）　（　）ｄｘ＝０ｐｆｘ　，　ｉ＝ｌ，…ｒ，　＝ｌ，…ｒ．　其中　与上述一致，当ｚ（　）∈Ｚ一时认为模型（４）并不失拟，其中ｚ一中的ｚ（　）满足１￣２　１－条件２及与　ｌ相反的条件（不等号反向）．　以下说明模型（６）和（４）失拟之间的关系：　ｌ　Ｏ．　（　）　（　）　＝０，　，…ｒ，　＝ｌ，…ｒ　）ｚ　（　）ｄｘ＝０，　２０．由柯西不等式：（　。　）　≤（　。　）（　ｚ　），其中ｃ为标准特征向量，即　ｃ　＝１，所以　ｃ　）　≤∑ｚｉ　，故有：ｆ　∑ｚ　≥ｆ　（∑ｃ　）　ｄｘ．　＝１　：１　ｉ：１　根据ｌ。，２。，当ｆ。　ｉ　∑ｚ　≥ｆ　（∑Ｃｉ　）　ｄｘ≥　时，且　（　）　（　）ｄｘ＝０；ｉ＝ｌ，…ｒ；　＝ｌ，…ｒ（必　：１　ｉ：１　有：Ｊ　）ｚ　（　）ｄｘ＝０），则多响应模型（４）和单响应模型（６）失拟，其失拟状况一致．此时希望找到一　个设计在检验单响应模型（６）（即检验多响应模型（４））时，使得检验的功效（认为模型失拟的概率）达　到最大．当　≥ｆ　ｏ　∑ｚｉ　≥ｆ　（∑Ｃｉｚ　）　ｄｘ时，且ｆ　（　）　（　）ｄｘ＝０；ｉ＝ｌ，…ｒ；　＝ｌ，…ｒ，则多响　：１　ｉ＝１　应模型（４）和单响应模￣ＹＪ（６）不失拟．此时希望找到一个设计在检验单响应模型（６）（即检验多响应模　型（４））时，使得检验的功效（认为模型失拟的概率）达到做小．采用设计的近似理论，以下所指的设计　是设计域上的一个概率测度，即　满足Ｊ嘶（　）＝１．　２均匀设计的最优性　为了对多响应模型（４）进行失拟检验，先将模型（４）转化为单响应模型（６）．考虑以下问题：　ｌ。．选择一个设计　，使非中心参数６在　上的最小值达到最大，即：　（Ｚｃ，　），　此即表示当原模型失拟时，要求设计使检验出模型失拟概率的最小值达到最大．　２。．选择一个设计　，使　将６在　上的最大值达到最小，即　２＝ｍｆ　ｉｎ　ｍａｘＳ（ｚ　，　），　．ＺＥ　。。　此即表示当原模型不失拟时，要求设计使检验出模型失拟概率的最大值达到最小．　以下将证明：以上两个设计测度　与　都是设计域．ｓ上的均匀分布．为此，对于．ｓ上的任一设计测　度　，定义：　Ｂｅ　ｐ　）厂　（　）　则有：　（Ｚｃ，　）　）厂　（　；）　（　），６　ｐ　；）　（　）　Ｊ　）　（　。）喈（　）・　（　）　（　）一６　ｆ　６　ｆ＝　（　）．　”，ｖ—Ｆｏ（Ｆｏ　）　Ｆｏ，）ｚ　＝　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　张宣吴，岳荣先：均匀设计在多响应线性模型失拟检验中的最优性　１　５　从而　（Ｚｃ，　）为失拟检验统计量的非中心参数．注意到　（　）＝ｆ　ｚｏ（　）一厂　（ｘ）Ｂｉ　ｂ　ｆ］　（　），　即　（　。，　）为　（　）到厂　（　）卢　的￡　一距离，说明用　（　。，　）衡量单响应模型（６）是否失拟是合理的．　对于Ｓ上的均匀设计测度Ａ，有ｄＡ（　）＝ｄｘ，ｂ　＝０，所以　（＝　，Ａ）＝　＋（　）ｄｘ．　＋ｎ￣ｈ（。　，Ａ），即对　ｍ　ｉｎ￣ｈ（。　，　）≤　定理１对任意设计　，存在　（　）∈　，使　（　，　）≤叼　＝ｍ　ｉ（ＺｖＯ，　）≤ｍ　ｉｎ￣ｂ（ｚ　，Ａ）．　．证明首先，当　（　）∈　时，　（　。，Ａ）＝　（　）　≥叼　・所以叼　＝ｍ　ｉｎ￣ｈ（Ｚｃ，Ａ）・　对于ｓ上的任一设计测度　（　是区别于Ａ的正Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度），设ｕ是相当于　（　）一Ａ（　）的测　度，根据Ｈａｈｎ分解定理，存在一个可测集　ｓ，且ｖ（Ａ　）＞０，则Ａ　的补集　＝ｓ　有ｖ（Ａ　）＜０，从　而有　Ａ（百）＝　（百）一ｕ（百）＞　（百）≥０，　并且有分解式：百＝ｕ　曼　，其中Ａ（Ａ。）＞０，ｉ＝２，…，Ｐ＋２．令　＝ｖ（Ａ。），则　１＞０≥　２，…，　，　Ｄ＋２　且∑　；＝０．令　＝（　ｚ，…，　Ｐ＋２）　是以下方程的非零解　ｐ“　．　∑　。ｆ．厂（　）ｄｘ＝０．　令　ｐ＋２　Ｄ＋２　（１０）　Ｚｖ０（　；　）＝叼∑　，Ａ　（　）／（∑ａ￣ａ（Ａ　））　，　其中，Ａ。（　）是示性函数，则　２。（ｘ；ａ）　∈　，这是因为　ｐ＋２　．　叼　，又由（１０）式得　）　（　；　）　＝０，所以有ＺｃＯ（‘；　）　ｐ＋２　Ｊｆ　Ｓ　（　；　）　（　）一　２（Ｊ　Ｓ　　；　）ｄｘ＝叼　∑　２　／∑　Ａ（ｉ　；）≤０．：２　从而有　（　，　）≤Ｊ　２（　；　）ｄ　（　）≤叼　，定理证毕．　定理２对任意设计　，存在　。　（　）∈　，使　（　）≥　（　。　，　）≥ｍ　ａｘｑ，（ｚ。，Ａ）．　）≥叼　：　ｘ　（　，Ａ），即对任何　，ｍａｘ　（。　，　证明　当　（　）∈　时，　（　，Ａ）　（　）ｄｘ≤’７　・所以＇７　＝ｍ　ａ　ｘ　（　Ａ）・　设　和ｕ如定理ｌ所定义．取一个可测集Ｂ　Ｓ，且ｕ（Ａ　）＜０，则Ｂ　的补集Ｂ　＝Ｓ＼Ｂ　有ｕ（Ｂ　）＞　０，则类似定理ｌ有　（　）＞Ａ（　）＞０．从而有分解式：　＝ｕ　２ｐ　＋２　￣　，其中Ａ（Ｂ。）＞０，ｉ＝２，…，２ｐ　＋２．　２ｐ＋２　令　＝ｖ（Ｂ；），则　＞０≥　，…，　２Ｐｍ且∑　；＝０．令０＝（０２，…，　＋ｚ）　是以下方程的非零解　２ｐ＋２　＋２　∑０。ｆ厂（　）　＝０，∑０ｉ　ｆ一厂（　）　（　）＝０．　ｉ＝２　Ｂｌ　ｉ＝２　Ｂ１　（１１）　令　２ｐ＋２　。　２ｐ＋２　（　；　）＝叼∑　ｊ（　）／（∑　Ａ（　）　，　维普资讯 http://www.cqvip.com ｌ６　上海师范大学学报（自然科学版）　其中　（　）是示性函数，则ｆ／　（　；　）　＝叼　，又由（１１）式得　）　（　；　）　＝　）　（　；　）蟛（　）　＝０，所以有ｚ　（・；　）∈　，这是因为　２ｐ　２（　；　）　（　）一　（　；　）　＝　∑ｉ＝２　＋２　２ｐ　／∑ｉ＝２＋２　Ａ（　≥ｏ．　由此可得：　（　，　）＝　ｚ　（　；　）　（　）≥　．定理证毕．　参考文献：　ＷＩＥＮＳ　Ｄ　Ｐ．Ｄｅｓｉｇｎｓ　ｆｏｒ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙ　ｌｉｎｅａｒ　ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ：ｔｗｏ　ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｕｎｉｏｆｒｍ　ｄｅｓｉｇｎｓ［Ｊ］．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　Ｌｅｔｔｅｒｓ，１９９１，１２：２１７—２２１．　［２］　ＪＯＮＥＳ　Ｅ　Ｒ，ＭＩＴＣＨＥＬＬ　ＴＪ．Ｄｅｓｉｇｎ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｏｒｆ　ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ　ｍｏｄｅｌ　ｉｎａｄｅｑｕａｃｙ［Ｊ］．Ｂｉｏｍｅｔｉｒｋａ，１９７８，６５：５４１—５５１．　ＪＥＳＩＮＨＡ　Ｍ　Ｃ，ＫＨＵＲＩ　Ａ　Ｉ．Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｄｅｓｉｇｎｓ　ｔｏ　ｉｎｃｒｅａｓｅ　ｔｈｅ　ｐｏｗｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｕｈｉｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｌａｃｋ　ｏｆ　ｉｆｔ　ｔｅｓｔ　［３］　ＷＩ［Ｊ］．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ　Ｈａｎｎｉｎｇ　ａｎｄ　Ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ，１９８７，１６：１７９—１９２．　［４］　ＫＨＵＲＩ　Ａ　Ｉ．Ａ　ｔｅｓｔ　ｆｏｒ　ｌａｃｋ　ｏｆｆｉｔ　ｏｆ　ａ　ｌｉｎｅａｒ　ｍｕｈｉｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｔｅｃｈｎｏｍｅｔｒｉｃｓ，１９８５，２７：２１３—２１８．　Ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　ｏｆ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｄｅｓｉｇｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｅｓｔ　ｆｏｒ　ｌａｃｋ　０ｆ　ｆｉｔ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｍｕｌｔｉｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｍｏｄｅｌｓ　ＺＨＡＮＧ　Ｘｕａｎ—ｈａｏ　，ＹＵＥ　Ｒｏｎｇ．ｘｉａｎ　（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　Ｓｅｃｏｎｄ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０１２０９，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２００２３４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｅｘｔｅｎｄｓ　ｈｅｔ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　Ｗｉｅｎｓ（１９９１）ｔｏ　ｔｈｅ　ｍｕｈｉｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｍｏｄｅ１．Ｉｔ　ｉｓ　ｓｈｏｗｎ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｄｅｓｉｇｎ　ｍａｘｉｍｉ—　ＺｅＳ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｐｏｗｅｒ　ｏｆ　ｈｅ　ｓｔａｔｎｄａｒｄ　ｔｅｓｔ　ｆｏｒ　ｌａｃｋ　ｏｆ　ｆｉｔ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｌａｃｋ　ｏｆ　ｉｆｔ　ａｎｄ　ｍｉｎｉｍｉｚｅｓ　ｔｈｅ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｐｏｗｅｒ　ｗｈｅｎ　ｈｅ　ｍｏｄｅｌ　ｉｔｓ　ｔｒｕｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒ　ｍｕｈｉｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｍｏｄｅｌ；ｌａｃｋ　ｏｆ　ｉｆｔ；ｕｎｉｆｏｒｍ　ｄｅｓｉｎ　ｇ（责任编辑：冯珍珍）