第12周 盈亏问题
专题简析：
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一袋饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块；如果每人分4块，少8块。小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差＝人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：
1、两盈：两次分配都有多余；
2、两不足：两次分配都不够；
3、盈适足：一次分配有余，一次分配够分；
4、不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：
1、“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差＝参与分配对象总数；
2、“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差＝参与分配对象总数；
3、“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差＝参与分配对象总数。
例1 某校乒乓球队有若干名学生，如果少一个女生，增加一个男生，则男生为总数的一半；
如果少一个男生，增加一个女生，则男生为女生人数的一半，乒乓球队共有多少名学生？
分析：（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男生多2人；
（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2＋2＝4人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有4×2＝8人。原来女生有8－1＝7人，男生有7－2＝5人，共有7＋5＝12人。
练习一
1、学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。学校买来两种粉笔各多少盒？
2、操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。两堆货物一共有多少吨？
3、五（1）班的优秀学生中，若增加2个男生，减少1个女生，则男、女生人数同样多；若减少1个男生，增加1个女生，则男生是女生人数的一半。这些优秀学生中男、女生各多少人？
例2 幼儿园老师给小朋友分梨子，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。问有多少个小朋友？共有多少个梨子？
分析：这时一道典型的“一盈一亏”题。由题意可知，小朋友的人数和梨子的个数是不变的。比较两次分梨的情况，结果相差9＋6＝15（个），即每人分4个比每人分5个多余15个梨。为什么会余下15个梨呢？因为每人少分了5－4＝1（个）梨，所以用15÷1＝15就是小朋友的人数。再用15×4＋9＝69（个）就是梨的个数。
练习二
1、小明去买练习本，他付给营业员的钱买4本多1元，买6本又差2元。小明付给营业员多少元？每本练习本多少元？
2、老把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则多4支；每人7支则少4支。老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？
3、幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每人5个余10个；如果分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3个学生，这筐苹果有多少个？
例3 小红把自己的一些连环画借给她的几个同学。若每人借5本则差17本；若每人借3本，则差3本。问小红的同学有几人？她一共有多少本连环画？
分析：这是一道“两亏”题。从题意可知，同学的人数和连环画的本数是不变的。比较两种借书方案，可以得出每人借5本比3本要多需17－3＝14（本）书，为什么会多需14本书呢？这是因为每人多借5－3＝2（本）。每人多借2本，多少人就多需14本呢？用14÷2＝7（人），这就是同学的人数。再用7×5－17＝18（本），就是连环画的本数。
（17－3）÷（5－3）＝7（人）
7×5－17＝18（本）
练习三
1、六（1）班第一小队的同学去栽树，如果每人栽8棵则少27棵；如果每人栽6棵则少5棵。六（1）班第一小队有多少同学？他们要栽多少棵树？
2、学校将一批铅笔奖给三好学生，每人9支缺15支；每人7支缺7支。问三好学生有多少人？铅笔有多少支？
3、学校将一批铅笔奖给三好学生，每人4支多10支；每人6支多2支。问三好学生有多少人？
铅笔有多少支？
例4 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？
分析：这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分4块。说明中班的人数是小班人数的6÷4＝1.5倍。因此，这箱饼干全分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5＝9（块），一共可分到6＋9＝15（块）饼干。
练习四
1、老师把一批书借给甲组同学，平均每人借4本。如果只借给甲组的女同学，每人可借6本。如果只借给甲组的男生，平均每人借到几本？
2、甲、乙两组同学做红花，每人做8朵，正好送给五年级每个同学一朵。如果把这些红花让甲组同学单独做，每人要多做4朵。如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵？
3、老师把一袋糖分给小朋友。如果只分给小班，每人可得12块；如果分给中班和小班，每人只能分到4块。如果这袋糖只分给中班，每人可分到几块？
例5 全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？
分析：根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条船，也就是少9个同学；每船坐6人，就要增加一条船，也就是多出6个同学。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐9＋6＝15人，15里面包含5个（9－6），说明有5条船。知道了有5条船，就可以求全班人数：9×（5－1）＝36（人）。
（9＋6）÷（9－6）＝5（人）
9×（5－1）＝36（人）。
练习五
1、老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5个；如果增加一个同学，正好每人分得4个。这篮苹果一共有多少个？
2、五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果减少一只船，正好每只船上坐8人。求这个年级共有多少个同学？
3、一个旅游团去旅馆住宿，6人一间，多2个房间；若4人一间又少2个房间。旅游团共有多少人？
参考答案 第12周 盈亏问题
练习一
1、（10＋8＋10）÷（5－1）＝7（盒）……彩色
7＋8＋10＝25（盒）……白色
2、80－25＝55（吨） [55÷（3－1）＋5]×2＋55＝120（吨）
3、（3＋1＋1）÷（2－1）＝5（人）
5＋1＝6（人）……男生 6＋3＝9（人）……女生
练习二
1、（1＋2）÷（6－4）＝1.5（元）……付给营业员的钱数
1.5×4＋1＝7（元）……每本练习本的价钱
2、（4＋4）÷（7－5）＝4（个） 4×5＋4＝24（支）
3、3×5＋10＝25（个） （25＋2）÷（8－5）＝9（个）
9×8－2＝70（个）
分析：如果大班减少3人，则大班和小班的人数同样多。这样，大班每人5个就多余3×5＋10＝25个。由于两班人数相等，小班每人多分3个就要多分（25＋2）个苹果，用（25＋2）÷（8－5）就能得到小班同学的人数是9人，再用9×8－2就求出了这筐苹果有多少个。
练习三
1、（27－5）÷（8－6）＝11（人） 6×11－5＝61（棵）
2、（15－7）÷（9－7）＝4（人） 9×4－15＝21（支）
3、（10－2）÷（6－4）＝4（人） 4×4＋10＝26（支）
练习四
1、4÷（6－4）＝2（倍） 4×（1＋2）＝12（本）
2、8÷4＝2（倍） 8×（1＋2）＝24（朵）
3、（12－4）÷4＝2（倍） 4÷2＋4＝6（块）
练习五
1、（5＋4）÷（5－4）＝9（人） （9－1）×5＝40（个）
2、（7＋8）÷（8－7）＝15（只） （15＋1）×7＝112（个）
3、（6×2＋4×2）÷（6－4）＝10（间） （10－2）×6＝48（人）
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