变系数非线性Schrodinger方程的精确行波解

第３Ｏ卷第４期　２０１３年８月　贵州大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｕｉｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｖｏ１．３０　Ｎｏ．４　Ａｕｇ．２０１３　文章编号１０００—５２６９（２０１３）０４—０００１—０３　变系数非线性Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程的精确行波解　曹　瑞　（１．菏泽学院数学系，山东菏泽２７４０１５；２．四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都６１００６８）　摘　要：利用齐次平衡原理和推广的Ｇ　／Ｇ展开方法，研究一类具有重要物理背景的变系数非线　性Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ方程。先通过一个行波变换，将变系数非线性Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ方程化为非线性常微分　方程；再借助辅助常微分方程的解，获得变系数非线性Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ方程合有多个任意参数的精　确行波解，并且当参数取特殊值时，得到了孤波解。　关键词：推广的Ｇ　／Ｇ展开方法；非线性Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ方程；行波解；齐次平衡原理　中图分类号：０１７５．２９　文献标识码：Ａ　非线性Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程是数学物理中一类非　常重要的非线性方程，在非线性科学的众多领域　如：量子力学，非线性光学，等离子体物理以及玻色　１　方法介绍　对：于二一个给定的含有两个独立变量　，ｔ的非　线性发展方程　Ｇ（　，　，Ｍ　，　，　衄，　搬，…）＝０，　（２）　爱因斯坦凝聚等领域中有着广泛的应用。因此，构　造非线性Ｓｃｈ￣ｄｉｎｇｅｒ方程的精确解是一项非常重　要的研究工作。至今为止，数学家和物理学家提出　这里　＝ｕ（ｘ，ｔ），Ｇ是关于Ｈ，　，　，　Ｍ　，Ｍ　，…　的多项式。推广的Ｇ　／Ｇ展开方法的步骤如下：　（１）引入行波变换　“（：　，￡）＝Ｍ（　），　＝　日（　，　，　”，…）＝０，　＋　￡，　（３）　（４）　和发展了许多求解非线性发展方程的有效方法，比　如Ｈｉｒｏｔａ　ｂｉｌｉｎｅａｒ方法　，齐次平衡方法　，Ｒｉｃｃａｔｉ　方程法　Ｊ，Ｆ．展开方法　等。最近，王明亮等　提　出了一种新的构造精确行波解的方法，Ｇ　／Ｇ展开　方法。利用这个方法及其推广形式，成功获得了大　量非线性发展方程的精确行波解　．７＿。　那么，方程（２）化为下列常微分方程　这里Ｏｌ，　是待定常数。　（２）假设方程（４）有如下形式的行波解　Ｇ　／Ｇ展开方法的主要思想是非线性常微分方　程的行波解可以表示成变量（Ｇ　／ｃ）的多项式函　数的形式，其中Ｇ：Ｇ（　）满足一个二阶常系数微　）＝　∑　［　＋ｂｉ（　广　×　（５）　分方程。本文中，我们将利用推广的Ｇ　／Ｇ展开方　法研究一类具有重要物理背景的变系数非线性　Ｓｃｈｒ￣ｄｉｎｇｅｒ方程　这里０。，　，ｂ　是待定常数（ｉ＝１，２，…，Ⅳ），参数　Ⅳ通过平衡给定方程（４）中的最高阶偏导数项和　＋　￡）ｕ　＋ｇ（ｔ）Ｉ　ｕ　Ｉ　ｕ＝０，　（１）　非线性项来确定。Ｇ＝Ｇ（　）满足二阶常系数微分　方程　这里　ｔ），ｇ（ｔ）都是实函数，ＩＸ＝ｕ（　，ｔ）是变量　，ｔ的复函数。当，（ｔ）＝１，ｇ（ｔ）＝　时，方程（１）　，１，Ｇ”（　）＋　Ｇ（　）＝０，　ｒ—　——　—　（６）　成为非线性Ｓｃｈｒｔ￣ｄｉｎｇｅｒ方程　Ｊ。马文秀等　利　用直接方法获得了非线性Ｓｃｈｒｆｉｄｉｎｇｅｒ方程的精　确解。　（３）将方程（５）代人方程（４）并利用（６）式，令　（　）　Ｉ＋吉（詈）　每一项的系数为零，得到关　于　，卢，　和００，０　，ｂｆ（ｉ＝Ｉ，２，…，Ⅳ）的一个代数　方程组。借助于计算机代数系统求解得到的代数　本文将推广的Ｇ　／Ｇ展开方法应用于求解变系　数非线性ＳｃｈｒｔＭｉｎｇｅｒ方程（１），得出一些结论。　收稿日期：２０１３—０６—１５　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１０７１１７７）；菏泽学院科学基金资助项目（ＸＹＪＪＫＪ一３）　作者简介：曹瑞（１９７９一），女，山东单县人，讲师，研究方向：数学物理等，Ｅｍａｉｌ：ｎａｉｃａｏ９９９＠１２６．ｃｏｍ．　通讯作者：曹瑞，Ｅｍａｉｌ：ｒｕｉｃａｏ９９９＠１２６．ｃｏｍ．　・２・　贵州大学学报（自然科学版）　第３０巷　方程组，再结合选择的辅助方程（６），得到偏微分　方程（２）含有多个参数的行波解。下面给出二阶　这里Ｃ　（ｉ＝１，２，３，４）是任意常数，ｃ　≠０并且　线性常微分方程（６）的解。　（等）＝　（　Ａｌ　ｓｉｎｈ　＋Ａ２ｃｏｓｈ　一　Ａｌ　ｃｏｓｈ　＋Ａ２ｓｉｎｈ　），　＜０．　ｃ　＞０．　Ａ　ｌ＋Ａ２　’　＝０．　２方程（１）的精确解　引入如下的行波变换　Ｕ（　，ｔ）＝ｖｅｘｐ［ｉ７／（　，ｔ）］，　＝Ｐ（ｔ）　＋ｑ（ｔ），　＂ｒ１（　，ｔ）＝ＯＬ（ｔ）ｘ　＋卢（ｔ）ｘ＋　（ｔ）．　（７）　其中　（ｔ），　（ｔ），ｙ（ｔ），Ｐ（ｔ）和ｑ（ｔ）是待定函数，　＝　（　）是实函数。将上述变换代入方程（１）中得　到常微分方程　［Ｐ　（ｔ）ｘ＋ｑ　（ｔ）＋２ｐ（ｔ）（２　（ｔ）ｘ＋　（ｔ））］　＝０，　ｔ）ｐ　（ｔ）ｖ”一［　（ｔ）ｘ　＋　（ｔ）ｘ＋　（　）＋　ｔ）（２　（ｔ）ｘ＋　（ｔ））　］　＋ｇ（ｔ）ｖ　：０，　（８）　根据齐次平衡原理，考虑方程（８）中的非线性　项　和最高阶导数项　”的平衡，可得Ｎ＝１．于是　可以假设方程（１）有形式解　（　）＝ａ０＋ｎ。（　）＋６　√１＋古（　）　，　（９）　这里ａ０，ａ　，ｂ。是待定常数。其中Ｇ＝Ｇ（　）满　足二阶常微分方程（６）．将（９）代人（８）中并利　用（６），合并（　）　√１＋　（等）　的相同幂次，　令每一项的系数为零，得到关于。。，ａ。，ｂ　，　的　一个代数方程组，通过直接求解该方程组可以　得到非线性方程（１）的精确解。分三种情形来　讨论。　情形一：　ａ０＝０，ａｌ＝ａ１，ｂ】：０，　卢（ｔ）＝Ｃｌ　（ｔ），Ｐ（ｔ）＝Ｃ２　（ｔ），　ｇ（￡）：竿　（　）＋。　，　ｇ（　）：一　，　（　）：　—二　熊　（　）．　（￡）满足限制条件　（￡）（４　）ｄ￡＋ｃ　）＝１．　此时，方程（１）的精确行波解为　Ｕ（　，ｔ）＝　－ｃ　ｊ，　＜０．　√　口１　：：　＿二＿＝蕊　）ｅ。　Ｘ　ｐｌ　叼　，，　…，’ｊ’　＞０．　ｎ。（　：　）ｅｘｐ［　叼（　，　）］，　＝。．　上式也可以表示为　Ｕ（　，ｔ）＝　ｆ　一／ｘａ，ｔａｎｈ（　一　＋　）ｅｘｐ［ｉｎ（ｘ，￡）］，　ｌ　，ｔａ　＝Ａ２　ｊ　ＡＩ　　１ｌ　ｃｏｔｈ（　＋　。ｅｘｐ［ｉ￣７（ｘ，￡）］，　］　ｃｏｔｈ　＝　Ａ２，　Ｉ　。ｃｏｔ（￣－ｐＡｊ＋　。）ｅｘｐ　（　，￡）］，　｝【　　＞０，ｃ。　。　，ｌ２・　情形二：　ａｏ＝０，ａ１＝０，ｂｌ＝ｂｆ，　卢（ｔ）＝Ｃ１　（ｔ），Ｐ（ｔ）＝Ｃ２　（ｔ），　ｇ（ｆ）：—Ｃｌ　Ｃ２　（　）＋ｃ３，　）＝一Ｔ２１￣：ｆ（ｔ）ｏｔ２（ｔ）　：　这里Ｃ　（ｉ＝１，２，３，４）是任意常数，Ｃ　≠０并且　（￡）满足限制条件　（　）（４￣ｆ（ｔ）ｄｔ＋ｃ　）：１．此　时，方程（１）的精确行波解为“（　，ｔ）＝　＜０　＞０　第４期　曹　瑞：变系数非线性Ｓｃｈ￣ｄｉｎｇｅｒ方程的精确行波解　・３・　情形三：　ｇ（　）＝一　，　（　）＝Ｔｃ２，－－　３￣ｇｃ　２２　口０＝０，０１＝口Ｉ，ｂ　＝Ｉｚａ　，　（ｔ）．　届（ｔ）＝Ｃ１Ｏｔ（ｔ），Ｐ（ｔ）＝ｃ２　（ｔ），　ｑ（ｔ）＝　丁ＣｌＣ２　（ｔ）＋ｃ，此时，方程（１）的精确行波解为　，　ｌＩ＝锄　３　结语　雁　ｉｃａｌ　ｐｈｙｓｉｃｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｌｅｔｔ　Ａ，１９９６，２１６：６７—７５．　［３］孙裕怀，杨少华，王佼，等．非线性Ｃｈａｆｆｅｅ—Ｉｎｆａｎｔｅ反应扩散方　本文中将推广的Ｇ　／Ｇ展开方法应用于求解具　程的新精确解［Ｊ］．四川师范大学学报：自然科学版，２０１２，３５　有重要物理背景的变系数非线性Ｓｃｈｒ０ｄｉｎｇｅｒ方　（３）：２９３—２９６．　程，成功获得了非线性Ｓｃｈｒｔ￣ｄｉｎｇｅｒ方程一系列含　［４］曹瑞．Ｆ一展开方法构造非线性方程的新精确解［Ｊ］．贵州大学　有多个参数的精确行波解。这些解包括孤立波解、　学报：自然科学版，２０１１，２８（３）：ｌ７—２０．　双曲函数解、三角函数解以及有理函数解。并且当　～　［５］Ｗａｎｇ　Ｍ　Ｌ，Ｚｈａｎｇ　Ｊ　Ｌ，Ｌｉ　ｘ　Ｚ．Ｔｈｅ（Ｇ　／Ｇ）一ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｎｏｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　精确行波解中参数取特殊值时可以得到孤立波解。　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃＭ　ｐｈｙｓｉｃｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｌｅｔｔ　Ａ，２００８，３７２：４１７—４２３．　这些精确解或许有助于物理上对该方程的研究。　［６］曹瑞．一类非线性波动方程的精确行波解［Ｊ］．大学物理，　２０１２１，２１（６）：２５—２７．　参考文献：　［７］陈晓艳，吉飞宇，鱼翔．推广的Ｇ　／Ｇ展开法与Ｚｈｉｂｅｒ—Ｓｈａｂａｔ　［１］Ｈｉｒｏｔａ　Ｒ．Ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｋｏｒｔｅｗｅｇ—ｄｅ　Ｖｆｉｅｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　方程的精确解［Ｊ］．纯粹数学与应用数学，２０１２（４）：１２４—１３０．　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｃｏｌｌｉｓｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｌｅｔｔ，１９７１，２７：１１９２—　ｆ　８］Ｍａ　Ｗ　Ｘ。Ｃｈｅｎ　Ｍ．Ｄｉｒｅｃｔ　ｓｅａｒｃｈ　ｆｏｒ　ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎ—　１１９４．　ｅａｒ　Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ｃｏｍｐｕｔ，２００９，２１５：　［２］Ｗａｎｇ　Ｍ　Ｌ，Ｚｈｏｕ　Ｙ　Ｂ，Ｌｉ　Ｚ　Ｂ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｂａｌ—　２８３５—２８４２．　ａｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｍａｔｈｅｍａｔ－　（责任编辑：周晓南）　Ｅｘａｃｔ　Ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　Ｗａｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ＳｅｈｒｉＪｄｉｎｇｅｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｖａｒｉａｂｌｅ　Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ　ＣＡＯ　Ｒｕｉ　，　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｅｚｅ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈｅｚｅ　２７４０１５，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｏｆｔｗａｒｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｉｅｈｕａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００６８，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ，ｗｈｉｃｈ　ｈａｖｅ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ，　ｗａｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｂａｌａｎｃｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　Ｇ　／Ｇ—ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈ　ａ　ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ　ｗａｓ　ｒｅｄｕｃｅｄ　ｔｏ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｎ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｈｅｌｐ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ（Ｉｆ　ａｕｘｉｌｉａｒｙ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｍａｎｙ　ｅｘａｃｔ　ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｗｅｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ，ａｎｄ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅ—　ｔｅｒｓ　ａｒｅ　ｔａｋｅｎ　ａｓ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｖａｌｕｅｓ，ｓｏｌｉｔａｒｙ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｗｅｒｅ　ｄｅｒｉ　ｚｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｅｘｔｅｎｄｅｄ　Ｇ　／Ｇ—ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；　ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｂａｌａｎｃｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ