高中数学实验教学的实践研究 (1)

高中数学实验教学的实践研究

姓名：韩坤申请学位级别：硕士专业：学科教学·数学指导教师：王光明

20100301

摘要数学实验是高等数学教育改革的产物，在大学开设数学实验己成为共识。而在中学，把数学实验及时引入到中学来，对中学教育改革必将起到重要而深远的影响。在数学实验活动中，要让学生以实验为载体去观察、实验、分析、猜想、归纳、发现，探究科学结论的形成和发展，使教学不止局限于知谚｛本身，还成为再创造、再发现的教学，提高他们的科学素养。在教学中适度有效地开展“数学实验”，不仅能使学生掌握必要的数学知识，更重要的是有助于提高他们数学学习的积极性，培养他们乐于思考探索的品质，有利于提高他们动手操作及分析问题、解决问题的能力，是一种在新课程教学中值得借鉴的教学方法。该文对开展数学实验的意义进行阐述，对数学实验的历史背景、研究现状加以研究，从而对“数学实验”的概念进行界定；以建构主义学习观、认知发生原理及问题解决理论为基础，开展高中数学实验教学的实践，对实践活动进行剖析，提出实验策略与数学实验教学的一般模式；划分中学数学实验设计常见类型，探讨具体实验对学生数学学习的影响和作用，进一步思考实践中的问题和不足，以使中学数学实验教学理论不断完善和系统化。数学实验对现代社会所需创新人才的培养、对现代数学教育的推动，对数学学科发展的促进等等方面的重要作用，都显示出中学数学实验教学设计的实践和研究的现实意义。关键词：数学实验，中学数学教学，实验设计ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｒｅｆｏｒｍｉｎａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｌｅａｄｓｔｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｉｔｉｓｗｉｄｅｌｙａｇｒｅｅｄｔｈａｔｉｔｉｓｎｅｃｅｓｓａｒｙｔｏｓｅｔｕｐｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｉｎｕｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅｉｎｔｈｅｈｉｇｈｓｃｈ００１，ａｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｅｄｕｃａｔｉｏｎｒｅｆｏｒｍ．ｉｔｉｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｆｏｒｔｈｒｏｕｇｈｄｏｉｎｇｏｆｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃｗｉｌｌｃｅｒｔａｉｎｌｙｈａｖｅＤｕｒｉｎｇｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓｔｏｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｇｒｅａｔｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｎｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｃｏｕｒｓｅｏｆｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ，ａｎａｌｙｚｅ，ｏｕｔｏｂｓｅｒｖｅ，ｔｏｅｘｐｌｏｒｅ，ｆｏｒｍａｔｉｏｎｇｕｅｓｓａｎｄｓｕｍｕｐｆｉｎｄｔｈｅａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｗｈｉｃｈｎｏｔｏｎｌｙｍａｋｅｓｔｅａｃｈｉｎｇｇｏｂｅｙｏｎｄｋｎｏｗｌｅｄｇｅｉｔｓｅｌｆ，ｂｕｔｍａｋｅｓｔｕｄｅｎｔｓｔｅａｃｈｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓｓｏｔｈａｔｉｔｃａｎｅｎｈａｎｃｅｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔ’ｓｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃｉｎｎｅｒ—ｑｕａｌｉｔｙ．“ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ’，ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙａｎｄｐｒｏｐｅｒｌｙｈｅｌｐｓＷｈａｔ’ｓｍｏｒｅ，Ｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｔｈｅｂａｓｉｃｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｋｎｏｗｌｅｄｇｅ．ｉｔｈｅｌｐｓｔｈｅｍｔｏｅｎｈａｎｃｅｔｈｅｉｒｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｌｅａｒｎｉｎｇｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｃｕｌｔｉＶａｔｅｔｈｅｉｒｖｉｒｔｕｅｏｆｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎａｎｄｅｎｃｏｕｒａｇｅｔｈｅｍｔｏｄｅＶｅｌｏｐｔｈｅｉｒｔｈｉｎｋｉｎｇａｂｉｌｉｔｙｔｏｐｒａｃｔｉｃｅ，ａｎａｌｙｚｅａｎｄｓｏｌｖｅａａｐｒｏｂｌｅｍ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｉｔ’ｓａｌｓｏｎｅｗｔｅａｃｈｉｎｇｍｅｔｈｏｄｗｈｉｃｈｉｓｗｅｌｌｗｏｒｔｈｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇｔｏｔｈｅｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍｔｅａｃｈｉｎｇ．Ｔｈｉｓｅｓｓａｙｈａｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｓｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｃｌａｓｓｉｎｔｏｄａｙ’ｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌ，ａｎｄｓｕｍｍｅｄｔｈｅｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎａｎｄｃｌａｓｓ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ａｓｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｉｔｈａｓａｃｔｉｖｉｔｙ，ｔｏｏ．Ａｎｄｉｔｐｕｔｓｆｏｒｗａｒｄｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｐｒｉｎｃｉｐｌｅａｓｗｅｌｌｓｔｅｐｓａｎｄａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｎｄｒｏｌｅｓｏｎｉｎｈｉｇｈｂｙｅａｃｈｓｃｈ００１．ＤｉｓｃｕｓｓｅｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓｏＶｅｒｓｔｕｄｅｎｔｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｔｉｏｎ．Ｆｉｎａｌ１ｙＰｏｎｄｅｒｓｐｅｒｆｅｃｔｉｎｇａｎｄｓｙｓｔｅｍａｔｉｚｉｎｇｑｕｅｓｔｉｏｎｓｉｎｔｅａｃｈｉｎｇＰｒａｃｔｉｃｅｓｆｏｒｔｈｅｏｒｉｅｓｏｆｈｉｇｈｓｃｈ００１ｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｔｉｏｎｉｎｆｏｓｔｅｒｉｎｇｅｄｕｃａｔｉｏｎｓｏｃｉａｌｎｅｅｄｅｄｔａｌｅｎｔａｎｄｐｕｓｈｉｎｇｆｏｒｗａｒｄｍｏｄｅｒｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎｄｐｒｏｍｏｔｉｎｇｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｓｃｉｅｎｃｅ，ａｌｌｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅｐｒａｃｔｉｃａｌａｎｄｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｇｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｏｆｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｔｉｏｎｔｅａｃｈｉｎｇｄｅｓｉｇｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：ｄｅｓｉｇｎｏｆｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｔｈｅｈｉｇｈｓｃｈ００１ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其它人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得丞洼垭菹太堂或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：婢日期：牡≯学位论文版权使用授权书本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库讲行柃尝．托琢固影印．缤亡，或招描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。（保密的论文在解密后应遵守此规定）签名：导师签名：前言面对２１世纪社会的变化和科学技术的迅猛发展，在课程改革全新理念的引导下，义务教育以及高中教育阶段数学课程已经和正在发生着深刻的变化，这不仅体现在课程理念和课程目标上，而且体现在课程内容及课程方式上。以问题为载体，以学生为主体，以计算机为手段的数学实验具有独特的同化功能，优越的发展功能和显著的激励功能。数学实验的引入，给我们的数学课注入了许多活力，更能给予学生一个“完整的数学”，培养学生研究问题的习惯，数学的意识”，全面提高学生的数学素质。一、选题背景数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等学科的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越重要的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组培养“用成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素剧¨。随着科学技术的进步，现代科学同益趋向定量化，各个科学领域都需要使用数学工具。数学对于当代科学乃至整个科学的影响和推动作用日益显著，数学几乎已经渗透到所有学科。例如，过去很少运用数学的生物学，现在和数学结合形成了内容丰富的生物数学、生物统计学、数理生物学等学科。就连过去和数学关系不大的语言学，也和数学结合形成了数理语言学【２ｊ。而且在工程技术方面，借助于先进的计算机技术，运用数学手段来解决各领域的实际问题，己经到达了实用阶段，由此可见，在数学逐渐渗透到自然学科、工程技术、经济贸易、社科人文等各领域的今天，各行各业都需要一大批掌握牢固的数学知识，能正确应用数学知识分析并解决实际问题的人才。数学，不仅是一门演绎、推理的学科，也是一门实验、归纳的学科。著名数学家和数学教育家Ｇ．波利亚曾精辟地指出【３】－【５】：‘‘数学有两个侧面，一方面它是欧几罩得式的严谨科学，从这方面看，数学像一门系统的演绎科学；但另一个方面看，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学”。大数学家欧拉【６】说过：“数学这门科学需要观察，还需要观察”。高斯也捉到过他的许多定理都是靠实验、归纳发现的，证明只是补充的手续。即使到了现代也不例外。英国当代数学家Ｄ．Ａ．约翰逊指出【７】‘‘数学家用以发现新思想的方法之一是进行实验”。但在长期的数学教育中，一直对逻辑、演绎等较为重视，而对于在科学突破上至关重要的实验、猜想、归纳、创新等能力的培养却重视不够。这样的教育无论从培养人的数学修养，还是从提供研究工具的角度来看，现在的数学教育已是“非改不可”。为此国家中小学课程标准明确要求“必须使学生形成勇于探索、勇于创新的科学精神”、“数学学习的内容应有利于学生从事主观的观察、实验、猜想、验证、推理、交流与解决问题等活动”、“数学学习的主要方式足自主探索、合作交流与实践创新【８】。’’在数学教育中，开展“数学实验”教学Ｊ下是这些标准的体现。数学是一门与我们的生活息息相关的学科，小到每天的日常生活，大到人类的发展，无一不涉及到数学。我们从小学就开设了数学课程，与语文并行，可见数学就像我们的母语一样具有非常重要的地位。但是，与语文相比较，数学知识却在体系上有很大的不同，它的知识层次分明，从易到难，从形象到抽象。也萨因为如此，大多数的孩子在小学和仞中阶段对数学学习兴趣非常的浓厚，而且数学成绩一直很好。但是，当孩子们进入到高中阶段后，却明显的发现数学学习越来越难，越学越学不懂。成绩一落千丈，挫伤了孩子们的自信心，经常的失败，更是让学生对数学的失去了学习的兴趣，甚至没有了数学学习的积极性。涂荣豹指出：“教学过程是教与学两个方面的有机统一。当前的教学过程中存在的最大问题是强调‘掌握和记忆现成的知识’，停留在‘模仿加记忆’的水平，教师的教不是为了学生真正理解，而是让学生模仿，记住有关的结论、题型和方法。用这样的方法培养出来的学生，大多只能死读书，读死书。只能机械地毫无创造性地套用所学的知识，缺乏创造精神【９】。”斯托利亚尔明确指出：“数学教学应该是数学活动的教学”，新课程标准的总体目标也明确了义务教育阶段的重要数学知识包括“数学活动经验”，我们必须充分认识到课程标准中刻意使用的“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画２数学活动水平的过程目标动词。我们还要承认，不同的活动组织者，不同的活动参与者以及活动过程中的变化，都将影响到活动的成败及活动完成质量的高低，或者说我们对活动的把握是模糊的，只有活动结束，才知道活动的结果。这就要求我们教师对待数学教学要充分备课（设计活动）、精心组织（实施活动）、不断总结（完善活动）。数学教学活动的一个重要方面是实现学生由被动地接受数学知识向“做数学”转变，教师的作用是组织者、引导者、合作交流者，张孝达曾指出：教师的主导作用在于导学、助学、促学，不在于“教”数学。美国数学教材中已增设了“动手做”板块，按照“提出问题（背景）——动手做（过程）——观察记录（自主探索）——得出结论（合作交流）”这一新的教育思想和学习方法编写教材。我国数学课程标准在“过程性目标”中也强调了“经历、探索、合作交流”等数学活动因素。因此，数学教学的内容应有利于学生从事主观的观察、实验猜测、验证、交流与解决问题等活动，事实上，数学活动的过程就是学生对数学从“模糊”到“清楚’’的过程，但与传统的传授知识的教学的本质区别在于学生实现了对知识的自我建构【１０】。一些国际比较研究表明我国学生在解答具有操作步骤的数学问题、记忆数学结论等方面的问题不严重。既然在数学“知”的方面问题不严重，那么与其说我们激发学生的求知欲，不如说要激发学生的求识欲。求识欲指的是学生不断完善个人认知结构、深刻领悟数学精神、思想和方法，形成深刻数学思维和深入理解数学知识的欲望，即不停留于记住了大量的结论与题型的解法，不满足于在考试中取得较好成绩，而具有数学学习中由此及彼、由表及里、知其然并知其所以然、知其所以然并知其所以所以然，学习不断深入的欲念。知的学习是近期学习效果，而识的不断获得，是具有可持续发展的远期学习效果的实现过程。通过外在的功利手段，可以激发学生的求知欲，而焕发学生的求识欲，必须靠对数学内在价值的挖掘，靠教师对数学与教育的深刻理解后，通过高超教学技巧让学生认识到数学的无穷魅力，让他们欣赏到数学百花园中数学思维之奇葩，让他们摘得数学学习中的思维之美丽花朵，学生具备了求识欲，也就具备了向学习时间不断要数学学习质量的意识１１１Ｊ。为了让学生更好地学习数学，作为教师的我们应该尽量的使抽象的知识变得形象化，帮助学生理解抽象的知识，增加数学学习的兴趣。把学习数学知识变成３是学生的学习兴趣所在，从而爱上抽象的数学。而多媒体技术的运用可以帮助我们解决这一难题，如我们可以通过数学软件《几何砸板》，演示函数图像的画法，曲线的形成，还可以演示由参数的变化而引起的图像的变化规律等。这样的演示要比我们单纯讲解要形象，且记忆深刻。二、选题思路、目标现代教育技术环境，特别是网络环境，对中学数学教学、学习带来了巨大变革。教学过程中充分应用现代教育媒体，精心制作多媒体课件，优化课堂教学，开设数学实验和数学建模，是提高数学教学质量的有效方法。数学实验，在教育部面向世纪教学内容和课程体系改革项目的推动下，使学生掌握数学实验的基本思想和方法，即不把数学看成先验的逻辑体系，而是把它视为一门“实验科学”，从问题出发，借助计算机，通过学生亲自动手，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律。（一）研究目标将现代教学理论与建构主义学习等基础理论相结合，通过教学改革与实验，探索数学实验教学的基本形式，通过对高中数学课程的深入研究，精心设计教学过程，吸引学生参与到教学内容的全部过程。在任课教师的指导和参与下，让学生自主、充分地参与整个研究过程，从而得到体验追寻知识的第一手资料和具体研究过程，激发并提高学生对科学，特别是对数学科学的探究兴趣，优化数学学习的方式，创设能使学生主动产生数学问题的学习环境，提供观察数学现象和通过实验方法探索数学规律的工具平台，构建一种新型的实现学生主动发展的适应学生不同水平差异的并有相当开放程度的学习模式，使学生在掌握知识的同时实现数学学习方式可检测性的转变，为高中数学课程的实施提供有效教学素材和实证参考。并且切实有效提高数学教师专业化水平。（二）研究内容本文研究的主要内容包括：“数学实验”的概念界定；数学实验教学的一般原则和规律；数学实验教学应用于高中数学学习方案设计；学生学习方式与学习质量变化的跟踪测量与评价。（三）研究方法本研究拟采用的方法主要为文献法、调查法、行动研究法和比较法。４首先采用文献法，通过网上搜索和文献查阅等方式收集相关资料来了解有关数学实验教学的概念和研究现状。收集、阅读、分析与本课题相关的文献资料，通过对《数学通报》、《数学教育学报》、《中学数学教学参考》、《数学通讯》、《数学教学》等期刊中有关文献统计分析来了解高中数学实验教学的现状。然后分析本人在教学实践中发现的问题，并分析产生问题的原因，提出对策。再次采用行动研究法。行动研究作为一种研究的方法，是以解决实际工作中遇到的问题为研究目的，并由教育者在自然条件下进行实践，并进行不断的实践——反思循环，使实践不断得到改善，主要通过计划、实践、观察、反思四步骤进行。研究过程能将教育理论和实践融于一体，是一个循环反复、螺旋上升的研究过程。本课题的研究将遵照计划——采取行动——交流反思——再行动的方案进行研究。在总结高中数学课堂教学实践经验的基础上，精心设计一些有针对性、层次性、分类性的典型案例进行研究。采用调查问卷等方式，了解学生对实行数学实验教学前后参与数学课程学习的看法和建议。最后运用比较法，通过对开展数学实验教学前后，教师的业务水平和学生数学学习能力、学习质量的水平比较，进一步深化认识，得出研究结论。５第一章课题研究意义众所周知，数学具有形式化抽象特征，对于一些精深的数学概念、繁琐的演算过程、复杂的数形关系和复杂多变的几何位置关系及一些生产、生活中的实际问题，往往由于教学手段的限制，课常上难以讲清，学生也因没有体验难以从现实中找到它的原型，从而造成了教与学的难点，本人长期在中学第一线工作，对此深有体会。在数学教学中创设恰当的问题情境，引导学生通过实验手段，从直观想象到发现、猜想，使学生亲历数学建构过程，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律，可以取到事半功倍的效果。数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中，在形成人们认识世界的态度和思维方面，在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用，在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要，数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基本知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思维方式解决问题、认识世界。１．１开展数学实验的教学意义一、有利于激发学生学习数学的兴趣在数学课上，如果学生没有真正地参与进来，将不会有好的学习效果。而提高学习效果的一个重要途径是激发学生的学习兴趣，数学作为一门重要的基础课，本身是很枯燥的，内容又多又细；前面学过的内容，在后边的章节和后续课程中不时的用到；中学数学的学习进度又是很快的，掌握起来比较困难。这样只有通过一些形象直观，又能加深印象的教学方式，才能激发学生学习的兴趣，使学生发现问题的本质，形成一般性的结论，达到领会、掌握的目的。二、帮助学生形成正确的概念奥苏伯尔认为，在概念的学习过程中，如果向学生的认知结构中加入错误的或不充分的信息，将导致错误概念的产生【１２】。利用数学实验进行概念教学，可６以给学生提供“做数学”和对教师所讲授的内容进行操作的机会，让学生在反复的观察、探索和发现过程中建立自己的经验体系可以给学生创造一个动静结合的教学情境，使孤立的、静止的成为连续变化的动态图形，从而引导学生用运动的、变化的观点来思考问题，可以使抽象的数学概念以直观的形式出现，更好的引导学生思考概念间的联系，促进对新的概念的理解可以将数与形有机的结合起来，把运动和变化、数与形展现在学生面前，使学生对概念的理解由抽象的认识提高到抽象的概括，也可以给出生动的动态形象来展示复杂的变化过程，为学生在接受相关概念时，在感受和思维之间架超一座桥梁，有利于澄清一些容易混淆的概念和更好地理解一些不易理解的抽象概念。现代数学软件能从各个不同的角度使学生来理解数学概念，例如数学软件可以使几何体进行旋转，当拖动某点时，可以使图形绕着一个点或绕着一条直线进行旋转，使学生能找到表达数学问题本质属性的最佳位置，从而充分把握图形的本质属性，在学生的心理中建立Ｊ下确的图形，使学生从多角度、多侧面、多方位进行观察和体验，真正深入地把握概念的本质。三、有利于领悟数学的思想方法数学研究的对象是客观世界的空间形式和数量关系，数学是其他各学科的工具和助手。数学另一价值在于它能训练人的思维、思想方法。许多伟大的科学家都精通数学，同本教育家米山国藏说：“在那些学者、科技工作者的研究工作中，经常活跃着的、最感需要的实际上是数学的精神、思想和方法。惟有这些精神、思想方法的启发、锻炼、体验才是不仅在数学，而且在一切科学技术中，在人生的各方面筹划各种事业飞跃发展所绝对必需的，这一点已成为许多事例所证实”。他还指出作为知识的数学，学生出校门不到两年就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等，这些却随时随地发生作用【１３】ｏ在学习含参数的一元二次函数，指数、对数函数等函数知识时，利用计算机的交互性，学生通过键入不同的数值进行实验，观察不同数值的函数的不同图象，寻找图象的共同点，探索发现结论，深刻理解函数与方程的思想；讲解三角函数的图象与性质时，图形计算器、计算机可以帮助学生有效理解数形结合思想。数学教育的任何改革，都离不开数学这个载体。其中，数学的思想方法是数７学的精髓，是数学知识的灵魂。数学思想方法的应用，体现在我们同常生活的方方面面，因此，在数学教学中有意识地加强数学思想方法的教育，将有利于人的科学文化素质的提高。当前形式下，我们正面临着数学教学的改革，只有贯彻以数学思想方法教育为指导的教学，以数学文化为背景的教学，才能使学生学到活生生的数学，领悟到数学的思想和方法。１．２开展数学实验的应用意义一、培养学生的创新能力创新教育的问题不仅仅是我国的热点问题，可以说是全球性的热点问题。美国哈佛大学校长陆登庭曾在北京大学指出“在迈向新世纪的过程中，一种最好的教育就是有利于人们具有创新性”。培养学生的创新意识和创新实战能力成为当今教育的一个基本要求，数学实验就可以为学生提供这样的机会【１４１。古人云“疑者觉悟，觉悟之机也；一番觉悟，一番长进”。传统的教学模式常常是学生跟着教师走，对新学知识要求学生一味死记硬背，致使学生稚嫩的创新思维泯灭殆尽。“数学实验教学”模式却能给学生提供主动探求知识的宽松环境，让学生在成功的设计和愉快兴奋的实验操作中，发挥其潜力，活跃其思维。在对未知领域的探索过程中，通过自己的实验操作和验证，积极地去思考，去探求，从中去展现他们的智慧，激发他们的灵感。二、培养学生动手操作和探索的兴趣在数学教学中，通过数学实验能够很好的培养学生的动手操作技能，从而达到学习数学和探索数学的兴趣。要让学生在学习有关概念的同时，通过使用数学工具，进而在增加学生感性认识的基础上，帮助学生形成数学概念，帮助学生全面地掌握数学知识。由于计算机可以通过显示器为学生提供更多的学习材料，学生又可以自行操作，输入自己提出的数据进行实验，这就给分析、抽象、归纳提供了机会，学生可以主动探索、主动发现、主动创新，激励发现又进一步激发了兴趣、激活了问题，经过几个这样的循环，学生对问题的认识就会步步地深入。三、提高学生分析问题和解决问题的能力我们可以在讲授抽象概念之前，向学生提供一定的例子，运用计算机和数学８软件的计算、演示、模拟功能等数学实验方法，让他们自己分析，去发现其中的规律。这种做法对培养学生的观察、归纳能力很有好处，也能消除学生对数学知识的神秘感。在计算机的帮助下，可以使以往繁重的、甚至手工不能实现的计算和作图变得轻松起来，我们甚至可以将一些实际的应用ｆ’口ｊ题——不是那种人为编造的、数据大大简化了的所谓应用问题引入课堂，让学生了解数学的巨大作用。数学、物理、计算机方面的ｌ’ｕｊ题都可以用数学实验的方法去解决，例如天体运动的规律、密码问题，这样能激励学生学习数学、利用数学，激发他们分析问题和解决问题的兴趣，提高分析问题和解决问题的能力。９第二章课题研究现状数学实验是顺应现代技术的发展而诞生的，在２０００年的国际数学教育大会上，与会代表认为，“信息技术”和“数学应用”Ｊ下成为数学教育改革的重点，以计算机技术为代表的“信息技术”，出现了人类历史上的第四个数学高峰㈣。２．１数学实验的历史背景著名数学大师欧拉说过“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就发现了，甚至到现在还有许多关于数的性质是我们所熟悉而不能证明的，只有观察才使我们知道这些性质【ｌ６１。”从东西方数学发展的历史来看，数学的产生始于经验数学。中国在汉代以前，数学就一直是经验数学。古代数学家刘徽的割圆法及祖冲之的冗的近似值的计算，都是通过数学实验获得的。在古希腊时期，欧几罩得几何的出现，标志着演绎数学的诞生，演绎成为近代数学的重要方法。１９３１年哥德尔“不完全性定理”的发表，让一些数学家们重新思考经验在数学发展中的作用。著名的数学家冯・诺伊曼说：“数学是一个多重现象，并且无法否认的是，数学中一些最好的灵感，甚至人们可以想象的最纯的数学中的灵感，是来自自然科学的【ｌ¨。”演绎推理、抽象和公理学方法的发明为数学发展带来了很丰硕的成果。不过，它也诱惑数学家把数学看成一门“纯演绎科学”，忘记他们的公理起初是从经验事实抽象出来的，忘记他们的演绎推理规则之所以有效是因为它们曾经在实际的人类思维实践中被检验趔塌】。数学家Ｒ．Ｖ．Ｍｉｓｅｓ说：“数学作为一个整体，和其它科学一样具有其形式化的一面和经验的一面，它不同于其他科学之处在于，这里形式的一面比任何其它地方更重要和更有决定性。数学原则中也有其经验的一面，这一个侧面不再谈论‘结论的必然性’，但在认识它的研究中也不能忽略它”。数学发展在由“经验——演绎”往复的变化之后，人们才深刻地认识到实验数学的重要意义。正如不少“实验数学”家所指出的，数学实验的历史和数学本身的历史一样悠久，数学中的许多定理都是在观察和实验罩发现的，如毕达哥拉斯定理、哥德巴赫猜想、四色猜想等。著名数学家高斯所发现的许多定理，都是从数学实验中获得的，我们可以从他的数学笔记中清楚地了解到这一点，Ｇａｕｓｓ本人对此也直言不讳。Ｇ・波利皿在《数学猜想》第一卷的“序言”中说：“在证明一个数学定理之前，你先得猜测定理的内容，在你完全做出详细证明之前，你先得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试Ｉｌ引。”数学实验是数学证明的基础、准备阶段；而证明只是实验的结果的（逻辑）检验。国际数学教育委员会（ＣＩＭＩ）成立后不久，即在１９１２年的大会上特别讨论了“中学数学教学中的直觉与实验”。２０００年的国际数学教育大会上，与会代表认为：“信息技术”和“数学应用”谓成为数学教育改革的重点。利用计算机作为工具，在数学实验中发展数学理论和改革数学教育方法。不可否认，数学的产生和发展都离不开人的实践活动，并通过实验不断地受到实践的检验。２．２数学实验的研究现状目前数学实验在国内外仍处于探索阶段。较多的是在大专院校开展的以计算机为辅助教学工具进行微积分教学、高等代数、数值分析教学的数学实验课，或将数学实验与数学建模相结合的数学实验课。如美国ＭｏｕｎｔＨｏｌｙｏｋｅＣ０１ｌｅｇｅｌ２０Ｊ在１９８９年就开设数学实验课并获得成功。结果表明相对其他学生，修过本课程的学生在实验分析和抽象代数等数学专业课程上表现的更为出色，而且学生在该课程学习中表现出极大的兴趣和创造性。一、数学实验在我国大学的开展情况“数学实验”作为一种新的数学研究方法得到广大科技工作者的欢迎。１９９５年在原国家教委组织实施的“高等教育面向２ｌ世纪教学内容和课程体系改革”计划中，“理科非数学类专业高等数学课程体系和内容改革”项目的总体构想报告，就把“数学实验”列为高校非数学类专业的数学基础课之一，～些学校积极创造条件准备付诸实施。北京航空航天大学从１９９５年开始在高等数学课程中进行ＣＡＩ试点，１９９８年清华大学、北京大学、北京师范大学共同组织了一个课题组，开出了两期数学实验课程（每期一学期）。目前，在各高校也逐步推广并逐渐发展成高等数学实验课程【２１】－【２４１。数学实验以其无法替代的功能在数学教学方面取得了可喜的成绩，许多专家、学者对大学数学实验进行了深入研究，撰写了许多学术论文，同时也积累了一定的实践经验。二、国外中学的数学实验在国外一些发达国家，“数学实验”已成为中学数学教学的一种形式，在美国的中学里有专门数学实验室，英国的数学教材中提供了许多数学实验材料。以美国的谷溪南中学（ＧｌｅｎｂｒｏｏｋＳｏｕｔｈＨｉ曲Ｓｃｈ００１）为例，相对美国各州其他中学，ＧＢＳ的数学教学很有特色，其一便是：十分重视实验、操作，重视数学与实际的联系。学校数学组设有“数学实验室”，其中包括１５个工作台和２２台微型计算机。供学生进行测试、收集数据、推测结论，撰写实验报告。例如，十年级相当我国高一，代数课的每个学习单元都有设计作业（Ｐｒｏｉｅｃｔ），要求学生研究和从事实验活动。“数学实验”教学的实施，对数学教育的内容和形式都产生了非同寻常的影响。它不但改变了什么数学是重要的，而且改变了数学的教育方法。学生能亲身经历数学问题的产生、发展的过程，许多复杂的数学概念变得易于理解；学生从繁杂的计算中摆脱出来，有充足的时间投入“问题解决”过程，真正实现在“做中学”。Ｊ下因为如此，该校数学组成绩突出，ＳＡＴ平均成绩（５５３分）明显高于全美平均成绩（４７４分），受到ＮＣＴＭ的表扬【ｚ５｜。三、各种“数学实验”课程和教学软件具有代表性的有ＭＡＴＨＥ—ＭＡＴＩＣＡ、ＭＡＰＬＥ、ＭＡＴＬＡＢ、ＭＡＴＨＣＡＤ、几何画板以及专门以数学教学实验室形式开发的图形计算机器（ＴＩ一８３或ＴＩ一９２）【２６１。我国张景中院士主持开发的“Ｚ＋Ｚ”超级画板，提供了自动推理的智能平台，除了具有传统数学软件的功能，还可以随意验证、推理所给假设的正确性，甚至还可以制作数学课件、编程等，目前在国际上处于先进水平。这一切为数学实验课的开设提供了必要的物质基础和实践准备。随着信息技术的发展，手持技术广泛应用于教学。手持技术是指可以在掌上操作运行的信息技术，主要包括掌上电脑、图形计算器、数据库、传感器等设备以及相关的网络和软件。对于中小学，手持技术主要指图形计算器以及相关的软件和附属设备。手持技术引进数学教学，为学生做数学、感悟数学提供了全新的、便捷的移动实验室，让每一个普通教室成为计算机教室，让每一个学生随时随地可以学习和探索数学成为可能【２刀。图形计算器有别于传统工具的两个重要特征是：探索功能和多重表示功能。前者使得学生在使用它时，把数学学习的过程变成了自己认识数学的过程，即在对数学的不断探索之中，建构自我的数学认识。后者使得数学的本质，即数学是关于模式的科学得到了实现的可能。图形计算器的使用，一改往同教师使用信息技术时“演示”的方式，为学生提供了更多的自主探究的机会，突出了学生在教学过程中的主体地位，为培养学生创新思维能力提供得天独厚的条件，符合新课程改革的要求【２引。四、在我国中学开展数学实验的研究分析２００１年８月在无锡马山召开的“全国数学科学方法论与数学创新教育学术交流会”上，中国社会科学院哲学所林夏水先生在《计算机实验》报告中建议，可以在中学开设数学实验。随后，在中学数学教学中开展数学实验，也成为众多一线教师的一种探索，在各类数学教学研究刊物上，不断有“数学实验”的提法。目前，中学数学实验的研究在我国还处于探索阶段，国家在北京、上海、江苏和江西等地设立了中小学数学实验课题研究基地，以此来探索和积累经验，发现中学数学实验教学的一般规律。一大批来自中学数学教学一线的专家、学者对该课题进行了卓有成效的探索和研究，并就数学实验阐述了其独到的见解。如天津实验中学的王连笑提出了数学实验的教学模式【２９】；北京四中李晋渊、刘坤《数学实验的教学价值》【３０Ｊ就数学实验的必要性、可行性进行了深入的阐述，并指出开展数学实验的指导思想及教学价值。庄明虎在《数学教学》上发表的《携数学实验进数学课堂》论述了“数学实验”是学生发现、获取知识和技能的源泉和“数学实验”是展示学生数学思想和方法，获得广泛数学活动经验的舞台。北京市十一学校确定了以学主主体参与为教学原则，在教学中让学生主动积极探索，在探索中培养学生的创造思维能力这样一个实验基调，并筹建数学实验室。我国东南沿海一些地区，如上海开展较早，但仍未深入【３¨。通过对上海市５所中学的数学教师的问卷调查，总结了数学实验的现状、数学实验的独特功能，提出了开展数学实验课题研究的若干设想。调查表明，尽管绝大部分教师认为做数学实验是必要的，但在实践中，数学实验却做得很少，平均每位教师每学年仅做１．１２次，最多的５次／学年，最少的０．０９次／学年（其中还包括演示实验）。究其背后原因有三种，“怕影响教学进度”（占总人数５０％），“自己没时间考虑”（占总人数２５％），“没有相关经验”（占总人数２０％）。可以想象，在经济落后、人才相对匮乏的西部地区，其相应情况将更不容乐观。对数学实验的念度，有２０％的教师希望由少数人对数学实验进行专门研究，然后开设培训课，推向全体教师；１０％的教师认为应该各自独立研究，然后交流各自成果；７０％的教师则认为应边学习、边讨论、边研究，然后交流成剁３２】。近几年来，中学数学课程改革力度加大，教学内容和结构变化显著，数学实验已逐渐成为不同层次数学教育的重要和基本的思想方法，并形成一种体系。《全同制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出，“在教学中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这十分有利于学生对证明的全面理解……”《普通高中数学课程标准（实验）》指出，“高中数学课程应力求通过各种形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。”数学实验Ｊ下逐步真正地走进中学数学课堂，广大数学教育工作者在实践探索中积累了一些生动的课例，尤其是以几何画板、ＴＩ图形计算器为载体的实验课例，例如２００３年编写的《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）》里，便提供了大量数学实验实例。数学实验起步在大学阶段，教学实践重点也在大学，中学数学实验教学尚处在起步和提出理论构想阶段。从已有的文献及现状来看，数学实验的研究无论是理论层面，还是实践层面，基本上停留在经验的总结与介绍，只在表层上探讨运用个别教学软件，没有从更深层面上演绎和实践数学实验教学模式，数学实验教学的功能没有得到应有的发挥。具体而言，则是：（一）研究主要涉及一般经验的介绍推广，大都涉及利用《几何画板》进行数学实验的特殊课件的技术制作及高级功能开发，总结结合数学实验进行素质教育、创新教育的经验，探讨利用《几何画板》作为教与学的认知平台开展探究性的教学模式，或如何运用建构主义教学理论开展实验教学等。（二）此研究尚处在教学实践的摸索阶段，这些研究成果与课堂教学和课程开发没有很好地同步，没有相应的配套教材，还未结合教育心理学的理论对数学实验教学进行深入研究，没有对其教学效果进行实证研究，也没有制定相应的教学评价方案；数学实验教学的研究还只属于个别地区、个别学校、个别教师的教育探索行为，在中学的课程中缺少一门这样的数学课程，它没有作为国家教育部门的研究课题，教育行政部门和学校没有对此教学形式的推广做努力。（三）没有总结和构建数学实验教学模式，为中学数学教师的教学提供全面１４和深入的理论和实践意义上的指导。虽然有些教师想歼展实验教学，但苦于没有必要的经验和指导而流于形式，数学实验教学的功能没有得到应有的发挥，而且，还有一些教师对数学实验教学的意义缺乏认识，认为数学是思维活动的科学，应该从逻辑证明中培养学生的思维能力，没有必要进行实验探究，既影响教学进度，又对学生的升学考试没有帮助。因此，为中学数学教师提供比较全面、深入的数学实验教学理论和实践模式的参考就成了研究需要，在这种情形下，研究高中数学实验的理论基础，并在实践中加以检验，进而从中积累经验，完善理论，就成为一项有意义的工作。综上所述，作为信息技术与数学教学整合的有效形式之一的数学实验，既是对我国传统数学教学辩证反思的结果，又是国际数学教育改革的共同趋势之一，也是时下我国数学课程改革的所提出的现实课题。开展数学实验的课题研究已刻不容缓。然而，现有的关于数学实验，尤其是中学数学实验的可供参考的相关资料较少。要进行一项实验，需“先立后破”，在理论和实践上都必须有所准备【３３】。结合平时实践要求，本文首先着日艮于中学数学实验的相关理论的初步探索，在此基础上，为下一步的课题研究和实验探索作好理论和实践操作上的充分的准备。第三章关键概念界定现代英语中的“实验”（ｅｘｐｅｎｍｅｎｔ；ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｔｉｏｎ），来源于拉丁语ｅｘｐ甜ｍｅｎｔｕｍ，是指人的某种尝试性或验证性活动，即任何科学实验都是有目的地获取科学事实或验证科学理论的实践活动。在中国的古代语中“实”与“验”是分开的两个独立的词。《说文解字》中讲，“实”是财富，“验”是马匹的名字，现代中国语言中的“实验”已渐渐失去了原有的意义，也具有了尝试，验证的意思。３．１科学实验所谓科学实验，就是根据研究的目的，运用一定的物质手段实验仪器、设备等，主动干预可控制研究对象，在典型环境中或特定条件下所进行的一种探索活动。实验可以从以下几个维度思考，理解、猜想和假设是实验的前提并且是实验内容的来源，检验与验证是实验的目的，外围设备是实验的工具，具体的操作是实验的外在表现【３４１。提起实验，人们总是想到物理实验、化学实验，好像实验与数学一点也挂不上钩来，数学学习只需要一张纸与一支笔就行了。其实，数学实验从数学诞生起就存在，只是没有被人们所重视。纵观数学发展史，从古埃及、巴比伦、希腊以及中国的古典数学到现代化数学都是通过实验不断发展而成（如勾股定理、概率统计）等【３５１。不少数学家也都擅长用数学实验的方法进行研究工作，如实验方法的大师高斯认为数学是一门观察的学科，他认真地为自己拟定了一个研究数论的方法程序，确定所需攻克的难题——观察和实验，即进行计算、制表、检算，通过归纳发现有待证明的定律，上升成一般的理论，利用得到的一般理论，再进行计算、观察等实验研究。然后，再通过归纳，在更高的水平上表述为更普遍的规律，发现更深刻的联系【３６１。他的这种方法，使得他在数论的研究方面取得了一系列辉煌的成就。事实上，在高斯逝世后，人们在他留下的大量的草稿中惊讶地发现，高斯经常用手工计算到小数点后二三十位数（例如开平方运算），并且很少出错。１６数学实验并不是什么新鲜事物，在Ｒ常生活中，要证实某件事情，最普通的办法就是对它进行检验、试探或实验，数学也不外如是，过去数学教学中的测量、手工操作、制作模型、实物或教具演示等形式就是数学实验的形式。章建跃等认为，数学实验这个词所表达的意思是当你的脑子中出现某种数学思想（一种想法）时，你就通过计算机去实验一下【３７１。通常这种实验足针对一些具体例子末进行的，如果你有足够多的具体例证表明你的想法的ｊＦ确性，那么就可以进一步通过逻辑推理的方法去证明它，而且证明的思想方法在很大程度上已经蕴涵在具体例证的获得过程中了。因此，设置“数学实验”，把抽象的结论寓于其中，使学生经历一个从具体到抽象的过程，对于学生理解知识是非常重要的。３．２数学实验数学实验不同于物理、化学、生物等实验，数学实验属模拟实验范畴，它所包含的思维特征，远远超过物理、生化实验。究竟什么是数学实验昵？目前为止还没有一个权威性的定义，或者说尚处于争鸣阶段，总结各家说法，大致有以下几种：一、数学实验是为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类问题，实验者运用一定的物质手段，在数学思维活动的参与下，在特定的实验环境下进行的探索、研究活动【３８】。二、数学实验是在一定的数学学习、研究、发现目标的指导下，对具有一定数学意义的实物、模型、事物，以及数字、图形、数学符号、式子、题目等，进行观察、变换、制作、演示、求解以获取感性认识和和数学信息的活动【３９１。三、数学实验是指在一定的数学思想、数学理论的指导下，经过某种预先的组织、设计，借助于一定的物质仪器和技术手段，进行数学化而不是物理化学的实际操作，包括对客观事物的数量化特性进行观察、抽样、测试、逼近、仿真等，进而解决数学和科学问题的一类科学研究方法【４０１。四、数学实验就是利用计算机系统作为实验工具，以数学理论作为实验原理，以数学素材作为实验对象，以简单的对话方式或复杂的程序方式作为实验形式，以数值计算、符号演算或图形演示等作为实验内容，以实例分析、模拟仿真、归１７纳总结等为主要实验方法，以辅助数学、辅助刖数学或做数学为实验目的，以实验报告为最终形式的上机实践活动【４１】。五、数学实验是运用各种实验工具实物模型、绘图工具、计算工具、计算机技术等，创设问题情境，引导学生自主探索、合作交流，促使学生观察Ｉ、口ｊ题、发现问题，产生归纳假设并不断尝试分析、修改、验证猜想，从而为探究问题提供认知体验和探究假说的教学活动ｆ４２】。六、数学实验是一种新的数学教学方式，它是实验者根据问题的特点和要求，经过反复思考和研究后，做出某些合理的假没、猜想，在抽象和概括的基础上建立数学模型，然后研究所建立的数学模型的方法和算法，求得结果并将结果返回到问题中去检验和解释【４３１。上述六种观点，侧重点不同，从中可以看出数学实验的本质特征都体现在借助一定的物质工具，在数学化的思维指导下，通过实际操作解决问题的数学实践【“】ｏ根据研究内容，数学实验可以分为两类，一种是结论已经确定的，可以作为教学及课外活动的数学内容；另一种是目前尚未确定结论的，可以作为科研课题进行研究。根据实验手段的不同，数学实验可分两大类，传统的数学实验和现代的数学实验。所谓传统的数学实验是指用手工的方法，利用实物模型或数学教具进行实验，从中发现或解决数学问题的一种方法。所谓现代的数学实验是指以计算机教学软件为平台，模拟实验环境，结合数学模型进行探索的新型方法。传统的数学实验多以演示实验为主，以验证结论为目的。现代的数学实验强调学生的实作与活动，允许有不同的结构与风格，在整个实验过程中，学生可以采用不同的实验程序，设计不同的实验步骤。通过数学软件或自编的程序进行自由的探索，从而发现、总结出可能存在的规律，然后加以论证。３．３数学实验与数学建模数学是研究现实中量及量之间关系的学科，是其它学科的基础。现实问题经量之抽象转化为数学问题，所得数学问题称之为现实中原问题的数学模型，抽１８象过程称之为建立数学模型，简称建模。建模的最终目的是应用数学模型的解米解决现实中的原问题。上述“建模”和“应用”合称数学建模。数学建模是通过量之抽象建立起数学与现实间的联系（桥梁），建模和应用是必不可少的步骤，完整的数学建模过程还包括求解数学模型、检验等辅助步骤（分析、建模、解模、应用、检验、总结等）。数学建模和数学实验的共性：都与实际问题的应用有着密切的联系，都与数学密不可分，它们的蓬勃发展都得益于计算机技术，都可以激发学生的创造性思维，都可以辅助学数学。数学建模和数学实验的区别：随着计算机技术的发展，数学实验越来越地依赖于计算机及数学软件，没有这些数学软件，就没有数学实验的今天。数学建模也用到计算机技术，但计算机所承担的角色不是主角，故不可过分夸大计算机在数学建模中的作用。两者的依赖程度不同。从教学目的来看，数学建模是解决实际问题，而数学实验是为了发现或验证数学结论。３．４数学实验教学数学实验教学是以“主体、探索、创新”和“数学教学是再创造再发现的教学”为基本理念，在数学教学中，通过选择和使用合适的课程材料，恰当的教学工具，先进的教学技术，组织适当的探索与操作活动，使学生在探索与操作的过程中进行观察、分析、探索、猜想和归纳的一种教学方式。第四章数学实验教学的理论基础在高中阶段实施数学实验的教学，可以在一定程度上有效促进学生的数学学习。数学实验的教学形式，突出了以学生为主体的教学思想，强调学生通过实践操作获得数学体验，创设动手操作的实验环节为学生提供积极的思维背景，这是数学实验教学的强大优势。任何教学都是依赖一定的教学模式展开，数学实验教学也不例外。以数学实验为载体，让学生们开展学习，是在借鉴科学研究方法的基础上，结合教学法特征所创造的教学方法，有其教育学和心理学依据。本论文将以建构主义学习理论、认知发生原理和问题解决理论为基础，对高中数学课程开发展开研究。４．１建构主义学习观建构主义（ｃｏｎｓｔｍｃｔｉｖｉｓｍ）是行为主义发展到认知主义以后的进一步发展，它是在吸取了众多学习理论，尤其是在杜威、皮亚杰、维果茨基思想的基础上发展和形成的，建构主义对“什么是学习活动的本质”从整体上及一定的认识论角度做出了科学的分析。他们强调学习的主动性，社会性和情境性，对学习和教学得出了许多新的见解，形成了许多流派，或者说不同的倾向。从１９９０年开始，美国乔冶大学教育学院组织了教育中的新认识论“系列研讨会”邀请建构主义学习理论领域的著名学者参加，包括ｖｏｎＧｌａｓｅｒｓｆｅｌｄ、Ｓｔｅｆｆｅ、Ｄ订ｖｅｒ、Ｃｏｂｂ、Ｓｐｉｒｏ等在讨论中出现了六种不同倾向的建构主义：激进建构主义（ｒａｄｉｃａｌｃｏｎｓｔｍｃｔｉｖｉｓｍ）、社会文化认知观点（ｓｏｃｉａｌ．ｃｕｌｎｌｒａｌｃｏ辨ｉｔｉｏｎ）、信息加工的建构主义（ｉｎｆｏｍａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ）、社会建构论（ｓｏｃｉａｌｃｏｎｓｔｍｃｔｉｖｉｓｍ）和控制系统（ｃｙｂｅｎｌｅｔｉｃｓｙｓｔｅｍ）【４５】。在数学实验过程中，学习者的各种感官的功能得以全面和谐的发挥，加速了认知进程。心理学家特瑞赤拉（Ｔｒｅｉｃｈｅｒ）【４６】的研究表明：在我们获得的知识中，通过视觉、听觉、嗅觉、触觉、味觉的获取比例分别为８３％、１１％、３．５％、１．５％、１％。这告诉我们，学习中必须同时使用视觉和听觉，因为通过它们获得的信息为９４％。在实验过程中，以往那些“死”的数学结论变得“动”起来，有力地调动了学生所有感官的参与性，真乖实现了在“做中学”。相对传统的课掌讲授，这样无形中提高了学生的记忆效果和认知层次。数学实验教学，要求学生通过高水平的思维活动来建构意义，学生要彳ｉ断思考和对各种信息进行加工转换，基于新经验与旧经验进行综合和概括去建构知识在教学设计中，教师根据所要学习的内容设计出具有思考价值、有意义的问题情境，让学生动手去实验、去思考、去尝试、去解决；同时，在实验活动过程中，教师提供一定的支持和引导，组织学生合作讨论，学生在自己提出假设的基础上加以验证筛选；以此为基础，在教师的帮助下进行提炼和概括，使学生所建构的知识更明确、更系统。在整个数学实验活动中，充分体现了数学建构主义学习的特征，即“个人体验、智力参与、自主活动”。建构主义学习理论认为学习的过程是学习者主动建构知识的过程，“学习是建构内在心理表征的过程，学习者并不是把知识从外界搬到记忆中，而是以原有的经验为基础，通过与外界的相互作用来建构新的理解”（Ｄ．Ｊ．Ｃｕｌｌｌｌｉ曲ａＩｌ，１９９１）。因此学习活动不是由教师单纯向学生传递知识，也不是学生被动地接受信息的过程，而是学生凭借原有的知识和经验，通过与外界的互动，主动地生成信息的意义的过程。建构主义学习理论对学生所学的知识也提出了新的理解，即知识不再是我们通常所认为的课本、文字、图片以及教师的板书和演示等对现实的准确表征，而只是一种理解和假设。学生们对知识的理解并不存在唯一标准，而是依据自己的经验背景，以自己的方式建构对知识的理解，对于世界的认知和赋予意义由每个人自己决定。教师要尽可能地创设有利于学习者对所学内容意义建构的教学情景，而数学实验活动的设计正是为学生创设建构环境或建构的“脚手架”，独立研究和完善的过程中能够使主体在已有知识、经验的基础上发现问题、解决问题，自己获取知识的主动建构过程，这Ｊ下是学生自己的数学。４．２认知发生原理认识论的最基本问题是就是认识的主体和客体之间的关系。皮亚杰认为，认识既不是起因于一个有自我意识的主体，也不是起因于己经形成的、会把自己烙印在主体之上的客体。认识起因于主客体之问的相互作用，而这种作用则是“通２１过活动来实现的【４８】”。作为个人的智力发展基本上重复人类祖先智力发展的主要过程或主要阶段，个人的认识过程与人类及其祖先的认识过程，在形式和内容的主要方面有相似性，这一规律即为认知发生原理。“认识论”告诉我们，人们认识一个事物，总要经过从感性认识到理性认识随个阶段，而统一和推动认识经历这两个阶段的，是社会实践，是变革现实的实践活动，“你要有知识，你就得参加变革现实的实践，你要知道梨子的滋味，你就得变革梨子，亲口吃一吃”，这罩的“活动”，Ｊ下是引导学生去吃数学味的“梨子”。１８８０年法国数学家埃尔本特曾说：数学像所有别的科学一样足一门实验科学。学生应重走人类掌握数学的历程，从直观具体的实验阶段走入抽象理论阶段。在学习数学的过程中，应促使学生尽可能地亲自去发现尽可能多的知识。荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾指出：数学常被当作已经完成了的形式理论来教，教师的任务是举例、讲解，学生的任务是模仿，唯一留给学生的活动的机会是解题，真正的数学家从来不是以这样的方式来学习数学的，他们常常凭借数学的直觉思维，做出各种猜想，然后再加以证实。认知心理学的实验，有一则对数学教学来说，是至关重要的结论。儿童最开始的对数的认识（数感），不是别的，而正是他（她）触摸、点数物体的动作经验的内化。可见，少年儿壹对于实物的点数、摆弄等动作形成的经验，对他们的数学学习是有根本性意义的。事实上，学生学习数学常常是通过发现问题，动手实践，提出猜想和验证结论来进行的。从掰手指数数到算盘珠的噼罩啪啦，从尺规作图到几何模型拆卸，从折出圆锥曲线到莫比乌丝纸带，从函数表到计算机（器）计算，从观察发现数形的规律到论证检验，从形式变量的静观想象到计算机动态模拟直观，他们己从这样的数学实践中感知了众多的数学经验，理解了基本的数学观念，甚至在实验中有了若干对他们而言的新发现。数学学习过程充满着观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动，而数学实验是其中的一种最基本的数学学习活动。数学实验体现出了数学知识感性的一面，并把数学学习从感性推向理性，让学生真切地体验如何“做数学”，如何实现数学知识的“再发现”，并从中感受数学的力量，正如波利亚所指出的那样，“学习任何东西，最好的途径足自己去发现”，作为教师，要根据学生的认知发展规律，创设利于学生发现的数学实验情境，帮助他们为理解知识而获得足够的亲身体验和感性认识。４．３问题解决理论问题足指在目标确定的情况下却不明确达到目标的途径和手段。运用自己的已有知识去成功地寻找达到目标的手段或途径的过程，就是问题解决。杜威在１９１０年出版的《我们怎样思维》一书中，提出了问题解决的五个步骤，即：在情境中感到要解决某种问题；明确要解决的疑难是什么；提出解决问题的假设；推断所定假设的内在意义；在行动中检验假设，从而解决疑难问题，取得直接途径。杜威后来把自己提出问题解决的五个步骤应用于教学过程中并形成了教学的五个步骤：儿童要有一个经验的真实情境，要有一个对活动本身感兴趣的连续活动；在这个情境内部产生一个真实的问题，作为思维的刺激物；儿童要占有知识资料，从事必要的观察，以对付这个问题；儿章必须负责一步一步地展开其所想出的解决问题的方法；儿章要有机会通过应用来检验其想法。当代美国数学家哈尔莫斯（Ｐ．Ｒ．Ｈａｌｍｏｓ）说：“问题是数学的心脏＂，而“问题解决”就是数学思维的核心，“问题解决”理论强调数学问题的重要性在于其数学思维训练的价值和潜在的对智力发展的影响。教学实践表明“数学实验”教学是体现“问题解决”教学的较好手段，让学生自己动手实验，充分尝试并通过各种途径去思考、探索，这样所获得的知识比起靠教师讲解所获得的知识要深刻得多，而且在这个过程中观察能力、探索能力、创造能力、实践操作能力等都得到了相应的发展。中学数学问题解决中数学思维的辩证运用是指在解决数学问题时，学生根据已知条件运用辩证唯物主义中的普遍联系、对立统一、量变和质变等原理思考同一种数学思维的不同思维形式之间或者不同数学思维之间的关系，以有效地组织思维，达到问题解决的目的。通过解决问题学习数学早已成为当代各国中学数学教学改革的一种指导性思想。通过问题解决教学，能激发学生学习数学的兴趣，培养学生创造性思维能力【４９】。“数学实验”教学模式不仅把问题解决作为一种数学活动，而且把它落实到数学课程中，使学生在数学课程中长期自己分析问题、解决问题、获取知识，从而达到数学知识、数学创新意识、创新能力同步增长的目的。４．４与数学实验相关的几个方面以下就与数学实验有关的几方面内容作以阐述：４．４．１数学实验与计算机辅助教学（ＣＡＩ）、信息技术与数学课程整合它们都与数学实验有关系，有一部分数学实验可借助于计算机来进行，宏观地讲这部分数学实验属于计算机辅助教学范畴，但数学实验不能等同于计算机辅助教学、信息技术与数学课程的整合，有时也可以借助于计算机以外的实际场景和实物模型来达到实验的目的，数学实验中，它需要思维的全程参与，数学是根本，思维是关键，计算机是辅助。４．４．２数学实验与数学软件数学实验，作为数学教育的手段和辅助教学方式与数学教育的现代化休戚相关，数学教育的时代性要求数学教育必须与社会的进步、数学的发展、教育科学研究的深入相适应．计算机技术的发展正在改变数学教育以及数学本身的面貌，它的发展导致了对数学教育的更高要求，也为数学教育提供了新的可能性和发展前景．其意义主要不在于为传统数学教育思想的实施提供新的工具，而是为数学教育的改革开拓了崭新的前景。数学实验对几何画板、Ｅｘｃｅｌ、ＭａＩｈｅｍａｔｉｃ、Ｍ即ｌｅ、数学实验室、图形计算器等软件的依赖越来越强烈，可以说这些软件的发展极大地促进了数学的发展。４．４．３数学实验与数学实验室物理、化学、生物有专门的实验室，计算机有独特的多媒体教室，似乎那些从来就是它们专有的，如果有条件，建立专门的数学实验室也未尝不可，至少有些设备可以与计算机学科共享，所以产生了构建数学实验室的设想，比如：２４１、多媒体型数学实验室设备：５０台电脑，５０个ＴＩ．９２图形计算器，几何画板、数学实验室、Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ、Ｍａｐｌｅ、Ｏｍｃｅ、Ｆｌａｓｈ等软件及广播教学系统。用途：建构人机交互的数学实验环境。２、实际操作型数学实验室设备：几何模型，纸，纸板，铁丝，线，美工刀，胶水，骰子等。用途：实际动手制作，培养手腩并用的能力。当然，在实际的推广中，这样的设想还要得到外部环境的支持。２５第五章开展数学实验的实践教育最直接的影响就是教师和学生的角色及其作用的根本改变。在教师的指导下，以学生为中心，课堂教学强调学生的认知主体作用，又不忽略教师的指导作用。课堂由学生自己组建，并成为交流场所，而教师所能做的就足适时的提供一个学习上的总的指导方向，必要时提供给学生一些数学思想、解题经验。开展数学实验教学，使学生在学习过程中始终处于主动探索，主动思考，主动建构的认知主体位置。５．１调查研究本人所在学校是市直属重点中学，多数学生在各方面均衡发展，成绩优异。随着课程改革的深入，为了帮助教学，更好地了解学生的知识现状、学习态度和学习兴趣，本人组织了一次关于数学学习情况的问卷调查，调查显示喜欢上数学课占９４％；考前死记公式和题型的占９％；数学习惯较好，有一定学习方法、策略的占７７％。从中可以看出，多数学生学习习惯较好，对数学学习有兴趣，但是缺乏学习的主动性，只是单纯地为解题而记忆结论，只知其然，不知其所以然。这与当前教学方式单一，忽视学生的主观能动性有一定的关系。基于此，在本实验研究中，本人尝试引进数学实验，运用信息技术手段，充分利用多媒体和网络这一强大资源，引领学生探索数学实验的过程，使我们的数学课注入活力，给予学生一个“完整的数学”，培养学生研究问题的习惯，培养“用数学的意识”，全面提高学生的数学素质。通过数学实验教学，把学生的学习积极性调动起来，课掌中充分发挥学生的主观能动性，丰富学生的学习手段，提高我们的课堂教学效率。５．２实验研究５．２．１实验假设数学实验教学能够激发学生数学学习兴趣，提高数学学习成绩，促进学生积极参与数学学习，转变对数学的认识。５．２．２实验目的探讨如何开展数学实验教学，激发学生数学学习兴趣，提高数学学习成绩，促进学生积极参与数学学习，转变对数学的认识。５．２．３实验对象根据本校的实际情况和实际工作需要，选取高二年级两个平行班级进行调查，共选取８９名学生进行调查，整个样本共计８９份。５．２．４实验变量一、自变量：控制班不运用数学实验教学方法，实验班实施数学实验教学方法。二、因变量：数学成绩起点大致相同的两个班学生数学成绩、学习兴趣和数学观等方面的变化。三、变量控制（一）实验班和控制班为同一个老师任教，同一教材，教育教学时间相同，都把前后桌同学作为一个学习小组进行合作学习。采用同一测试方法。（二）实验班和控制班的情况基本相同，智力水平、学业水平基本相同，无显著差异。把两个班的前一学期期术的考试成绩作为前测成绩，控制班和实验班的数学前测成绩没有显著差异。５．２．５实验策略开展数学实验教学，主要采取以下三点实验策略：一、营造课堂上良好的互动气氛良好的互动气氛是调动积极参与互动学习的动力源之～，具体做法是：（一）建立良好的人际关系如何建立班集体中师生之间和学生之间的关系？首先，教师要热爱学生，关２７心学生，尊重学生，建立平等友爱的师生关系。其次，教学中师生共同设立学习目标，拟订学习计划，使学生由被动学习变为主动学习，成为学习的主人。其三，要注意发扬同学之间的团结、互助、友爱的精神，开展互帮互学活动，使班级人际关系健康和谐，保证同学们在欢乐愉快的课堂气氛中互相学习。（二）Ｊ下确的教学思想与有效的调控教学过程是教师和学生的双边活动，要真正建立良好的气氛，必须有正确的教学思想做主导，正确的教学思想就是在教师主导作用下，充分调动学生的学习积极性，发挥学生的主体作用，使学生在课堂上真正成为学习的主人。有效调控是指根据教学内容，教学时间，教学中的重点难点，结合课堂气氛的实际，组织提问、讨论、归纳、总结等，这样才能形成生动活泼、热烈宽松的课堂气氛。（三）科学地处理好教材和知识的难度教师对教材和知识的难度的处理也影响课堂互动的气氛和效果。学生“听懂”、“学会”、“会学”就有兴趣，课堂气氛自然就会活跃；迷惘、困惑、听不懂、学不会，课掌气氛就会沉闷。知识过于简单，学生会感到索然无味。知识过于复杂，学生却因接受不了也提不起兴趣。所以，课堂学习的知识最好是适中，让学生“跳一跳能摘到果子”。也就是说，学生经过努力能够理解和掌握的知识，才能使他们在学习过程中产生积极的内心体验。因此，教师对教材的处理，要突出重点，分散难点，从而使学生在每一课的学习中，既有一定的知识坡度、难度，经过一定的思考又能学习掌握，这样他们在课堂学习活动中，就能保持良好的情绪状态。二、让学生主动参与课堂教学“互动＂必须“参与”，只有“参与”才能“互动”。在整个教学过程中，学生参与教学的形式可以是多种多样的，大致可分为师生谈话、分组讨论、实践活动和独立探究等。（一）师生谈话包括师生间，学生间的谈话、交流。师生间、学生间可一问一答，可讨论或争论，相互启发，相互合作，围绕着教学目标前进。这有利于学生养成思维的习惯，了解思维的过程。（二）分组讨论这是以学生分组活动为主的形式，教师在活动中要巡视、了解信息，对学生的研究给予鼓励肯定等。例如，可围绕一个问题，小组学生互相研究、分析，然后全班再进行讨论，并对小组进行评价。这有利于培养学生良好的思维品质和发展学生的数学语言。（三）实践活动这是在教师指导下，通过实验，实习等活动让学生参与的形式，在这些活动中，通过动手、动口、动脑把学生所有的感官都调动起来，是一种很有价值的参与形式，有利于学生把知以与技能结合起来，有利于发展各种能力，也有利于提高学生学习的自信心。（四）独立探究这是学生通过阅读，独立思考，操作和练习等活动进行参与的形式，是以学生活动为主，教师极少给予指导，这有利于学生独立获取新知识能力的培养。当然，让学生主动参与课堂教学还应注意把握好时机。而时机的把握，还应因课而异，例如，在概念课教学中，可让学生参与的时机大致有观察实例，抽取共性分析本质属性，从正、反两个方面弄清其内涵、外延，与其他概念间的联系与区别等。又如，在解题教学中，可不失时机让学生参与弄清问题的条件、结论，分析条件、结论及探索解决问题的办法，尝试各种可能的思路，对各种思路的评价方法、规律的归纳、概括等。还可以利用问题悬念，激发学生参与，构建问题梯度，鼓励学生参与重视数学应用，激励学生参与。三、课堂师生合作课堂师生合作是教学互动的又一必要条件，课堂教学的环境，主要是人际交往的环境。师生合作、生生合作、个体与群体的合作，是教学环境交互影响的重要变量。没有人际合作，就无法实现和谐的“教学互动’’，主要做法是：（一）组建好合作学习小组为了取得最佳的合作效果，每个合作小组应由能力不同，性格各异的学生组成，为了使学生合作成功，还必须使学生在自己的组内感到愉快，因此，组建合作小组之前，教师应该熟悉和掌握每个学生的能力，个性和他们之问的人际关系，应当要求学生表明愿意和哪些同学在一起，分组时，教师应尽可能给予考虑照顾，使每个学生都有一个好伙伴和他同组，促进小组内部有效合作。２９（二）教育学生『Ｆ确对待合作的争论合作必须有争论，争论的情景和气氛应该是合作性的，而不足竞争性的，应强调整体目标而不是个体目标。在合作气氛下，争论无所谓输赢而是互相尊重互相学习，大家在一起集思广益，充分听取每个人的意见，发挥每个人的创造性，最后在分析综合各种意见的基础上，找到解决问题的各种方法，达成学习目标。（三）师生换位引导学生充当小老师，让学生到讲台上，代替老师完成一些他们能够做到的事，如分析解题思路，总结解题方法及经验，评讲同学板书的内容，组织学生对各小组的合作学习进行评价等，这些都是促进学生参与互动式教学的有效方法。（四）及时对各小组合作的学习效果进行评价通过评价奖励，使小组成员感到他们同在“一条船”上，荣辱与共，从而在学习过程中共同协作，互相学习，取长补短，各尽其才。使学生之间做到“人人教我，我教人人’’，有效地促进小组成员互帮互学，共同提高。５．３开展数学实验活动的教学方式多年来，我国许多教师的数学教学遵循着演绎推理的模式，从公理出发或定义出发演绎数学知识。这种教学虽然可以在短时间内获得较多的知识信息，但学生只知结果，不知道过程，或热衷于一些小技巧，长期使用不利于学生的创造思维和学习主动性的培养。用数学实验手段进行数学教育的思想方法是以若干实例出发（包括学生自己设计的例子）——在计算机上或手工操作进行大量的实验——验证或发现其中可能存在的规律——提出猜想——进行证明和论证。根据这一思想方法，数学实验活动的一般步骤如下图所示：创设问题情境进行试验探索发现结论提出猜想筛选结果理论证明反思、体验、提高５．３．１．创设问题情境所谓创设情境是指教师在学生动手实验之前，给学生提供新的学习准备，在这一情境中，学生原有的数学认知结构与新学习的内容之间发生认知冲突，学习者在心理上产生学习的需要。创设情境是数学实验教学过程中的第一环节，它是实施其它各环节的首要条件。古人云：“学起于思，思源于疑”，“学贵知疑，小疑则小进，大疑则大进”，教师要引导学生进入状念。心理研究也表明：“外部刺激，当它唤起主体的情感活动时，就能在大脑皮层上形成优势兴奋中心，从而强化理解和记忆：相反，则不能唤起情感活动，主体必然对它漠不关心”。所以说，创设情境的作用是不容忽视的。创设合适的ｌ、ｕｊ题情境是引起学生对数学学习的兴趣和求知欲的有效方法。实践表明，并不是所有的情境都能引起学生的思维。数学学习中合适的问题情境，应该具备两个条件：一是要有可行性，学生有可能去思索和研究；二是要有一定的难度。这样才能使学生处于一种似乎熟悉，又一下子找不出解决问题的方法和手段之中，促使他们去思考去理解有关知识。另外，创设情境所用的时间不要太长，否则，便会“喧宾夺主”，不能完成教学任务，影响教学进程。好的问题是培养创新意识的静提，也是进行数学实验的前提，问题是怎样创设出来的昵？一是教师根据教学需要提出，如在讲指数函数性质时，就由教师提出问题：指数函数单调性与底数口有什么关系，再由学生实验。或是由学生自己提出问题，如讲Ｊ下方体截面形状问题是学生自己提出来的，教师顺势让学生动手进行实验。５．３．２．进行实验探索所谓实验探索是指教师给学生提出实验要求，学生按照教师的要求，亲自用手工或计算机完成相应的实验，努力去发现与所研究问题相关的一些数据中反映出的规律性，对实验的结果做出清楚的描述。实验探索是整个数学实验过程中的核心环节。它是在第一环节所创设的环境中展开的，对创设情境和提出猜想两大环节起到承上启下的作用。学生通过“做数学＂来学习数学，在完成任务过程中，使抽象的数学知识具体化，复杂的问题简单化，一般的问题特殊化，肤浅的问题深入化。这样做有利于学生以一个研究者的姿态，在“实验空间”中观察现象，发现问题，解决问题。此外，实验探索能够使学生直观地理解其内在规律，在教师的指导下，通过观察、实验去获取感性认识，培养数学情感和想象力、解决实际问题的能力及严谨的科学态度。３】在操作宴验的过程中，学生要严格按｝｝｛｛教师提出的要求，充分发挥主体作用，主动参与发现、探究、认知和知识建构，积极地向教师虚心学习，依靠实验工具认真钻研。另一方面，教师不能只作为一个“旁观者＂，必须充分发挥其主导作用。在实验过程中．教师要引导学生从具体的数学事实出发，亲自去发现问题，亲自去解决问题，从而，通过亲身体验获得数学知识。此外，救师要对操作过程不合乎实验要求的学生及时加咀正确引导。教师要掌握好实验时ｎＩＪ，对个别能力差的学生实行个别指导，遵循阅村施救的原则。在实验探索中学生利用计算机诛件、计算器、尺舰作图，数据演算，或自制学具进行实验探索，中要采取独立思考与小组合作方式结合进行。如在探索抛物线焦点弦性质时，利用《几何画板》实验：对二项式定理的猜想足数据演算实验；对指数函数单蒯性是计算器空验；对三角函数的图象与性质的研究中使用图形计算器等。５．３．３．发现结论，提出猜想所谓提出猜想是在理解了所学习、谋题后，通过实验、观察、计算、分析等各种途径和手段，根据己有的信息或者新得到的信息，提出解次课题的假说。提出猜想是数学实验过程中的重要环节，是实验的高潮阶段。猜想是在动手实验的环节中产生的，是根据实验现象和规律提出的。它是数学实验的教学目标实现程度的体现，是实验是否成功的关键环节。猜想是发现和创新的关键一步。波利亚曾经这样高度评价猜想的作用：仅仅把数学视为一门论证科学的看法是偏颇的．论证推理（即证明）只是数学家的创造性工作成果，而要得到这个成果则必须通过猜想。猜想的提出往往依赖于人们的直觉思维．直觉思维有时也被认为是一种灵感。要产生灵感，除了必须具有一定的数学修养外，还应该对面临的问题宵比较深剿的理解。另一方面，猜想是根据实验中总结出的规律而提出的，不能凭主观的臆断而随意“乱猜”，要台乎实际，接近事实。学生通过实验探索，可以猜想和发现很多结论。例如，关于指数函数的性质，课本中给出了三个结论，而学生发现了七个结论；在习题课《抛物线焦点弦的性３２质》中，学生通过动手做实验找到了许多关于抛物线的性质。在教学中教师要鼓励学生大胆提出猜想，大胆发现结论。５．３．４．筛选结果，理论证明恩格斯说过：“单凭观察所得经验，是决不能充分证明必然性的”。“数学并不停止于实验，而必须把它与理性的解释结合起来，在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种理论？这些事实能否被纳入某个统一的数学结构？”所谓理论证明是指在提出猜想之后，一般要用实验的方法、演绎的方法或举反例的方法来检验猜想的正确性。理论证明是数学实验中不可缺少的一个环节，它是我们获得正确结论的关键步骤，是对数学实验成功与否的判断。猜想可能是正确的，也可能是错误的。学生凭直觉思维提出的猜想，可能有三种情况：（１）既不能肯定，也不能否定；（２）知道猜想是正确的，但无法严格证明；（３）知道猜想是不正确的，但举不出反例予以否定。这时，教师要满腔热情地帮助学生证明猜想或举出反例否定猜想。大胆猜想与严格证明必须结合起来，使数学的严谨性与思维的深刻性得以体现【５０１。５．３．５．反思、体验、提高反思与体验是开展数学实验教学必不可少的环节，把实验和反思结合起来凸现了数学知识的形成过程。让学生们交流他们的研究结果可以为其他人提供问问题、检验实验数据、找出错误的推理、找出实验数据所不能证明的表述以及根据同一观察现象提出其他不同解释的机会。交流结果能够引出新问题，或者加强在实验数据与已有的科学知识以及学生提出的解释之问已有的联系。结果是学生们能够解决交流中遇到的矛盾，进一步确定以实验数据为基础的论证方法。在这一环节中，学生首先写出自己的结论，通过发言，提问、总结等多种机会培养学生的数学思维的条理性，鼓励学生把自己的探究过程，思维过程和提出结论的理由流畅地描述出来。学生互相质疑、释疑，不仅利于结论的进一步推广，而且学生对实验设计和实验过程以及实验现象进行反思，修正与完善学生的自我探究程序，提高学生的探究能力，同时数学思维能力和语言表达能力也得到了发展【５¨。对于一节实验课的最终结果不应该仅仅是解决Ｉ、ｕｊ题，而重要的是发展问题，同时要注意引导学生总结有规律性的结论与解法，还要引导学生反思，把所探索的问题引向深入。例如，研究关于抛物线焦点弦中点性质实验时，就可以由学生总结出有关性质。５．４实验中的案例分析创设一个数学实验的情境，使得学生可以在这个情境下，最大限度地发挥自己的主观能动性，发挥自己的创造性，像真Ｊ下的数学家那样去尝试数学的发现发明，从而获得发明创造的体验，感受发明创造的乐趣。教学中，教师运用教学智慧将数学定理的发现过程作为重点，把课本上缺失的探索过程弥补出来，也就是“还原数学创造的本来面目”。５．４．１解题教学传统的解题教学并不总是很成功的。它存在着一个大的弊病是对“解题术”给予的重视太多，而对问题求解的思维过程重视得不够，不是作为生动活泼的思维训练去做，而是作为对教师总结出的现成的套路去强化训练。传统教学的另一个缺陷是对探索开放性的问题的忽视，这恰好是学习的一大难点。突破这一难点的基本手段就是充分揭示解题的思维过程，采用计算机辅助数学实验教学就可以很好地体现这一过程。课例１．抛物线焦点弦的性质一、教学目标（一）使学生在亲身实验的基础上，进一步了解抛物线焦点弦的一些常见性质；（二）培养学生的主体参与意识，激发学生学习数学的兴趣。二、教学重点、难点使学生掌握运用观察——发现——猜想——论证的方法分析数学问题。三、教学过程（一）创设问题情境提问：如图ｌ，抛物线Ｊ，２＝２∥（ｐ＞ｏ）焦点弦两端点Ａ、Ｂ的横纵坐标有什么性质？叫Ｉ—２∥ｔＰ卿一廿碑／。／。。尹．●Ｈ∞＜１－１∞７∞Ｄ义’说明：巩固旧知，引出新课。（二）进行实验探索实验１：关于抛物线焦点弦两端点在准线上射影的研究；（教师进一步说明实验题目）说明：将数学教室变为数学实验室。让学生在自己动手进行实验的基础上，了解抛物线焦点弦的一些常见性质。（如图２）学生两人一组利用《几何画板》的移动、作图、度量功能动手实验，并在讨论的基础上对实验结果加以描述，提出猜想。利用多媒体教学管理软件对学生实使学生成为学习的主体，让学习过程成为实验探索的过程。同时，通过小组合作培养了学生的团队精神，这是互惠式的学习。（三）发现结论，提出猜想，筛选结果，理论证明组织学生小组进行交流（利用“屏幕转播”功能，将学生实验情况反馈在大屏幕上）；让学生对猜想进行证明（用摄像头将学生证明过程投影在大屏幕上），并请学生加以说明。生Ａ：连结ＣＦ，ＤＦ，通过度量么ＣＦＤ得知ＣＦ上ＤＦ．Ｈ生Ｂ：连结ＡＤ，ＢＣ，分别度量ｃＯ和ＯＢ的长度，，＝私巾砷又度量了ＢＣ的长度，发现ＣＯ＋ＯＢ＝ＣＢ，说明Ｂ、。／。，△～Ｏ１（四）实验２：关于抛物线焦点弦中点到准线垂线段■ｌ＇．＇§Ｏ＿的研究。ｋ说明：本实验可供发现的结论较多，能够充分调动陶：３下面继续研究抛物线焦点弦的其他性质。验情况进行监控，针对实验中出现的问题加以指导。让学生主动参与课堂教学，０、Ｃ三点共线（证明略）。学生实验的积极性。（如图３）各组同学均有所发现。如：组ｌ发现Ｋ为ＲＮ的中点，么ＡＲＢ为直角，ＲＮ＝上ＡＢ；２组２发现了以ＡＢ为直径的圆与准线相切，ＲＦ上ＡＢ；充分调动学生学习的积极性，让学生去猜想去实验去发现，在交流的基础上开拓学生思维的创新性。（五）反思、体验、提高这节课大家利用《几何画板》进行了一次又一次的数学实验。在实验过程中，观察——实验——猜想——证明抛物线焦点弦的一些常见性质，进一步体会了数学实验从变化中抽象出不变的本质。完善认知结构，达成意义建构。四、实验结果及分析针对《抛物线焦点弦的性质》这节课，组织学生进行了反馈调查。通过调查问卷的数据统计（见附录１），学生们体验数学实验教学方法的新颖性、生动性，在激发学习兴趣、促进主动的探究学习等方面给予了肯定，但由于操作计算机进行数学实验，有的学生对所使用的《几何画板》软件不熟悉，因而给他们的探究学习带来了一些障碍。因此教师在设计课程时应多考虑学生的情况，提自订让学生多熟悉《几何画板》的使用，使学生能够达到熟练运用的程度，在此基础上再进行数学实验课，学生们的探究学习效果会更好一些。通过调查问卷的数据统计，我们看到学生们对课章上师生互动、生生互动是非常重视的。因此教师在课堂上应充分利用网络的交互性，将学生的实验界面展示在“大屏幕”上，使之能够与全班同学进行交流，同时进一步创建生生之间的交流环境，即建立一个便于学生的网上交流讨论的平台。从实验培养学生的数学能力和建构知识的过程来评价，绝大部分学生不但学会了一种研究问题的方法，而且在实验的过程中体会到了数学问题解决的乐趣。他们不仅掌握了自己力所能及的知识，而且在研究探索问题的起源和发展过程中，体验到了创造的快乐。有些同学对自己的认识深信不疑，甚至在课后总结中写到“我真是个天才！”“用我的方法绝对０Ｋ！＂“我自己举的例子可以用我的方法来解决”。有些学生则对变式问题的错误答案归因于：“我认为这个软件的绘图功能还有待完善”等等。尽管他们的方法是片面的和只具有一定范围内的正确性，可是从这些话语中可以体会到这次实验给他们带来的各方面的自信与喜悦，也可以从中感受到学生在实验形式的学习罩所获得的不仅仅是知识，更重要的是获得了影响了他们对数学学习的信念。让他们了解到数学还有这样有意义的、对自己影响如此之深的学习方法。实验教学打破了传统教学强调学生接受学习、死记硬背、机械训练的状况，选择“现实的、有意义的、富有挑战的”课题，引导学生通过动手实验，自己提出问题，给学生充分的从事探索的时Ｉ、日Ｊ和思路，并有机会分享自己和他人的想法，在亲身体验、探索、交流中理解和掌握基本的数学知识、技能和方法。学生甲是个学优生，头脑灵活，在数学实验课上将自己的思路讲给小组其他同学，与同学一起分享数学学习的快乐。数学学习变成了学生的主体性、能动性、独立性不断生成、弘扬、发展、提升的过程，促进了学生动手实践、自主探索与合作交流。实验教学为学生创设了开放的教学情境，以提出问题和解决问题为中心，激发了学生学习数学的兴趣，启发思维，激起学生的好奇心、发现欲，诱发质疑、猜想，让学生在有效的时间和空间内形成和发展问题意识，提出问题。这种问题意识的培养不仅有利于学生的学习方式从接受式向活动式、从模仿性向探究性转变，而且有利于学生主动建构数学知识【５２１。从而培养学生开拓进取、勇于探索的精神。学生乙的数学学习属于中等水平，通过数学实验课的学习，转变了他的学习态度，由被动接受学习逐步地向自主学习转化，能够主动提出问题，并积极探索。学生在实验情境中的“做”中学，对知识形成过程，对问题发现、解决、引申、变换等过程的实验模拟和探索，可激发学习动机，有助于深刻理解知识，有助于形成证明的基础平台和对逻辑演绎证明的本质把握。而且，这种实验式的教和学拓宽了学生的思维活动空间，使他们的思维更有深刻性和批判性。同时突出了学生作为计算机“主人”的地位，他们的创造性思维得到了充分发展，从而得出了许多新的结论和新的猜想。在实验过程中，他们会遇到或提出一些仅凭高中数学知识无法加以解决的问题，这为他们打下了进一步深入学习的基础，更为重要的是这体现了学生从维持性学习走向研究性学习，从而走向自主创新性学习的转变和进步。学生丙对数学学习缺少兴趣，成绩一直不理想。在数学实验课的动手操作环节使他改变了“数学是枯燥乏味的”想法，开始喜欢上数学课了。通过３７计算机，师生共同营造出～个开放的活动空间，学生在民主、平等、和谐的学习气氛中积极动口、动手、动脑，参与到深层次的探索活动中。数学实验教学转变了学生的学习方式，实践表明，学生根据教师设计的宽广的实验平台，选定学习内容或解决某类问题，用实验的手段获得数学数据。整个实验过程由学生自己在动手操作，真Ｊ下做到了在“做数学”中学习数学。在实验中，学生有了创新的空间，任由他的思维去触及知识的极限。这样在亲自实验、自主探索中发现Ｉ、ｕＪ题、解决问题，学生不再是被动的接受知识，他们真ｉＦ地成为了学习的主人。五、教学后记这个实验的目的是让学生通过观察、测量、计算等活动，归纳、类比、概括等思维方式来建立具有一定层次结构的数学思维方式。当数学学习的内容具有一定的实践认识结构或层次时，通过对数学知识形成的背景分析，思考学生理解和建立数学规律的一般心理机制，借鉴成功实验示例的设计方法，通过分析和总结，进行精心的系统设计，使学生在问题的引导下，通过对数学实验材料的数学化操作，从中不断深化认识，扩展思维，进而激发推广结论，证明结论的愿望和实施具体操作的急切心情。这种实验一般都是以实验课的形式，在数学实验室中利用计算机的数值计算、精确定位、动态绘图等功能，按照实施实验报告中的步骤，最终完成实验报告来实现的。中学数学中很多知识都有一定的规律和推广的潜力，这些知识或问题在精心的设计下大部分可以通过实验的方式来学习获得。如一些问题在限定或放宽某些条件下，通过对其结论的变与不变性的探索和建构，从而得出更具有一般意义下的规律和法则等，都可以开发成为数学实验课。这种实验设计通常从某种数学原理出发，又回到这～数学原理。实验的最终目的是使学生在应用这个规则结论时，对不同条件变化下的应用规律和易于疏忽的地方清晰明朗，真正意义上通过“探索”达到“建构”数学知识的目的。数学实验室的教学模式充分调动学生学习数学的兴趣，让学生成为学习的主体去探索、去猜想、去发现，从而使数学教学成为了再发现、再创造的过程。学生主动参与课堂教学，既有分组讨论，又有学生独立探究，并且由于采用了小组合作实验的方式，发挥了学生群体力量，这是一种互惠式的学习，提高学生分析问题解决问题的能力。通过实验教学可以看到，教师不再足单一的数学知识的传授者，而是数学学习活动的组织者、引导者和合作者。从课件的选材、制作、问题情境的创设、探索成果的交流，教师都经过精心设计，组织学生营造和保持学习过程中的积极的心理氛围、活泼的参与气氛，真Ｊ下成为学生学习的引导者和合作者。在教学过程中学生的某些实验结论可能是老师备课时没有发现的。因此，采用这种教学模式对于老师也是一种促进，可以起到教学相长的作用。５．４．２概念教学在中学数学教学中，概念教学是重要的，也是困难的。造成概念教学困难的原因是多方面的。首先是对它的重视程度不够。在当前应试教育的体制下，对解题教学的重视远远超过概念教学，用于解题训练的时间与精力远远多于对数学概念形成过程的剖析。另一方面，学生缺乏必要的抽象概念的思维过程。而传统教学在讲授概念时一个难以克服的困难是学生缺乏足够的活动与实验，教师往往用自己的演讲代替了学生自身的“建构”过程。在课掌上提供的思维材料十分贫乏。在概念教学中应充分调动学生头脑中相关的知识经验，促使学生主动参与对常识材料进行探幽入微的探究性活动，在探究中丰富由自发性概念向科学概念发展过程中的体验，把概念学习变为学数学、做数学、用数学的过程，使学生在学、做、用的过程中，把握概念的本质特征，构建概念的恰当的心理表征【５３】。利用计算机辅助数学实验教学恰恰可以弥补这一缺陷，它便于创设富于启发性的教学情景，在改进数学概念教学方面有着巨大的潜力。在《指数函数及其性质》一节课中，实验班开展了数学实验探索，在数学活动中，引导学生探究指数函数性质。在这个环节中，教师组织学生进行两个数学活动。为了能够对更多的不同底数的指数函数进行研究，教师为学生提供了实验工具：计算器。以便于学生数值计算。并要求学生分小组设计实验方案。有的小组的方案是这样的：令口＝１．５，并给出一组ｘ值，利用计算器计算出相应的ｙ值，然后描点作图，观察图像得到函数．），＝１．５。的单调性；再令口＝３，以＝０．６……观察图像得到ｙ＝３。，ｙ＝Ｏ．６。……的单调性。从而归纳出指数函数少＝口。似＞Ｏ且口≠１）的单调性的性质。而有的小组的方案又是这样的：令口＝１．５，并给出一组ｘ值，利用计算器计算出相应的ｙ值，他们没有直接作图，而是观察数据的变化，由函数单调性的定义得到函数ｙ＝１．５。的单调性；再令口＝３，口＝Ｏ．６……观察数据的变化得到Ｊ，＝３。，ｙ＝Ｏ．６。……的单调性。从而归纳出指数函数ｙ＝口。（以＞Ｏ且口≠１）的单调性的性质。显然，第二个方案优于第一个方案。首先，方案二体现了这组同学对函数概念理解更深刻，其次，他们能提供更充足的实验数据。通过此实验，学生们探究了ｙ＝口。（日＞０且口≠１）的单调性，并对函数的有关概念有了更深刻的理解。数学教学是再创造、再发现的教学，同时也是启发与探究的教学。在教学中要通过每节课点点滴滴的培养，使学生的创造性思维得以发展，本节课通过探究活动，由对指数函数性质的探究激发学生创造性思维的火花，引导学生对指数函数问题的深入理解。这节课是师生合作、生生合作、个体与群体合作的一个典型课例，实现和谐的“教学互动”，和探索的兴趣。课例２椭圆和双曲线的构造实验教学设计一、教学目标：（一）复习巩固椭圆的第一定义；（二）复习巩固双曲线的第一定义，理解双曲线“两支”之间的联系与区别；（三）通过椭圆轨迹的探求与构造实验，进一步理解椭圆的第一定义；（四）通过双曲线轨迹的探求与构造实验，进一步理解双曲线的第一定义；帮助学生形成正确的概念，培养学生动手操作（五）通过问题——平面内过定点Ｍ，且与定圆圆Ｐ相切的圆的圆心Ｑ的轨迹——探究与构造，深入沟通椭圆与双曲线之间第一定义的区别与联系。二、实验内容及重点、难点分析（一）实验内容分析本次实验是在学生学习完椭圆和双曲线的概念之后，为了进一步突破学生对概念的理解而设计的；４０（二）实验重、难点分析重点是通过实验复习巩固椭圆和双曲线的第一定义；难点是通过实验深刻理解椭圆和双曲线第一定义之问的联系。三、实验准备与要求（一）必要的课堂练习本、作图工具、笔；（二）打开老师做好的实验课件，动手实验，探究轨迹，体会其原理。关闭几何画板文件时请选择“不存”。四、实验过程与内容（一）复习引入椭圆与双曲线的第一定义是怎样的？点击下面的链接打开相应的《几何画板》课件帮助复习，并思考其中提出的问题：（１）椭圆的第～定义是什么？（２）双曲线的第一定义是什么？教师提问，引导学生根据实验操作复习旧知识。学生根据实验操作复习旧知识，并用自己的语言概括出椭圆与双曲线的第一定义（提出问题，引发学生的回忆；动画操作或演示，促进学生直观理解概念；进而用自己的语言概括出问题的答案）（二）实验探究实验一：点Ｍ为圆Ｐ内不同于圆心Ｐ的定点，过点Ｍ作圆Ｑ与圆Ｐ相切，通过实验探究圆心Ｑ的轨迹。实验二：点Ｑ为圆Ｐ外的定点，过点Ｑ作圆Ｍ与圆Ｐ相切，通过实验探究圆心Ｍ的轨迹。实验三：点Ｑ为圆Ｐ外的定点，过点Ｑ作圆Ｍ与圆Ｐ相外切，通过实验探究圆心Ｍ的轨迹。实验四：点Ｑ为圆Ｐ外的定点，过点Ｑ作圆Ｍ与圆Ｐ相内切，通过实验探究圆心Ｍ的轨迹。实验五：点Ｍ为平面内不同于点Ｐ的定点，过点Ｍ作圆Ｑ与圆Ｐ相切，通过实验探索圆心Ｑ的轨迹。教师引导学生按以下步骤进行实验：１．拖动点Ｄ或者双击动画按钮，观察点Ｍ的运动规律，试着猜想点Ｍ的轨迹是什么？４１２．选择点Ｍ右键设置为追踪点，再次拖动点Ｄ或者双击动矾按钮，观察点Ｍ的运动规律，现在你知道点Ｍ的运动规律，试着猜想点Ｍ的轨迹足什么？３．选择点Ｍ右键设置为追踪点，再次拖动点Ｄ或者双击动画按钮，观察点Ｍ的运动规律，现在你知道点Ｍ的轨迹是什么了吗？４．按住ｓｈｉＲ键同时先选中点Ｄ再选中点Ｍ，点击鼠标右键“作图”、“轨迹”进一步思考，为什么？可以小组合作，共同探讨。（实验课件用几何画板设计制作，便于学生主动探究、发现）５．实验拓展与相关链接：椭圆几何作法；椭圆双曲线几何性质；椭圆新作法；椭圆第二定义；双曲线第二定义；椭圆的作法及性质拓展；国外相关数学网站。（三）实验结果展示汇报，教师引导学生展示自己的实验成果（四）拓展应用１．已知一动圆Ｐ与两定圆Ｏ：：（ｘ一３）２＋＠一２）２＝９，０２：（ｘ＋１）２÷◇一２）２＝矽ｈ切，试探求动圆圆心Ｐ的轨迹方程。２．已知一动圆Ｐ与一定圆０：；（ｘ＋互）２÷ｙ２＝ｌ外切，与另一个定圆Ｏ：：（ｘ—１）２＋ｙ２＝９内切，试探求动圆圆心Ｐ的轨迹方程。五、教学后记数学实验缩短了学生和数学之间的距离，数学变得亲近了。通过实验，学生可以理解数学问题的来龙去脉，以及发现、分析和解决过程，从感觉到理解，从意会到表述，从具体到抽象，从说明到证明，一切可在眼前发生，数学的抽象变得易于理解，数学的严谨变得合情合理，学生对数学学习的兴趣大大提高。教师在教学过程中的角色变化了，工作方式变化了。着重体现在：从知识的传授者变成数学学习活动的组织者与教学情景的设计师，从个体的手工业劳动者变成信息社会教师团队中的一员，大量的重复性工作将被更富创造性的劳动所替代，更多地利用信息技术提供的教育资源，同时又努力在此基础上进行再创造。这些不但需要教师掌握一定的现代教育技术，而且更需要有现代的教育观念，坚实的数学功底和精湛的教育艺术。显然，现代教育技术对教师提出了更高的要求。４２５．４．３理论教学对于理论的学习，学生往往觉得空洞甚至而会觉得“不切合实际”，因而失去学习兴趣，不管其中缘由，只顾记住结论了事，这显然是与我们倡导的“过程”教学观是相违背的。我们不妨把计算机技术与数学实验相结合，将理论化的知识具体化，将“静”的理论变成“动”的图形，让学生了解数学理论产生的过程和基础，增进学生对知识的理解。课例３．欧拉公式的发现一、教学目标：以多面体欧拉公式的探索、发现、证明及应用为载体，激发学生学习数学的兴趣，培养学生发现问题、探索问题、归纳总结的能力，增强创新意识。二、教学重点、难点：教学重点：欧拉公式的发现过程；教学难点：组织全班同学有效积极、主动地参与欧拉公式的探索、发现及应用等教学活动。三、教学过程：（一）教学前期准备本课是研究性课题，它的教学重在过程，重在研究，而不是结论。要让学生有效地、积极地、主动地参与探索过程，就要改革当前课堂教学的习惯模式。为了达到预期目标，在课前需要做好充分准备：首先，将全班学生分成若干组，每组６．８人，由有责任心、组织能力强、基础知识较好的同学牵头，在讨论中发扬协作精神，进行研究；其次，课前让同学们以组为单位，自己动手制作一些凸多面体、凹多面体模型，这样既可以培养学生的动手能力，又可以在课常教学中，让同学们利用手中的模型，更加直观地进行研究，有助于化解难点。（二）课堂实录师：上节课我们一起学习的多面体和Ｊ下多面体，请看大屏幕。（创设问题情境）同学们会发现这些多面体有许多不同之处。比如，它们的形状各不相同，这里有凸多面体，也有凹多面体：有一般的多面体，也有正多面体。再比如，它们的顶点数、面数、棱数各不相同。但同学们是否思考过，在这些不同之中蕴藏着哪些相同之处？是否蕴藏着某些共同的规律？曾经有一位著名的数学家——欧４三ｌ拉，他就探索、发现并证明了这样一个规律，即欧拉公式。同学们，你们知道吗，作为一名数学家，其探索发现数学问题是一个非常艰辛的过程，但当他获得成功后的那种喜悦，同样是一般人无法体会到的。你们想不想做一个数学家，想不想亲身体验一下这其中的艰辛和喜悦。今天，我就给大家一个机会，让我们沿着欧拉当年的足迹，来共同探索和发现这个公式。◇◎＠◇匐说明：以此方法引入新课，使学生在课堂教学的一开始就充满好奇，马上进入兴奋状态，个个跃跃欲试。师：下面请同学们以小组为单位，采用小组合作的学习方式，来共同探索以下问题。（进行实验探索）研究问题ｌ：计算图４中各多面体的顶点数Ｖ、面数Ｆ和棱数Ｅ。生：以小组为单位共同探索，填写实验报告，并派代表汇报其研究成果。备注：在学生讨论过程中，数多面体的棱数是个难点。教师应引导学生学会计算棱数的方法，并为后面解决其他问题作一个铺垫。研究问题２：什么样的多面体具有性质Ｖ＋Ｆ．Ｅ＝２７（发现结论，提出猜想）生：发现有些多面体的表面可以变为一个球面，有些可以变为一个环面，也有些可以变为两个对接的球。师：（利用计算机演示其变化过程，给学生一个更为直观深刻的印象）给出简单多面体的定义。生：发现只有简单多面体才满足欧拉公式。师：小结。研究问题３：利用欧拉公式分析解决以下问题。（反思、体验、提高）４４１９９６年的诺贝尔化学奖授予对发现ｃ６０有重大贞献的＝三位科学家。如图５，ｃ６０是山６０个原子组成的分子，它结构为简睢多面体形状。这个多面体有６０个顶点，从每个顶点都引出３条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种。计算ｃ６０分子中形状为血边形和六边形的面各有多少？生：以小组为单位，得出结｜仑。说明：教师应注意引导，而小是包办研究过纠ｊ程。教学形式廊为教师引导——学牛讨论——再引导——再讨论，直芷共同小结。在讨论之后，要注重成果的展示、受流和评估，不断为学生的探究活动提供新的动力。师：小结。本节课『可学们以小组合作学习的方式，共俐探索发现ｒ欧拉公式。通过这堂课的学习，进一步培养丁同学们发现问题、探索问题、归纳总结的能力，希望同学们将这竹课中好的学习方法，好的学习品质带到我们今后的学习中，我相信『哪学们一定会取得更大的成绩！研究问题４（课外研究问题）：如何证明欧拉公式？（筛选结果，理论证明）说明：学习不能只停留于课上，而应延伸到课外，更应讲好的学习精神和学习方法一般能够用到今后的各科学习中，这才是率节课的最终目的。四、教学后记从认识论的角度理解，这种实验进一步扩大了实验主体在认识过程中的作用，主要体现在认识主体选择、确定带有主观色彩的认识方法上。把数学实验看作是在一个完整的数学教学系统中进行，更能合理地解释这种实验方法对数学教学的重要性。数学研究对象是学生主观选择的结果，有助于学生主观能动作用在学习中的发挥。这个数学实验，不仅使学生在探索和猜想的过程中找到了自信，而且也有兴趣来学习这个只需知道结论的数学公式。学生对抽象的证明也有了形象的载体，为其中的数学推理铺平了道路。在数学教学过程中，知识的传授不应只是教师单纯地讲解与学生简单模仿，问题通过数学活动让学生经历知识的形成与应用的过程，从而使学生更好地理解、建构知识的意义，掌握必要的技能，发展应用数学的意识，增强学数学的愿望与信心。课堂教学中，让学生经历探索与交流的活动，自主地得出欧拉公式的结论。这样，他们所学到的知识是真正属于他们自己的，而不是别人强加给他们的。在设置问题中，引导学生观察，思考、猜想、实验、探索与交流等，让学生经历探索的过程，并进行适度的练习，从而发展学生的发现问题、分析问题、解决问题的能力，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。在数学活动中，教师有意识地引导学生“你是怎么做的，说说你的理由”；“与同伴交流一下你为什么这样考虑”；“在学习过程中你有哪些收获”；“还有什么疑问”。鼓励学生自主探索与合作交流。学生通过这样的数学活动，不仅主动地获取了知识，而且在活动过程中产生了积极的学习情感，也为以后学习提供了强大的动力。问题设置，注意了不同层次的学习兴趣，有利于满足不同层次同学学习需要，培养创新意识，激发学生的好奇心，提高学习兴趣。５．５实验结果与实验结论５．５．１实验结果近一年来，本人采用比较教学的方式，对实验前后两个班级进行了对照。通过对实验前、后学生两次期末考试的成绩进行统计、对比，发现学生成绩差异较大，对照结果如下附表。实验采用独立样本的Ｚ检验对实验结果进行统计分析。对于两个班级的平均成绩进行显著性检验，实验班和控制班在测试平均成绩上有显著差异，实验班级的成绩明显要好于控制班级的成绩。这也就说明运用数学实验教学有助于提高数学学习成绩。表１学生综合实验柃测统计表检测时间实验前期检测实验班班次（２班）Ｎ４４实验后期榆测实验班（２班）４４对比班（１班）４５对比班（１班）４５叉Ｓ８２．６９８２．８５９０．８ｌ８８．６４７３１．７１６８２．３３５０３．２８５１６．４０显著性检验Ｚ＝１．０９ｐ＞０．０５Ｚ＝２．５ｐ＜Ｏ．０５表２实验后测数学成绩分类分析表概念３０％文验班班次（２班）Ｎ４４画图１０％文验班（２班）４４计算４０％实验班（２班）４４探索２０％实验班（２班）４４对比班（１班）４５对比班（１班）４５对比班（１班）４５对比班（１班）４５●●Ｘ２８．７２７．８８．５８．６３６．８３７．４１６．８１４．８Ｓ４５．４４６．０５．１５．２８０．７８１。８２０．２２０．４显著性Ｚ＝２．７２ｐ＜０．０１Ｚ＝０．２８ｐ＞０．０５Ｚ＝０．２６ｐ＞Ｏ．０５Ｚ：２．５ｌｐ＜０．０５检验分析调查数据，可以看到：（一）在概念理解上实验教学明显优化于传统教学。实验教学中，对于教学中比较抽象的难点予以直观化、动态化，并且是自己动手“做数学”而得到的，达到了一定的教学效果。（二）实验教学班对于探索性问题的解答优于未进行实验教学的班级，对探索的问题除了解题的知识外，很重要的是解题的策略，实验是对问题进行探讨、互相进行协作和启发，数学实验过程中学生互相之间的讨论以及对新学知识的反思，有助于发展学生的元认识技能。（三）对于画图题和计算题而言，实验教学与传统的教学没有差异，这一点正是４７过分强调计算机处理图像与计算的优势，忽视了学生动手画图、计算的机会和能力的培养。（四）除对各种成绩测试外，还对学生的其它方面做了调查，学生的动手能力和提出问题的能力有一定的提高。自学能力、创新能力得到提高。这Ｊ下是当代数学教育所要求的。“数学实验”教学的开展Ｊ下好实现了这个目标。（五）通过“数学实验”教学的实践，教师的认识提高了。原来担心“数学实验’’教学花时间较多，怕影响其教学进度与质量的教师没有了。这一部分教师与坚持开展“数学实验”教学的教师形成了共谚｛，恰当的“数学实验”教学对学生的Ｊ下常学习是没有影响的，相反，它不仅能提高学生学习数学的兴趣、激发学生的学习热情，而且能提高教学的深度与广度，有利于学生分析问题与解决问题能力的培养。通过“数学实验”教学，教师之间合作、交流增多了，形成了一种教研教改的热潮，增强了教师之间的凝聚力通过“数学实验”教学，教师们应用现代信息技术的能力得到了提高。总之，“数学实验”教学改变了教师的教育观念，促进了教师的成长。参考西南师范大学硕士唐街平的数学学习兴趣度诊断量表、学生参与问卷，本人对两个班的学生进行了学习情况问卷调查，结果如下表３。表３学生数学学习情况问卷调查结果学习兴趣实验班班次（２班）Ｎ４４参与度对比班（１班）４５实验班（２班）４４对比班（１班）４５一Ｘ８４．４７６．８８５．４６４．７Ｓ１２．３１４．３１１．８２３．１显著性榆验Ｚ＝３．２１ｐ＜Ｏ．ＯｌＺ＝６．３５ｐ＜Ｏ．０１两个班数学学习兴趣测验平均分的显著性检验的结果，两个班的平均分数相差７．６。计算ｚ＝３．２１，ｐ＜Ｏ．Ｏｌ说明实验班和控制班在数学学习兴趣方面有显著差异，实验班对数学学习的兴趣明显高于控制班。两个班在课堂教学中学生参与的平均分数显著性检验的结果，两个班的平均分相差２０．７。计算ｚ＝６．３５，ｐ＜０．０１说明实验班和控制班在课常参与数学活动上的显著差异，实验班的参与率明显高于控制班。参考南京师范大学硕士徐厚生的关于数学的认识转变的问卷（附录３），学期结束时，本人对实验班学生组织了问卷调查。结果显示，数学实验是发现数学结论的好办法，数学实验有助于提高运用计算机技术发现数学问题和解决数学问题的能力。５．５．２．实验结论结合个案访谈及调查问卷，经过分析以上数据，可以看到数学实验教学，有助于提高数学学习成绩，激发学生数学学习兴趣，促进他们积极参与数学学习，并转变了学生对数学的认识，如原来认为是演算的数学，现在认为具有归纳、拟经验性和先验性等特征；数学实验是发现数学结论的好办法，数学实验有助于提高运用计算机技术发现数学问题和解决数学问题的能力。４９第六章认识与思考６．１高中数学实验的特点高中数学实验教学模式以问题为载体，通过对实际问题的解决，培养应用数学知识解决实际问题的意识和能力；以学生为主体，在教师的精心准备和引导下，学生讨论、交流、自主探索、解决问题，在失败和成功中获取知识和培养能力；以计算机为手段，实际问题的解决离不开计算机对数据的处理和计算机仿真（即计算机模拟），这正是计算机的长处。高中数学实验教学模式有以下几个特点：一、学生通过数学实验了解数学知识发生、发展过程，在一定程度上，解决了传统教学中出现的理性与感性、理论与实践相脱节的弊端。二、数学实验教学是一种活动化教学，它能满足不同层次学生的需求，是实现因材施教的个别化教学。它有利于发展学生的个性，激励学生的求知欲和好奇心，从而调动学生学习的积极性和主动性。三、培养了学生动手能力、观察和分析问题的能力，能使学生进入主动探索状态、变被动的接受学习为主动的建构过程，同时培养学生的创新精神、意识和能力。四、增强了教学的民主性、体现了学生的主体性。由于它所提供的刺激不是单一的，不仅有利于知识的获取、意义的建构，也有利于知识保持、能力的提高，大大增强了教学效果，这是以往的任何教具所不能实现的。６．２高中数学实验教学中的问题与思考从问卷调查和个案访谈的情况看，学生乐意接受生动活泼、直观形象的数学实验教学形式。但同时也应注意到一些存在的问题。一、相对于传统教学，数学实验用时较多，而中学数学课程内容多，学时少，为完成教学计划及应付中考、高考，时间宝贵，有人甚至认为没有时间进行数学实验。事实上，开展数学实验，不仅在于对数学知识本身的探求，还在于数学知５０识的应用。数学实验足数学体系、内容和方法改革的一项尝试，有利于培养学生的主动性、创造性和协作精神，有利于促进学尘整体素质的提高。数学实验教学模式不是要取代其他教学模式，而是对传统教学模式的有益补充。在中学开展数学实验、研究性学习符合素质教育的要求，具有长效性。二、在中学常规的教学中，开展数学实验教师面临来自专业素质方面的挑战。～方面，对大多数中学教师来｝兑，对计算机知识相对生疏。而利用计算机开展数学实验需要较多计算机知识，有时甚至要用到简单的程序设计知识；另一方面，开展数学实验，需要教师具有更强的数学知识和科研能力，这就对教师素质提出了更高的要求。三、在教育的理论上，传统的数学讲解式课堂模式，大容量、高强度、多反复的课堂训练模式在大多数教师身上留下了深深的烙印，表现在担心数学实验教学花时很多，怕影响其教学的进度与质量。而数学实验与此则迥然不同，事实上，恰当的数学实验不仅能够提高学生学习数学的兴趣，激发学生的热情，而且能提高教学深度和广度，有利于学生的分析和解决问题能力的培养。因此，解决这些问题的对策是每位教师都要建立正确的人才观，即什么是学生最重要的、最需要的，什么是学生必须在基础教育阶段形成的且将来可迁移性的能力。四、由于数学实验是个“年轻”的课题，以前的学习中很少涉及此类问题，现在要求让学生自己进行数学实验（教师指导下），学生往往表现出不知所措：第一是学生难以设计出一套完整的实验方案，实验的过程中也提不出问题，完成不了必要的归纳和总结；第二是学生基本技能不足或遭遇挫折后容易夭折等一系列现象。因此，针对这些可能的问题，教师的教学设计中可循序渐进、因材施教。首先是积极倡导数学实验，教学中无论是演示实验还是操作实验，尽可能给予学生设计、提问、猜想、操作、交流、评估的机会，创设问题情境，突出数学实验在能力培养上的载体功能。其次对突出数学实验的设计思想、实验内容、实验的演示操作过程、实验的归纳和总结都要有意识地增加学生参与的程度。再次将课堂问题的“问答”变换为问题的“设计——解决应用——再设计——再解决——再应用”的不断总结提高的过程。五、中学的数学知识是历史上经历了数百年乃至上千年探索结果的汇编，显然不可能逐一地让学生去体验、探索、发现。那么，应当依据什么标准筛选开展实验教学的内容呢？有调查显示代数函数、三角函数、平面几何、立体几何、解析几何是进行数学实验最多的内容，它们占中学数学实验的６７．５７％，同时７０％左右进行数学实验的教师将数学实验用来“激发兴趣”和“客体感知”，而对“概念形成”、“结论推理”和“复习巩固”进行实验的则微乎其微。但事实上，中学生对数学知识的理解很大的障碍恰恰在于上述三个方面。因此，我们应当依据什么标准选择进行数学实验的内容仍是我们面临的难题。结束语综上所述，在目前国际数学教育界，比较重视数学实验教学，特别在发达国家开展的非常普遍。但是在我国高中并没有全面开展，还只是刚刚起步。由此，还有许多方面值得研究开展数学实验教学的误区。其次，对数学实验教学的教育功效的挖掘还不够深入，很多关于数学实验教学价值只停留在理论层面，与教学实践相结合的研究不多。另外，开展数学实验教学的有哪些途经和方法。例如如何组织好学生在合作学习中进行数学实验，如何以课题学习为载体进行数学实验，如何提供材料进行课外数学实验，等等，都有需作进一步的研究。笔者所做的尝试还远远不够，还需在理解数学实验本质的基础上，掌握一些对数学实验指导的技巧和策略，如怎样设计数学实验，怎样去激发问题控制实验，怎样对实验进行归纳和总结等。愿一切有志于教学创新和改革的数学教师，尤其是具有一定教学经验的中青年教师（他们具有一定的教学经验，熟悉教学内容，掌握教学环节，敢于实践和创新），勇于承担起数学教学创新的责任，教学中给学生提供实验的时间和机会，相信数学实验教学的春天会指闩可待。附录１运用现代教育技术建立数学实验室的学生反馈调查１．将现代教育技术运用于数学教学的教学模式形式新颖，是学习更加生动，更加有兴趣。Ａ、认同Ｂ、不认同Ｃ、与以前的教学一样２．在教室提供的实验界面上，操作计算机进行数学实验，Ａ、激发了我主动探究学习的欲望；Ｂ、计算机的屏幕使我眼花缭乱，无所适从；Ｃ、探究学习的积极性没有提高。３．利用《几何画板》软件进行学习，使我们尝试了从变化的图形中观察、分析，从而发现一些不变的规律，即学会了发现问题、解决问题的一种方法。Ａ、认同Ｂ、不认同Ｃ、无所谓。４．利用《几何画板》软件进行探究学习Ａ、发现了一些课本中没有的结论；Ｂ、没有什么发现；Ｃ、我看书、做题也可以发现这些结论。５．在本节课中，利用网络环境，实现了师生之间的反馈交流Ａ、我对我们的实验过程没有信心，因此不希望老师将我们的实验界面在“大屏幕”上展示，与全班同学一起交流；Ｂ、我愿意老师将我们的实验界面在“大屏幕”上展示，与全班同学一起交流；Ｃ、无所谓。６．在本节课中，如果建立一个便于学生之间的网上交流讨论的平台Ａ、能够促使我发现更多的结论；５４Ｂ、没有时间交流；Ｃ、对我们的探究学习帮助不大。７．下课铃晌了Ａ、若冉给我们一些时问，我们还可以有新的发现；Ｂ、若再给我们一些时间，我们也不会有新的发现；Ｃ、我早就想下课了。８．本节课中，同学们发现的每一个结论Ａ、老师都应该给予证明；Ｂ、都不用证明；Ｃ、比较典型的结论由老师证明，其余的由我们课下证明。９．本节课中通过操作计算机进行数学实验，有所提高Ａ、逻辑推理能力；Ｂ、归纳猜想能力；Ｃ、无。ｌＯ．利用计算机进行“探究式”教学的数学课Ａ、这种课应该经常上；Ｂ、这种课不能没有，但不能多上；Ｃ、这种课有与没有都行。５５数据统计如下题导ｌ４０Ｃ４３９３４４ｌ０１６５０１８２７６３４５７７１３ｌｌ２３２９３９２１０２ｌ１９５４Ｓ一４０３５３０２Ｓ２０１５１０５０ｌ１；１０≯１’２３４５６７８９Ａ］ｌｏ：附录２数学学习情况问卷调查亲爱的同学，为了了解你在数学学习方面的一些具体情况和学习数学的一些感受，为今后的教学提供－ＩＦ确的参考信息，请你认真如实地填写下表，不必考虑如何回答才是正确的回答，也不要反复推敲。本卷纯为研究所用，不记姓名，不考虑对错，不要有任伺顾虑。本组题目涉及您对数学的看法、学习感受等问题，每个问题列出了Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五种不同项目供偶然性选择，请您选出与您的想法或者做法相符的项目，在每题右边的相应字母下划“、／”号，每题仅选取一项，注意不要漏答。其中Ａ：完全符合Ｂ：大体符合Ｃ：符合与不符合和情况差不多Ｄ：大体不符合Ｅ：完全不符合一、数学学习兴趣度诊断量表（１）我喜爱数学。（２）在所有课程中，我最爱学数学。（３）我爱做数学题，觉得很有意思。（４）对数学，我学得快，理解得深。（５）数学知识对我学好其他课帮助很大。（６）我的心算能力强。（７）我的口算很快。（８）我对几何图形的想象很有兴趣。（９）我很爱解数学难题。（１０）我解题的能力强，解得快。（１１）我很愿意用解数学题的思路和方法去思考问题。（１２）作几何题添加辅助线，我一想就差不多，至多试一、二次就添对了。（１３）我常用数学知识去解决同常生活中的实际问题。（１４）我很爱看数学的课外读物。（１５）为了解一道数学难题，我宁原牺牲我看球赛的机会。虽然我很喜欢看球赛．（１６）为了读数学课外书，我宁肯牺牲看电视的时间。我很爱看电视。５７（１７）数学课上，我思想高度集中，很少开小差。（１８）做数学作业，我一般能在一节课时内完成，准确率也比较高。（１９）数学作业，我从不抄人家的。（２０）教师未讲的内容和题目，我通过自学掌握。二、学生参与问卷（１）在数学课上，我聚精会神地听老师的讲解。（２）对于难解的问题，我会持续钻研。（３）当讨论新的数学知识时，我经常发言。（４）如果我一时得不出一个正确答案。过一段时间我会想出来。（５）我在数学课上很尽力。（６）如果我第一次不能把问题解答出来，我会再试下去。（７）当老师提出新的数学知识的时候，我注意力总是非常集中。（８）当我解题发生错误时，我最后总是能纠正。（９）我在数学课上用一切办法使自己明白老师讲的内容。（１０）当我持续解决问题时，一般我能够得出正确答案。（１１）我经常参加数学课上的讨论。（１２）如果我不能一下子把问题解出来，我会一直试下去直到解决问题为止。附录３学生数学学习兴趣、态度及主体意识调查表亲爱的同学，高二年级这一学期的学习己经结束，为了了解同学们这一学期的数学学习情况，请填好下表。把各题中最适合自己的项填在括号内，填表不记名。１、经过这一学期的学习，你的数学学习兴趣？Ａ．非常浓Ｂ．较浓Ｃ．一般Ｄ．ｆ氐２、你上数学课是否愿意发言？Ａ．非常愿意Ｂ．愿意Ｃ．一般Ｄ．不愿意？３、你上数学课注意力是否集中？Ａ．是Ｂ．多数情况是Ｃ．偶尔Ｄ．不是４、你是否能按时完成数学作业？Ａ．是Ｂ．多数情况是Ｃ．偶尔Ｄ．不是５、你认为自己是数学学习的主人吗？Ａ．非常同意Ｂ。同意Ｃ．说不清楚Ｄ．不同意６、你认为自己能主动积极学习数学吗？Ａ．能Ｂ．有时能Ｃ．不一定Ｄ．不能７、你认为自己喜欢思考、讨论数学问题吗？Ａ．非常同意Ｂ．同意Ｃ．说不清楚Ｄ．不同意８、你认为数学实验是发现数学结论的好办法吗？Ａ．非常同意Ｂ．同意Ｃ．说不清楚Ｄ．不同意９、你认为数学实验有助于提高运用计算机技术发现数学问题和解决数学问题的能力吗？Ａ．非常同意Ｂ．同意Ｃ．说不清楚Ｄ．不同意１０、在你心目中，数学课程发生了哪些变化？参考文献［１］普通高中数学课程标准（实验）［Ｓ］。北京：人【屯教育山版社，２００３．１［２］梁宗巨．世界数学史简编［Ｍ］．沈掰ｌ：辽。ｊ。人氏出版社，１９８０．９［３］孔令军，赵红革．浅谈数学实验教学［Ｊ］．数学通报，２０００，（８）．１３［４］千光生．例说数学实验教学［Ｊ］．中学数学教学参考，２００ｌ，（６）．１３［５］王国江，周松．浅析数学实验教与学［Ｊ］．数学通讯，２００３，（７）．［６］胡晓敏．小学数学实验手段教学价值的探讨［Ｊ］．楚雄师范学院学报，２００２，（６）．２９—３２［７］（英）Ｄ．Ａ．约翰逊．人家学数学［Ｍ］．北京：北京科学出版社，１９８０，９．９［８］鲍为民．关于高中“数学实验”教学研究的思考［Ｊ］．山尔教育，２００３，（Ｚ２）．６９［９］涂荣豹．数学教学认识论［Ｍ］．南京：南京师范大学出版丰＋，２００３．１１７一１１９［１０］洛洪才，王光明．数学教育：精确与模糊的辩证统一［Ｊ］．天泮师范人学学报，２００７（１２）．４４—４７［１１］王光明．数学教育要培养效率意识［Ｊ］．中学数学教学参考，２００６，（５）．卜４［１２］奥苏伯尔．教育心理学——认知观［Ｍ］．北京：北京人民教育出版社，１９９４．［１３］米山国藏．数学的精神思想和方法［Ｍ］．成都：四川教育出版社，１９８６．［１４］时红霞．高等数学实验教学的应用研究［Ｄ］．西安建筑科技人学，２００６．［１５］张志勇．高中数学实验教学的实践研究［Ｄ］．南京师范人学，２００５．［１６］许海珍．在中学数学教学中开展数学实验的实践［Ｄ］．华中师范大学，２００８，（５）．［１７］宋绍云，师红．基于Ｍａｔｌａｂ院学报，２００７，（１２）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