、知识归纳:
1、集合:某些 _______ 的对象集在一起就形成一个集合,简称集
元素:集合中的每个 叫做这个集合的元素。
_有限集:
列举法:
2、集合的表示方法
描
述
3、集合的分类无限集:
二、例题选讲:
例1、观察下列实例:
① 小于11的全体非负偶数;
③抛物线y =:x .1图象上所有的点;
2
②整数12的正因数; ④所有的直角三角形;
⑤高一(1)班的全体同学; ⑥班上的高个子同学; 回答下列问题: ⑴哪些对象能组成一个集合.⑵用适当的方法表示它.⑶指出以上集合哪些集合是有限集 例2、用适当的方法表示以下集合:
⑴平方后与原数相等的数的集合;⑵设 ⑶不等式2x :::6的解集; ⑸第二象限内的点组成的集合; 三、针对训练:
1.课本P5第1题:2.课本P6第1、2题
3.已知集合 A = \\ | ax 2 ■ 2x _ 1 = 0 ^
a, b为非零实数,
a
可能表示的数的取值集合;
a
⑷坐标轴上的点组成的集合; ⑹方程组
x y = 5 x - y = 1
的解集<
⑴若A中只有一个元素,求 a及A ;⑵若A -求a的取值范围。
§1.1 集合(2)
一、 知识归纳: 4、 集合的符号表示:
⑴集合用 _______________________________ 表示,元素用 ______________________________ 表示。 ⑵如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作:
如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作: ⑶常用数集符号:
非负整数集(或自然数集): 5、 元素的性质:(1) 二、 例题选讲:
例3用符号.与.__填空:
正整数集:
(2)
整数集:
(3)
有理数集:
实数集:
⑴ 0 ___ N * ; 3 ___ Z ; 〇 ___ N ; (-1) __ N * ; __________ .32 Q ; _ - Q。
3 ⑵ 3 ___ 2,3); 3 _____ 、2,3);
2,3:丨 .[(2,3 );
3,2 :丨 [(2,3)
0
例 4 (1)已知 A =: ^ 2 ::: x5 ' 判断 a、b 是否属于 A ? a = 7,b = sin 42 tan 31
(2)已知 A = a, a B = 4 b 乂 A = B ,求 a, b
三、针对训练: 1. 课本P5第2题
2. 习题1.1
ff
3■已知:A = ty | y = x “1且 x :二 N r B = ^x,y) | y = x — 2x “ 2 r,用符号:二与,填空
(1) ___ 0 A ; _ 3.5 A ; _ 10 A ; _______ (1,2) A。 (2) __________ ( 0,0) _________ B ; (1,1) B ; 2 B。
1.1集合练习题
A组
1、用列举法表示下列集合:
(1) {大于10而小于20的合数} ________________________ ;
x ■ y =1
(2) 方程组j 的解集 。
2 2 x - y 9 i. 2. 用描述法表示下列集合: (1) 直角坐标平面内 _______________________ X轴上的点的集合 ; (2) 抛物线y =x -2x ■ 2的点组成的集合 ____________________ ;
1
(3) 使y =—一 ____________________________ 有意义的实数x的集合 。
x x -6 3. ________________________________________________________ 含两个元素的数集 a -a }中,实数a满足的条件是 ___________________________________________ 。 4. 若 B =(x| x x -6 =0 ),贝^ 3—B ;若 D = (x f Z 卜2 < x < 3 ),贝^ 1.5 — D 5. 下列关系中表述正确的是(
22
2
2
)
A. 0 .二 x ;0, B. 0 三、0, 0 ) C. 0 二 I D. 0 二 N
6. 对于关系:①32 .■乂x x厶W,;② 3 € Q;③0€ N;④0€ ._,其中正确的个数是 A、4 B 、3 C 、2 D 、1 A. M =(2,1), (3,2)) B. M 口(1,2) C. M =^ y | y = x
N = (( 1, 2),(2,3))
N ;丨..2, 1}
1,x f R ,
2
N - (y | y = x 1,x 三 N N - iy | y = x x 三 N ^
()
2
2
D. M -X x,y) | y =x -1, x 三 R} 8.已知集合S =
)中的三个元素是.'.:ABC的三边长,那么.'.:ABC —定不是
形
C. 钝角三角形
A.锐角三 .角形 B.直角三 三角9.设 a、b、
c为非0实数, 则M
- abc a +b ( \"+- 的所有值组成的集合为( ■ +
a b ( abc
、
-
D. 等腰三角形
)
'
A、{4} B 、{-4} 、{0} D 、 {0,4,-4} C 2
10. 已知 \\ | x . mx . n = 0, m, n . R 、1, -2 ^,求 m,n 的值.
f 12 l
11. ----------------------------------------- 已知集合A= xf N
L 6-x J 12.
x |ax 2-3 x-4=0,x ■ R ) ( 1)若A中有两个元素,求实数
N ,试用列举法表示集合 A.
已知集合A = ia的取值范围,
(2) 若A中至多只有一个元素,求实数 a的取值范围。
B组
1■含有三个实数的集合可表示为
b a,一,1 ,也可表示为i'a . b,0、求a1 2 * * *。。6 . b2。。7的值。
a ^
2. 已知集合A - ix |ax ■ b =1/,B = ix |ax -b . 4/,其中a ^ 0,若A中元素都是B中元素,求实数 b的取值范围。
1
3*.已知数集A满足条件a矣1,若a . A,则——.A。
1 - a
(1) 已知2 . A,求证:在A中必定还有两个元素 (2) (3)
请你自己设计一个数属于 A,再求出A中其他的所有元素
从上面两小题的解答过程中,你能否悟出什么“规律”?并证明你发现的这个“规
A组:
1、 (1) (12,14,15,16,18);⑵(5,-4 )。
2、 ( 1) .1: x, y | x :二 R, y = 0 :; (2) ' x, y | y = x ,2x — 2 ’ ; ( 3) \\ | x “ x,6 :」0 ?。 3、 a#0,2。 4、老;2。
5 — 9、DCBDD 10、 m=3,n=2。
11 、 A = {〇,2,3,4,5)。
12、(1) a B组:
9 9 、
且 a 0 ; (2) a _ ——或 a = 0。
16 16
2006 . 200
7
;1 . 2
a ■ b
3
b ::: 2
1
3、(1) A = 2,-1, i ; (2)略;(3) A 的元素一定有 3k k. Z 个。
§1.2子集、全集、补集(1)
、知识归纳:
1、 子集:对于两个集合 A与B ,如果集合A的 ___________________ 元素都是集合B的元素,我们就说集合 集合B ,或集合B _________ 集合A。也说集合A是集合B的子集。 良P:若“ x三A =. x三B ”贝^ A」B。 子集性质:(1)任何一个集合是 ______________ 的子集;(2)空集是 _____________ 集合的子集; (3) ___________________________ 若 A L B , B L C ,则 。 2、 集合相等:对于两个集合 A与B ,如果集合A的 元素都是集合B的元素,同时集合B
的 _____________ 元素都是集合A的元素,我们就说 A __________ B。 良P:若A _____ B ,同时B _______ A ,那么A = B。 3、 真子集:对于两个集合 A与B ,如果A B ,并且A _______ B ,我们就说集合A是集合B的真子
集。
性质:(1)空集是 集合的真子集;(2)若A B , B C , 。 4、 易混符号:
① “ 与“ S”:元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系 ② {0}与①:{0}是含有一个元素0的集合,①是不含任何元素的集合,
5、 子集的个数:
(1) ______________________ 空集的所有子集的个数是 ________________________ 个 (2)集合{a}的所有子集的个数是 _________________ 个
(3) _______________________________ 集合{a,b}的所有子集的个数是 _________________ 个 (4)集合{a,b,c}的所有子集的个数是 _______________ 个 猜想:(1){a,b,c,d}的所有子集的个数是多少? (2) {a, ,a2〜,an )的所有子集的个数是多少?
结论:含 n个元素的集合^ ,a2…,an :的所有子集的个数是 ________ ,
所有真子集的个数是 _________ ,非空子集数为 _______ ,非空真子集数为 ________ 。
二、例题选讲:
例1 (1)写出N, Z, Q, R的包含关系,并用文氏图表示 ■
(2) 判断下列写法是否正确: OiA ②① A ③At A ④A A
例2 填空:
〇 —{0} , 0_〇 , 0_ { (0, 1) }, (1, 2) {1 , 2, 3} , {1 , 2} , {1,2,3} 例3已知A = 0,1,2,3),则A的子集数为_, A的真子集数为_, A的非空子集数为_,所有子集 中的元素和是 ?
<
A
三、针对训练: 1、 课本9页练习;
2、 已知 H A ^ 1,2,3,4/,则 A 有 _______ 个?
H A
:1/ At1,2, 3,4:=■,贝^ A 有 _____ 个?
11,2,3,4),贝^ A 有 ____ 个?
3、已知 A=:xx2 .x-6=0),B=ixax 1=0,,B_A ,求 a 的值■
1.2子集全集补集(2)
一、知识归纳:
1、 全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的 ____________________ ,这个集合就可以看作一个全集,全
集通常用U表示。
2、 补集:设S是一个集合,A是S的子集,由S中所有 ________________ A元素组成的集合,
叫做S中子集A的补集。即:CS A 。
性质:CAs CS = _________________ ; CSS =______________ ; CS:〉= _____________ 。
.、例题选讲:
例 1、若 S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求 CSA。
例 2、已知全集 U= R,集合 A = (x 1 1 2x . 1 ::: 9),求 Cu A 例 3、已知:S - ix -1 S x . 2 ::: 8 ),A --2 ::: 1 - x U ), B - (x 5 ::: 2x -1 ::: 11 ),讨论 A 与 CS B
的关系.
三、针对训练:
1、 课本P10练习1、2题 2、
已知全集U,A是U的子集, '是空集,B=CUA,则CUB= _,GU ' =
,GUU=
。
3、 设全集U U二…,已知集合M ,N , P满足M=CUN,N=CUP,则M与P的关系是() (A) M=CJP,
(B) M=P,(C) M =P,(D) M 二 P.
4、 已知全集 U = (x -1 ::: x ::9 ),A = (x 1 :: x :: a ),若 A 二:.:•■,则 a 的取值范围是( )
A a :: 9, B a _9, Ca_9, D1::a_9
5、 已知 U ={2, 4,1 -a},A ={2, a2
-a+2},如果(UA={- 1},那么 a 的值为 ____________ 。
6、 集合U = (x,y) |x€{ 1,2} ,y€{1,2}},
A= (x,y) |x€ N*,y € N*,x+y=3 },求 CUA.
1.2子集、全集、补集练习题
A组:
1. 已知集合P={1,2},那么满足Q^P的集合Q的个数为()
A. 4 B.3 C.2 D. 1
2. 满足{1,2} A (1,2, 3, 4, 5)条件的集合A的个数为()
A.4 B. 6 C. 8 D. 10
3. 集合A = :x | x —2 x -1 = 0, x - R :的所有子集的个数为(
)
A.4
B.3 C.2
D.1
4.
在下列各式中错误的个数是 ()
① 1 、0,1,2 );②(1 ;三[0,1, 2 );③ ^0,1,2 ;二[0,1, 2);④。=[0,1, 2);⑤(0,1, 2)=《2,0,1 ) A.1 B.2 C.3 D. 4 5. 下列六个关系式中正确的有(
)
① b -七,a,;② ia, b ; ■= .'b, a,;③ ta ,b / 二 士, a,;④、0) - ■;⑤ o = :. 〇 );⑥ 0 三[.〇,.
A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个及3个以下
6. 全集 U = {1,2, 3), M = (x | x,3x . 2 =0 ),则 Cu M 等于()
2
A. (1 ) B. {1,2) C. (3) D. {2}
7. 知全集S和集合M、N、P , M ;CsN , N ;CsP ,则M与P的关系是()
A. M =CsP B. M = P C. P=M D. M = P
8. 已知全集U = {3, 5, 7 ),数集A = <3, a -7 ),如果Qj A = (7 ::■,则a的值为()
A.2 或 12 B. -2 或 12 C.12 D.2
C、M i C。N D、 M = C。N
9. 已知U是全集,集合M, N满足关系M i N ,则()
A、Cu M ^Cu N B、Cu ^ ^ Cu N
10. 若(1,2, 3 ; = A (1,2,3,4),贝^八= __
11 •设全集 U =R,A={x|a5xSb}, CuA={x|x >4 或 x <3 },则 a = ___________ , b = _____ . 12.
设数集 A = (1,2, a ), B = (1,a -a ),若 A 二 B,求实数 a的值。
2
2
2
13. 集合 A - :x | x,3x 2 = 0 ?, B -、x | x,2x a = 0,,B 二 A,求 a的范围。
14. 求满足{x| x . 1 =:0, x :二 R] = M 二丨.x | x -1 =:0, x.: R )的集合 M 的个数.
22
15.
已知集合A =:x|1 .ii;x<4), B =)| x丰 16. 若集合A={x | -2 2 18. 已知全集 S=(1,2,3,4,5,6),是否存在实数 a、b,M ='x. Sx-ax .b=0),使得 CSM =(1,4,5,6). 2 19. 设 U = R, A -、x R 卜1 设全集 S tx | x - 3x . 2 = 0 ' A - tx | x - px . q = 0 二若 CSA =,求 p、q . -22 1. 知S = ia,b ), A i S,则A与CsA的所有有序组对共有 () A. 1 组 B.2 组 C. 3 组 D.4 组 2. 设S为非空集合,且 S .= (1,2,3, 4,5),求满足条件“若a. s,则6-a. s”的集合S。 3 .集合S ={0,1,2,3,4,5 } , A是S的一个子集,当xeA时,若X—15A ,且x十15A ,则称x为A的 个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”的 4元子集的个数是( A. 4个 B . 5个 C . 6个 D . 7个 ) 1-9 、 ACAA BCBA A。 10 、A ; i1,2,3,4,。 1、a=3,b=4。 12、 \\a | 1 f 13、 a _2。 14、 3. 15、 a _ 4 r。 16 、 im | -3 < m < 3 ^。 5, 17、 a ;2。 18 、a _ _ b = 6。 19、 C A{x | x < -1 或 x ::: 6或 x 6 ; CU B -U | x ::: 2 或 x」5:; U = 5 : 、x | ::;:::2 B C A = -1 x = 6 :。 :或 x = 5或 3, q 20、 p = =2。 x B组: a - -1,0 1、D. 2、 (3), 1,5), ^,4), 1,3,5), (2,3,4), (1,2,4,5), (1,2,3,4,3、C. 5)。 § 1.3交集、并集(1) 、知识归纳: 1、 交集定义:由所有属于集合 A _属于集合B的元素所组成的集合,叫做 A与B的交集 即:A B 。 2、 并集定义:由所有属于集合 A _属于集合B的元素所组成的集合,叫做 A与B的并集 良P: A B = 。 性质:A A , A , A B = ________________ ; A (CuA) = _______________ A A = , A :..1 : , A B ^ ; A (CuA) = _______________ < 二、 例题选讲: 例 1、设 A ;(._x x >2 }, B={xx<3)■,求 A。B= _____________________ 。 例2、设A = {x|x是等腰三角形},B = {x|x是直角三角形},求A B= ____________________ 。 例 3、设 A = :4,5, 6,8 ) B - (3,5, 7,8 ),求 A B= _________________________ ; A B= ____________ 。 例4、设A = {x|x是锐角三角形},B = {x|x是钝角三角形},求A B= _____________________________ 。 三、 针对训练: 1、 课本P12练习1——5题; 2、 设 A =〜-1 ::: x ::: 2 ),B = {x 1 i x 1 3 ),求 A U B= _______________ ; A B= _________________ 3、 设 A = i x, y y = ] x 6 ^, B = \\ x, y y = 5 x —3 ^,求 A B= ___________________________ 。 4、 已知A是奇数集,B是偶数集,Z为整数集, 贝^ A B= —,A Z= — ,B Z= —,A B= — ,A Z=—,B Z= _ 5、 设集合 A -4, 2m -1,m2 ),B ;l.9,m -5,1 -m),又 A B={9}, 求实数m的值. 四、本课小结: 1、A n B= _________________________ ; 2、A U B= ________________________________ 。 § 1.3交集、交集(2) 一、知识归纳: 1、交集性质: A A = __________ ,A = ___________ ,A B = ______________ ; A ( CUA )= 2、 并集性质: A , A:U.v=: , A B =: ; A (CuA) = __________ 。 3、 德摩根律: (课本P13练习4题) (C,) ( Cu B ) = ____________ , ( Cu A ) ( Cu B ) = _________________ 。 二、例题选讲: 例 1、设 U ;(1,2,3,4, 5,6,7,8) , A;(3,4,5),B ; [4, 7, 8),则 CuA= ___________ , CuB= ____ , (CuA) (CuB)= __________ , (CuA) (CuB)= ____________ , Cu(A B)= _______________ , Cu(A B)= ___________________ . 例 、已知集合 A = ly y = x —4 x“5:, ^ 2 B _xy ;,求 A H B,A U B . 例3已知A = {x -2仑x仑4 二 B = ^ x x < a,, (1)当A B ■■时,求实数a的取值范围;(2)当A B =:B时,求实数a的取值范围. 三、针对训练: 1、课本P13练习1一 3题 2、已知 A = (-3,a,a 1沁 B - 2 2 3、 若集合M、N、P是全集S的子集,则图中阴影部分表示的集合是 A. (M N) P B. (M N) P C. (M N) CSP D. (M N) CSP () 4、 设M , P是两个非空集合,规定M - P =丨x x . M ,且x , P j■,则 M ) 第9题 AM , BP, CM P, M I P 5、已知全集U =(不大于20的质数), A ,B是U的两个子集,且满足 A CuB 产[3,5》,CuA B;l:7,19),〜A CuB 产\"2,17:、 贝^ A = ________________ ; B = ____________________ 〇 四、本课小结:1、交集的性质:2、并集的性质:3、德摩根律: 1.3 A组 1. 交集、并集练习题(1) 设全集1={〇,1,2,3,4},集合八={〇,1,2,3},集合巳={2,3,4},则〇| 八^〇|巳等于()A.巾 2. B. U} C. {〇,} D. {〇,,} 且满足 A B I ,则下列各式中错误的是( 设A、B、丨均为非空集合, ) A、(CAp B=I B、(C丨 A )u(C丨 B )= I C、A。(C丨 B >=0 D、(C丨 A)^(C B 产 C B 3. =a -3a - 2, a . R ), N = ^x x = b -b,b - R ),则 M、N 的关系是( A. M ' N = M 4. 22 已知 M =^xx ) 已知) B.M N =M 2 C.M = N 2 D.不确定 _ 集合M = ty ly = x _ 1 /,N = ^ x, y :: lx . y = 1:,则集合M _ N中元素的个数是( A、0 5. B、1 C、2 D、多个 元素的个数是() A、9 B、8 C、7 D、6 ;丨::4), Cu A ■■ B ;〇2,5 ),则集合 B 等于() D . ( 2 , 3,)4 7. 全集 U={1 , 2, 3, 4, 5},集合 A、B U ,若 A B A. (2, 4, 5) B.(2,3,)5 C.(3,4,5) 8. 满足A 〇.B ={4,82}的集合A、B的组数为() A、 5 B、6 C、 9 D、10 9. 已知 M =^yy=x,2x,2, x :二 R / , N = y = -x,2x, x :二 R / ,则 M - N = ___________________ 10. 已知全集 U = R,A = {x I -1 1 x -1 i::2:,B = (x I x - a _0,a R; 若 CuA”CuB ={x|x〈0 },CuAuCuB ={x|x <1 或 x>3 },则 ae _____________________ 11. 设集合 A ;[x,2x -1, -4), B d:x -5,1 -x,9),若 A ■■ B ^.9),求 A B。 2 12. 设集合 A = (x -1 i x ::: 2 ), B = (x x i a ),若 A - B 二._ ,求实数 a 的集合。 13. 集合 A =(x x +ax +1 = 0, x S R}, B ={1,2},且 An B = A ,,求实数 a 的取值范围。 2 14. 某班50个同学中有32人报名参加数学竞赛,有 25人报名参加化学竞赛,有 3人两样竞赛都不参加, 求: (1) 数学竞赛和化学竞赛都参加的有多少人? ( 2)只参加一种 竞赛的共有多少人? B组 f 1. 设集合 M=xx ,k:Z,N=x|x 1 A .M = N B .M = N C . M N D. M \" N= 4 4 2 k 1 丨 丨 k 1 ,k^Z ,贝U( 1 ) 2. 若集合^、A2满足^ A2 = A,则称(',A2)为集合A的一种分拆,并规定:当且仅当 Ai = A2 (A, A2)与(A2, AJ为集合A的同一种分拆,则集合 A ^a^a^ag}的不同分拆种数是( A . 8 3.已知全集U B. 9 C. 26 D. 27 时, ) y -4 -、x, y lx . R, y . R ' 集合 A = x, y x -2 B - ' x, y y ;3x -2 ' 求 CU A \" B。 A组: 1 — 8: ABCA CBAC 11、 A B - 9、 M M ^[x \\ ^ < x 7,-4,4,8,9:。 12、(a\\a_-1)。 14、(1) 10 人;(2) 37 人。 B组: 1-2: BD。 A组 1、 已知 U = ■1,2,3,4 ),A ;(1,3,4/,B - '2,3,4 :,那么 Cu (A B)=() A . 1,2 } B . {1,2,3,4} C . ■ D . H ;■ 2 3、 Cu A ” B - 乂 2,4 )。 1.3 : 交集、并集练习题(2) 2. 已知集合 M={-1,1,2},N={y|y=x A. {1} B ,x £ M},则 M - N是() .{1 , 4} C .{1 ,2, 4} D { x 2 卜 2 ! x !1:% A = \\ -2 ::: x ::: { 3.全集U = ^ ( ) = x 1 x ■ x - 2 = 0},C = { x | -2 _ x ::: 1},则 1}, B A . C A B . C = C u A C . Cu B = C D , .Cy A = B 集合M =:) 4. { x | x S1},P =:{ x | x . t},若M P二 ',则实数t应该满足的条件是( A . t 1 B . t _ 1 C . t ::; 1 D . t i 1 5. 已知 A={(x, y)|x+y=3}, B={(x,y)|x - y=1},贝^ AH B=( ) A. {2,1} B. {x=2,y=1} C. {(2,1)} D . (2,1) 6. 设丨为全集,Si、a、SB是丨的三个非空子集且 S1US2US3H,则下面论断正确的 A. C iS H( SU SB)=伞 B. ( C 丨 S2H C ISB) C. C IS H C 1S2 H C ISB=伞 7. N中的元素个数为( A. 0 B . 0,1,2其中之一 9. 参加化学课外活动小组有 C .无穷 D .无法确定 某班参加数学课外活动小组有 16人, 36人,则三科课外活动小组都参加的同学至多有 _____________ 人。 至少参加一科的课外活动小组的有 22人,参加物理课外活动小组有 18人, D. S^ ( C 丨 S2U C ISB) 已知集合M =(直线),N =(圆),则M ) 8. 全集 U ;(1,2,3,4,5),A B = {2},(CUA)^B =“},(CuA)q CUB) ={1,5},则 A = , B = 10 .设 A 42父2— px “q =0:B =、x|tx2“(p“2)x“5“q =0 /,若 A—. B 2 - ,求 A_. B。 11. 集合 P={1,3,m},Q = 已知 A =、x, y y = x2 ■ x ■ 1 :, B =、x, y ly = -x2 ■ 4 /,求 A — B。 13.若 A ={x|x —5x .6 =0}, B ={x|ax—6 =0},且 A B = A,求由实数 a 组成的集合- B组 1 .设全集 U = R , P - (x | f ( x) = 0, x f R} , Q = (x | g( x) = 0, x f R} , S = {x | ( x) = 0, x f R), f ( x) +g ( x) g ( x) 则方程f (x) = 0的解集为() (x) 2. 设P、Q是两个集合,定义集合P Q ;(( a, b) |a . P且b. Q),若P “12345 则集合P Q中元素个数为() A. 5 B .4 C .20 D .9 参考答案 A组: 1 — 7、CADC CCA 8、 A = i,3), B = ^,4}; 9、10; 10、 A B = 1 1 23 ),Q = (3,4,5,6), ^4 ' 11、 m 二..3 ,或 m=0 ; A B = 12、 1 , 13、 3 , B组: 1 --- 2、 CC 函数的概念学案 学习目标 1、 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用 集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用 2、 了解构成函数的要素,进一步巩固初中常见函数(一次函数、二次函数、反比例函数)的图像、 定义域、值域 3、 理解区间的概念,能准确地利用区间表示数集 4、 通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养抽象概括能力 教学重点体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,正确理解函数的概念 教学难点函数的概念、符号y=f(x)的理解、 教学流程 一、 问题1、在初中,甚至在小学我们就接触过函数,在实际生产生活中,函数也发挥着重要的作用, 那么,请大家举出以前学习过的几个具体的函数 问题2、请大家用自己的语言来描述一下函数 二、 结合刚才的问题,阅读课本 Pi5实例(1)、(2)、(3),进一步体会函数的概念 问题3、在实例(1)、(2)中是怎样描述变量之间的关系的?你能仿照描述一下实例( 尔系数和时间(年)之间的关系吗? 3)中恩格 问题4、分析、归纳上述三个实例,对变量之间的关系的描述有什么共同点呢? 函数的概念 一般地,设A、B是 ___________________ ,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合A中的 ______________ 一个数x ,在集合B中都有 ______________________ 和它对应,那么就称 f : A-: B为从集合A到集合B的 一个函数,记作 _________________ 其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 ___________________ ;与父的 值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 (f x | x . A)叫做函数的 _______ 问题5、在实例(2)中,按照图中的曲线,从集合 B到集合A能不能构成一个函数呢?请说明理 由 练习1、 1、在下列从集合A到集合B的对应关系中,不可以确定 x (1) A = Z , B =Z ,对应关系 f :x—. y = 3 y是x的函数的是( ) (2) A = :x | x : 0 ' B = R ,对应关系 f : x 二■ y = 3 x (3) A = R , B = R ,对应关系 f : x 二■ y: x “ y 25 (4) A =: R , B =: R ,对应关系 f : x —■ y = x 2、下图中,可表示函数 y = f x的图像只能是 ) y 2 2 2 / x O D 三、区间的概念 阅读课本p17,明确区间的概念 练习2、把下列数集转化为区间 (1) {x | -1 一 x =:: 2} (2) {x |0 ::: x <10} (3) { x | -1 - x - 5} (4) {x |x _ -3} (5) \\ | x - 9 Z (6) { x | x -2} 四、填写下表 二獅数 函数 a >0 a <0 反比闷函数 ^>0 k <0 函玟 对应关系 m 像 定义域 個 域 映射学案 本课重点:映射概念的理解,映射与函数的区别、联系 ;映射中两集合元素之间的对应关系 【预习导引】 1、 关于映射,下列说法错误的是 ( ) A. A集合中的每个元素在 B集合中都存在元素与之对应; B. “在B集合中存在唯一元素和 A集合中元素对应”即 A中的元素不 能对应B集合中一个以上的元素; C. A集合中可以有两个或两个以上的元素对应 B集合中的一个元素; D . B集合中不可以有元素不被 A集合中的元素所对应; 2、 判断下列对应是否为 A集合到B集合的映射和一一映射? (1) A ;R,B ⑵ =R, x ^ A, f : xx ; A =N , B =N ,x A, f : x > x -1 ; 2 (3) A ='x x _ 2,x Z B =、y _ 0, y Zx A, f : x,y = x - 2x 2 ; (4) A = 1,2lB=kblxfA, f:x >y=b-ax.2a-b 教学过程:引入:初中所学的对应 1) 、对于任何一个实数 a,数轴上都有唯一的一点 P和它对应; 2) 、对于坐标平面内的任何一个点 A ,都有唯一的一个有序实数对(x,y)和它对应; 这节课就是在集合的基础之上重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应一一映射。 新课:1、观察讨论中接近概念 1) 、引例:观察以下几个集合间的对应,讨论特征 A B 4 4 一对多 ① A 一对一 B A _______ B ② 1 取绝对值 乘以2 ⑤ 讲解:1)、以上对应的特征:对于集合 A中的任何一个元素,按照某种对应法则f ,在集合B中都有 确定的一个 或几个元素和它对应。具体为:一对多,一对一,多对一。 2) 、在这些对应中有那些是让A中元素就对应B中唯一的一个元素: (让学生仔细观察,回答②③④ ⑤⑥) ②③④⑤⑥的共性:A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应, 直观语言表述:A中的每个元 素在B中的结果均唯一。(由学生总结,教师补充整理引出映射定义) 定义1: 一般地,设A、B是两个集合,若按照某种对应法则 f,对于集合A中的任何一个元素,在 集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应叫做集合A到集合B的映射,记作 f: A^B。 (这种具有对应关系的元素也有自己的名称,引出象与原象的概念。 ) 定义2:给定一个映射f : A^B,且a ■ A,b ■ B,若元素a与元素b对应,则b叫做a的象,而a叫做 b的原象。(以②③④⑥具体说明谁是谁的象,谁是谁的原象) 。 2、映射定义剖析: 1) 、映射是由三部分构成的一个整体:集合 A、集合B、对应法则f,这一点从映射的符号表示 f: A 〇B可看出,其中集合 A、B可以是数集、点集或其他集合,可以是有限集也可以是无限集,但不能是空 集。(用引例说明) 2) 、映射f: A—B是一种特殊的对应,它要求 A中的任何一个元素在 B中都有象,并且象唯一,即元 素与元素之间的对应必须是“任一对唯一” ,不能是“一对多”。如:引例中①不是 1 1、2},B={0、1、 },对应法则f :取倒数,可记为f:x — ,因A中0无象,所以不是映射。 2 x 1 1 1 3) 的元素允许有相同的象,即可以“多对一” 5) 、映射是有顺序的,即映射 f: A—B与f: B—A的含义不同 3、概念的初步应用 1)、例1、设集合A= {a,b,c } , B= {x,y,z },从集合A到集合B的对应方式如下图所示,其中,哪 几个对应关系是从集合 A到集合B的映射? A B 、映射f: A—B中,A中不同 ,如③。 A 分析:判断两个集合之间的对应关系是否为映射的方法:根据映射的定义,对于集合 A中的任意一个 元素a,在对应法则f的作用下,在集合 B中有且只有一个元素 b与之对应。符合这个条件的就是从集合 A 到集合B的映射,否则就不是。 解:①②③所示的对应关系中,对于集合 A中的任意一个元素,在对应法则 f的作用下,在集合B中 都有唯一确定的元素与之对应,因此,它们都是从集合 A到集合B的映射; 在④所示的对应关系中,对于集合 A中的元素b,没有指定集合B中的对应元素,因此,它不是映射; 在⑤所示的对应关系中,对于集合 A中的元素a,在集合B中有两个元素x、y与之对应,因此,它也 不是因映射。 注:判断两个集合的对应关系是否为映射,关键在于抓住“任意” 论是:一对一,多对一是映射。 例2:判断下列对应是否是从集合 A到集合B的映射 ① 、A=R,B= {x|x>0 且 x€R} ,f: x—y=|x| 解:••• 0€ A,在法则f下0—|0|=0 ② 、A=N B=N,f: x—y=|x-1| 解:••• 1 € A,在法则f下:1—11-1|=0 2 “唯一”这两个关键词,一般性结 B •••不是从集合A到集合B的映射 B._•不是从集合A到集合B的映射 ③ A={x|x>0 且 x€R},B=R,f: x—y=x 解:对于任意x€ A,依法则f: x—x2 € R,/.该对应是从集合 A到集合B的映射 注:映射是两个集合之间的一种特殊的对应关系,它要求集合 A中任意一个元素x,都可以运用对应 法则f实施运算,运算产生的结果 y—定在集合B中,且唯一确定。 2)、由学生自己举几个映射的例子,学生先评判,教师再点评 备 用例子 1 ① A= { -,1,-2 },B= {3,2,1,一,0} f: x—y=-+1,x € A,y € B 2 2 x ② A=R, B=R, f: x—y=2x+1, x € A,y € B 1 1 ③ A=N,B= {0,1} , f:除以2的余数 ④ A= {某商场的所有商品} B= {商品的价格} f:每种商品对自己的价格 小结:①、映射是特殊的对应, 是“一对一”或“多对一”的对应 ② 、映射与对应的关系如图所示 对应 映射 2、7、8 研究课题:(1 )、对应与映射的区别是什么? (2) 、设映射f: A〇B中象集为C,若集合A中有m个元素,象集C中有n个元素,则m与n的关系 是什么? 5、作业:习题2、1 1 (3) 、设 A= {a、b} ,B= {c、d} ① 、用图示法表示集合 A到集合B的所有不同映射; ② 、若B= {c、d、e},则A到B可建立多少个不同映射; 【随飯馈】 1、下列从集合A到集合B的对应中为映射的是 ( ) A、 A ; B ; N .,对应法则 f : x —. x -1; ,■ B、 A = R, B = 对应法则 J_1,(x-0) f : x > y = 2, (x ::: 0) C、 A = B = R,f :x,y = _,x; D、 A = R, B =、x x 0f : x,y = x2 2、已知集合P - 1-4,4 lQ - 1-2,2下列对应x > y,不表示P到Q的映射 的是() A、2 y = x B、 2 1 y x ■ 4 C、 y = _ x -2 2 2 4 D、 x 8 y 【课后检测】 1、在给定的映射 f : x, y ) [2x ■ y, xy )[ x, y ■ R的条件下,点 的原象是 ) C、 2、映射f : A > B定义域A到值域B上的函数,下列结论正确的是( ) A、 A中每个元素必有象,但 B中元素不一定由原象; B、 B中元素必有原象, C、 B中元素只有一个原象; D、 A或B可以空集或不是数集; 3、给定映射f : x, y .:x ■ 2 y, 2x - y在映射f作用下3,的象是 1 4、已知从A到B的映射是fi: x —. 2 x - 1从B到C的映射是f 2 :x 2,1 从x A到C的映射 (选做)已知f是集合A = (1,2)到自身的映射,则这样的映射有多少个?若是一一映射,即这样的一一 映射有多少个? 函数的表示法学案 预习: 【学习目标】 (1) 掌握函数的表示方法; (2) 通过函数的各种表示及其相互之间的转换来加深对函数概念的理解,同时为今后学习数形结合打好 基础。 【自主学习】 1. _________________________ 列表法:通过列出 _ 与对应 ________________ 的表来表示 的方法叫做列表法 跟踪练1 :某种笔记本的单价是 5元/个,买x (x. {1,2,3,4,)个笔记本需要y元,试表示函数y=f (x) 2. ___________________ 图像法:以 _______________ 为横坐标,对应的 ______ 为纵坐标的点 的集合,叫做函数 y= f (x)的图 像,这种用“图形”表示函数的方法叫做图像法 跟踪练2:用图像法做跟踪练 1 2 x . 跟踪练3:作出函数(1) y= (2)y=2x+1,x € Z且x ::: 2的图象。 3. ____________________________ 解析法(公式法):用 来表达函数y=f (x)(x_ A)中的f (x),这种表达函数的 方法叫解析法, 也称公式法。 跟踪练4:用解析法做跟踪练 1 4. 间,有着 这样的函数通常叫做 _____________ 。 跟踪练5:课本例4 跟踪练6:国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算: 1. 信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超过20g付邮资80分,信函质量超过20g, 但不超过40 g付邮资160分,依此类推; 2. 信函质量大于100g且不超过200g时,每100g付邮资200分,即信函质量超过100g,但不超过200g 付邮资(A+200) 分,(A为质量等于100g的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g付邮资 (A+400)分,依此类推. 设一封x g(0 s =60t2,A =「: r2,y = ax “ bx “ c (a = 0). 分段函数:在函数的定义域内,对于自变量 ______ x的不同取值区, 说明:①解析式法的优点是:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于用解析 式来研究函数的性质; ② 中学里研究的主要是用解析式表示的函数。 (2) 列表法:列出表格来表示两个变量的函数关系式。例如:数学用表中的平方表、平方根表、三角 函数表,以及银行里常用的“利息表” 。(见课本P53页表1国民生产总值表) 说明:列表法的优点是:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。 (3) 图象法:用函数图象表示两个变量之间的关系。例如:气象台应用自动记录器,描绘温度随时间 变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。 (见课本P53页图2-2我国人口出生变化曲线) 说明:图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况 例题讲解 例1、某种笔记本每个 5元,买x. {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为 y (元),试写出以 数y的解析式,并画出这个函数的图像 1 解:这个函数的定义域集合是{1,2,3,4},函数的解析式为 y=5x, x {1,2,3,4}. 它的图象由4个孤立点A (1 , D (4 , 20)组成,如图所示■ 5) B (2 , 10) C (3, 15) x为自变量的函 例2国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算: 1、 信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超过 邮资80分,信函质量超过 20g,但不超过40g付邮资160分,依次类推; 2、 信函质量大于100g且不超过200g时,付邮资(A+200)分(A为 于100g的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g付邮资(A+400) 此类推. 设一封x g(0 y 析式为 」20g付 质量等 分,依 y的解析式,并 的解 80, x - (0, 20], 160, 240, 320, 400, 600, x (20, 40], x 三(40, 60], 640- 560 480' 400- 320」 240' 160 Rfl x y x .二(60, 80], x 三(80,100] x 二(100, 200]. 0 20 40 60 SO JOO 乂 x 它的图象是6条线段(不包括左端点),都平行于 轴,如图所示. 在上例中,函数对于自变量 x的不同取值范围,对应法则也不同,这样的函数通常称为分段函数。 注意:分段函数是一个函数,而不是几个函数 . 例3、作出分段函数y =: x -1 ■ x ■ 2的图像 解:根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即: -(2x 1) y x -1 x 2 3 2x1 x _ -2 — 2x 11 x 1 作出图像如右图 例4、作函数y =2x2 -4x -3, (0 - x < 3)的图象. 解:••• x ::: 3 这个函数的图象是抛物线 y=2x2-4x-3 介于0 lx < 3之间的一段弧(如图). 四、课堂练习:课本第56页练习1, 2, 3 补充练习: x x - 0, 1、画出函数y=|x|= x x :: 0. 的图象. 解:这个函数的图象是两条 第二象限的角平分线,如图所示 ,分别是第一象限和 X 五、小结函数的三种表示方法及图像的作法 六、作业:作出函数y4x-2x-3|的函数图像 '2 2 解:y :〇 2 步骤:(1)作出函数y=x_2xj的图象 (2)将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上 (上方部分不变),即得y=|x 3x4|的图象. 2 x .. 2x - 3 2 -(x - 2 x -3) x -2x ■ 2 2 -3 _ 0 x —2 x ■ -3 :: 翻折 函数的单调性学案 一、【学习目标】(自学引导:这节课我们主要任务就是通过对单调性的研究,然后会运用函数单调性解决 题目.这节课的特点是符号较多,希望同学们课下做好预习 .) 1、 理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义; 2、 掌握判断函数单调性的判断方法:定义法和图象法; 3、 熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤 . 课前引导:函数图象上任意点 P(x,y)的坐标有什么意义? 二、【自学内容和要求及自学过程】 观察教材第27页图1.3-2 ,阅读教材第27-28页“思考”上面的文字,回答下列问题 “上升”、“下降”的本质内涵,归纳出增函数的定义) <1>你能描述上面函数的图像特征吗?该怎样理解“上升” 、“下降”的含义? 2 <2>对于二次函数y=x,列出表(1),完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升; x f(x)=x 2 JJ(自学引导:理解 -3 -2 -1 3 4 0 1 2 2结论:<1>函数y=x的图象,从左向右看是 _________ (上升、下降)的;函数 y=x的图象在y轴左侧是_ _的,在y轴右侧是 ________ 的;函数 y=-x的图象在y轴左侧是 ___________ 的,在 y轴右侧是 ________ 的; 按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大;图 象是上升的意味着图象上点的 ____ (横、纵)坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大 . 也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而 _____ ; “下降”亦然;<2>在区 间(0,+4上,任取x1、x2,且x1 阅读教材第28页“思考”下面的内容,然后回答下列问题 JJ(自学引导:同学们要理解增函数的定义,符号比较多,要一一的理解) 2 <3>数学上规定:函数 y=x在区间(0,+叫上是增函数.请给出增函数定义. <4>增函数的定义中,把“当 xi 吗?增函数的定义中,“当xi ■ <5>增函数的几何意义是什么? 结论:<3>i般地,设函数f(x)的定义域为丨:如果对于定义域丨内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1、 x2,当 ______ 时,都有 ____ ,那么就说函数 f(x)在区间D上是增函数;<4>增函数的定义:由于 当xi (自学引导:类比增函数的定义,切实理解减函数的含义 .) 思考 <1>类比增函数的定义,请你给出减函数的定义; <2> 函数y=f (x)在区间D上具有单调性,说明了函数 y=f (x) 在区间D上的图象有什么变化趋势? 结论:<1>一般地,设函数f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 xi、X2,当 _____ 时,都有 ____ ,那么就说函数 f(x)在区间D上是减函数.简称为:步调不一致减 函数.减函数的几何意义:从左向右看,图象是 ____ 的.函数值变化趋势:函数值随着自变量的增 大而减小;<2>函数y=f (x)在区间D上,函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小) ,几 何意义:从左向右看,图象是 ______ ( _____ )(上升、下降)的; 阅读教材第29页第一段,然后回答下列问题 <7>你能理解“严格的单调性”所包含的含义吗?试述之 . 三、讲授新课 1. 引例:观察y=x的图象,回答下列问题(投影 1) 问题1:函数y=x* 1 2 3的图象在y轴右侧的部分是上升的,说明什么? =•随着x的增加,y值在增加。 问题2:怎样用数学语言表示呢? =设 x1、x2€ [0 , +⑴],得 y1=f(x 1), y2=f(x2).当 x1 (学生不一定一下子答得比较完整,教师应抓住时机予以启发 2 2 )。 结论:这时,说y1=x在[0 , +⑴]上是增函数。(同理分析y轴左 一般地,设函数f(x)的定义域为I : 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当x1 ::: x2时都有f (x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数(increasing function )。 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、2,当x1 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,这一区间叫做 y=f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是 上升的,减函数的图象是下降的。 注意:(1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2) 注意区间上所取两点 x1,x2的任意性; (3) 函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。 1、 〖说明〗 1) 。单调区间是定义域的子集; 2) 。若函数f(x)在区间D上是增函数,则图象在 若函数f(x)在区间D上是减函数,则图象在 3) 。单调区间一般不能并 2、 判断单调性的方法: D上的部分从左到右呈 ____ 趋势 D上的部分从左到右呈_趋势 ① 定义; ②导数; ③复合函数单调性:同增则增,异增 则减; ④图象 3、 常用结论: ① 两个增(减)函数的和为 __; 一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是 _; ② ______________________________ 奇函数在对称的两个区间上有 _________________ 的单调性;偶函数在对称的两个区间上有 _______________ 的单调性; ③ _________________________________________ 互为反函数的两个函数在各自定义域上有 的单调性; (III )例题分析 例1.下图是定义在闭区间I.-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每 一个区间上的单调性(课本 P34例1)。 问题3: y=f(x)在区间1-5,-2 , 1,3上是减函数;在区间1-2,1 , 3,5上是增函数,那么在两个区间的 公共端点处, 分析:函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,因此没 有增减变化,所以不存在单调性问题;另一方面,中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数,对于闭区 间的连续函数而言,只要在开区间单调,则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时,包括不包括 端点都可以(要注意端点是否在定义域范围内) 。 说明:要了解函数在某一区间上是否具有单调性, 它需要根据单调函数的定义进行证明。 例2.证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 证明:设任意xi、X2€ R,且xi 从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。 严格地说, 分析:判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤: a. 设xi、父2€给定区间,且 xi 函数的奇偶性学案 •知识梳理 1.奇函数: 对于函数 f (x) 的定义域内任意外 一 则称f (x)为1 奇函数. x,都有 f ( - x)= -f ( x) 〔或 f (x) + f (- x) =0〕, 2.偶函数: 对于函数 f (x) 的定义域内任意- 一个 x,都有 f (- x) =f ( x) 〔或 f (x)- f (- x) =0〕, 则称f (x)为偶函数. 3.奇、偶函数的性质 (i)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是 其定义域关于原点对称). (2) 轴对称. (3) (4) (5) 义在(一⑴,+⑴)上的任意函数f (x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 击双基 1. 下面四个结论中,正确命题的个数是 ① 偶函数的图象一定与 点 ③偶函数的图象关于 y轴对称④ 既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f (x) =0 (x€ R) A.1 B.2 C.3 y轴相交②奇函数的图象一定通过原 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 若奇函数的定义域包含数 0,则f (0) =0. 奇函数的反函数也为奇函数 . 定 . •点 D.4 解析:①不对;②不对,因为奇函数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是奇函数又是偶 函数的函数可以为 f (x) =0〔x€(- a,a)〕. 答案:A 2. 已知函数f (x) =ax2+bx+c (a矣0)是偶函数,那么 g (x) =ax3+bx2 + cx是 A.奇函数 B.偶函数 C. 既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 解析:由f (x)为偶函数,知 b=0,有g (x) =ax3+cx (a矣0)为奇函数. 答案:A A. f ( cos a)> f (cos ^ ) B.f (sin a)> f (cos ^ ) C.f (sin a)> f (sin ^ ) D.f (cos a)> f (sin ^) 解析:•••偶函数f (X)在区间[_ 1 , 0]上是减函数,••• f (X)在区间[0, 1]上为增函数.由a 是锐角三角形的两个内角, • • a + P >90°, a>90°—p.1>sina>cosp>0. • f ( sin a)> f (cos^ ). 答案:B 4. ______________________________________________________________________ 已知f(x) = a2 x+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a = __________________________________ , b= _______ 解析:定义域应关于原点对称, 1 故有 a- 1 = - 2a,得 a=- 3 又对于所给解析式,要使 f (-x)= f (X)恒成立,应b=0. 0 5. 给定函数:①y= (x矣0);②ysx^ ;③y=2;④ylog2x;⑤y=log2 (xvx +1 ). x 在这五个函数中,奇函数是 ___________ ,偶函数是 __________ ,非奇非偶函数是 _______ 答案:①⑤ ②③④ •典例剖析 【例1】已知函数y=f (x)是偶函数,y=f (x-2)在[0,2]上是单调减函数,贝^ A.f ( 0)< f (- 1 )< f (2) C.f (- 1)< f (2) • f (x)在[0,2]上单调递增. 又 f (- 1) =f (1),故应选 A. 答案:A 【例2】判断下列函数的奇偶性: (1) f (x) =|x+1| - |x- 1|; 1 x 1 -x B.f (- 1)< f (0)< f (2) D.f (2)< f ( - 1) ⑵ f (x) (x- 1)2 -.1 - 2 x (3) f (x) | x ■ 2 | -2 (1 -x) (x :::0), ⑷ f (x) (1 ■ x) (x 0). 剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断 . 解:(1)函数的定义域x€(-⑴,+⑴),对称于原点 •• f (-x) =|-x+1|-|-x- 1|=x- 1|-|x+1|= -( |x+1|- |x- 1|) = -f(x), •••f (x) =|x+1-|x-1|是奇函数. 1 “ x (2)先确定函数的定义域.由^ >0,得-1 奇函数也不是偶函数. (3)去掉绝对值符号,根据定义判断 2J:1 _x _1, 1 -x _0, 得 口 由 | x ■ 2 | -2 二 x,0且 x 二-4. 0, f (x)既不是 /■ 故(x)的定义域为[-1,0) U (0, 1],关于原点对称,且有x+2>0.从而有(x) = 1 — x . 2 2 ■^1 — x . x “ 2 —2 x 2 ■ / ----- 2 1 -x这时有 f ( — x) =2__ = - '. = — f (x),故 f (x)为奇函数. ..x x (4)_.•函数f (x)的定义域是(一⑴,0)U( 0, +⑴),并且当x>0时,一x< 0, ••• f (— x) = (— x) [ 1 —(— x) ] =— x (1+x) = — f (x) ( x>0). 当 x<0 时,一x>0,. . f ( — x) = —x ( 1—x) = —f (x) (x<0). 故函数f (x)为奇函数. 评述:(1)分段函数的奇偶性应分段证明 . (2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式 . 【例3】(2005年北京东城区模拟题)函数 f (x)的定义域为D={x|)^0},且满足对于任意 ( x) xr x 2 € D,有 f (x12 x2) =f (x1) +f (x2). (1) 求f (1)的值; (2) 判断f (x)的奇偶性并证明; (3) 如果f (4) =1,f (3x+1) +f (2x—6)< 3,且f (x)在(0,+⑴)上是增函数,求 x的取值范 围. (1) 解:令 \\=x2=1,有 f (13 1) =f (1) +f (1),解得 f (1) =0. (2) 证明:令 x1=x2=—1,有 f [(— 1) 3 (— 1) =f (— 1) +f (— 1).解得{(—1)=0. x 令 1= — 1,x2=x,有 f (— x) =f (— 1 ) +f ( x),••• f (— x) =f ( x) . ••• f (x)为偶函数. (3) 解:{(43 4)={(4)+{(4)=2,{(163 4)={(16)+”4)=3. •••f (3x+1) +f (2x—6)<3 即 f (3x+1) (2x—6) -(3x ■ 1)( 2 ^6 64 , x . 3或 x - , 或 3 x _5 731 1 或 3, 3 jx e R. x ::: • •3<父<5或—<父<—或—<父<3. 3 3 3 7 1 1 ••• x的取值范围为{x|— 评述:解答本题易出现如下思维障碍: (1) 无从下手,不知如何脱掉“ f” .解决办法:利用函数的单调性. (2) 无法得到另一个不等式.解决办法:关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同,偶函数 的单调性 相反. 深化拓展 已知f (x)、g (x)都是奇函数,f (x)> 0的解集是(a,b),g (x)> 0的解g a,那么f (x)2 g (x)> 0的解集是 b A.( ,一) 2 2 2 b )U(— _ C. (a, 2 b 2 a) 2 2 2 11 a b b —,-),-> 2 2 2 2 a 2 B. (— b,— a) D. ( —,b)U(— b, 2 2 2 a) 2 提示:f (x)2 g (x)> 0^ f(x) 0,或 gf (x) 0 (x) ::: x€( , C a 2 b 2 b )u(— —,一 a) 2 2、 【例4】(2004年天津模拟题)已知函数 f (x) =x+上+m (p矣0)是奇函数. x (1) 求m的值. (2) (理)当x€[1,2]时,求f (x)的最大值和最小值. (文)若p>1,当x€[1,2]时,求f (x)的最大值和最小值. 解:(1)v f (x)是奇函数, •• • f( — x) = P — f( x) . P • — x— + m=— x— — m. x x • 2m=0. • m=0. (2)(理)(i)当p<0时,据定义可证明f (x)在[1, 2]上为增函数 f (2) =2+ , 2 f (x) .• min=f ( 1) =1 + p. f ( x) max= (ii)当p> 0时,据定义可证明f (x)在(0,... p ]上是减函数,在[...p,+⑴)上是增函数 ①当..p <1,即0 f ( x)f (x) • • max=f ( 2) =2+ —, min = f ( 1 ) =1 + p. 2 ②当..p €[ 1,2]时,f (x)在[1,p]上是减函数在[p,2]上是增函数. f (x) min = f ( '. p ) =2 ' p . f (x) max=max{f (1),f (2) }=max{1+ p,2+ —}. p 2 , p p 当 1 2+—,f (x) max=f (1). 2 2 ③当...p > 2,即 p> 4 时,f (x)在[1,2]上为减函数,• f ( x) max=f ( 1) =1+p, f (x) min = f (2) r =2+ 2 p (文)解答略 评述:f (x) =x+l (p>0)的单调性是一重要问题,利用单调性求最值是重要方法 . x 函数的基本性质要点精讲 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意x都有f(—x)= —f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数 f(x)定义域内的任意x都有f( —x)=f(x),则称f(x)为偶函数。 如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质, 则f(x)既是奇函 数,又是偶函数。 注意: ⑦函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ② 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是, 对于定义域内的任意一个 x,则— x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ② 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; (②确定f(—x)与f(x)的关系; ②作出相应结论: 若 f(—x) = f(x)或 f(—x)—f(x) = 0,贝^ f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x)或 f(-x) + f(x) = 0,贝^ f(x)是奇函数。 (3) 简单性质: ① 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充 要条件是它的图象关于 y轴对称; ② 设f (x),g(x)的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇 2. 单调性 (1) 定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自 变量xi,x2,当xi 注意: ③ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 0必须是对于区间D内的任意两个自变量 xi,x2;当xi (3) 设复合函数y= f[g(x)],其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间,B是映射g : x—u=g(x)的 象集: ① 若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y= f(u)在B上也是增(或减)函数,贝画数 y= f[g(x)]在A上 是增函数; ② 若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而 y= f(u)在B上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)]在A上是 减函数。 (4) 判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: ③ 任取 xi,x2€ D,且 xi ③ 变形(通常是因式分解和配方); ④ 定号(即判断差f(xi)-f(x2)的正负); ③ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间D上的单调性)。 (5) 简单性质 ① 奇函数在其对称区间上的单调性相同; ② 偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③ 在公共定义域内: 增函数f(x).增函数g(x)是增函数; 减函数f ( x) •减函数g( x)是减函数; 增函数f(x)-减函数g(x)是增函数; 减函数f(x)-增函数g(x)是减函数。 3. 最值 (1) 定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足:①对于任意的 x€I,都有f(x) ④ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x〇€ I,使得f(x〇) = M ; ④ 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x€ I,都有f(x) ④ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a, b]上单调递增,在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 4. 周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 为周期函数; T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有f(x+T)= f(x),则称f(x) (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作f(x . ) ; f(x -I),若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它 T 2 2 为f(x)的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为T,则f(wx) (w^0)是周期函数,且周期为 四. 典例解析 题型一:判断函数的奇偶性 例1 .讨论下述函数的奇偶性: 1n ( ., x “ 1 x)( x . ,16 x 1 2 x (1)f (x) 2 x 0) (2) f (x) ;7〇 (x ;0) 1n ( ,1 - x . - x)( x ;:: (3) f (x) 1og 2 . . x22 (■-. 1 - x -1 〇) ^ 2 2 (4) f (x) ■ 丨xa - x■ a 丨-(a常数 a =〇); 解:(1)函数定义域为 R, 16 x x x f ( _x) __ ■ 1 . 2 2x V .1 uv 1 16 1 x ,16 x 1 2 2 _x 16 4 1 (x) 2 x ff(x)为偶函数; (另解)先化简: -.16 x f (x) ■ 1 x _ x 4 x 1=4 4 1,显然f(x)为偶函数;从这可以看出,化简后再解决要容易得多。 (2)须要分两段讨论: ①设 x ■ 0 ^ -x ::: 0, .f ( -x) =1n( . 1 x — ^x) 1n 1 1n( . x 1x) = - f (x); .x 1 - ■ x ②设 x ::: 0,. -x . 0, f (-x) =1n( -x 1 —.- x) = 1n1 1 -x 、 - x-1n (■■1 - x —a ) = _f (x) ③ 当 x=0 时 f(x)=0,也满足 f(—x)= —f(x); 由①、②、③知,对 x€ R有f(-x) =-f(x), •••f(x)为奇函数; 1 - x2 _ 0 — 2 (3) . . : x = 1 2 •••函数的定义域为 x =:__1, x -1 _ 0 •••f(x)=log21=0(x=± 1),即f(x)的图象由两个点 A (— 1,0)与B (1,0)组成,这两点既关于对称,又关于原点对称,• f(x)既是奇函数,又是偶函数; (4) :x2 —a - x - a 丨 ①当a >0时, x ' a ^ a =:.函数的定义域为 [(-a,0) (0,a)], 2 .丨 x “ a 丨-0,. f (x) -x ,•••当a >0时,f(x)为奇函数; x T 〇 丨 ■. y轴 x ■ a h' 〇, f (x) ,取定义域内关于原点对 -x _2a a - x 称的两点 Xi a ,x2 2 a , 2 a a -3.3 f ( ) _ f ( - ) 0,当a 0时,f (x)既不是奇函数,也不是偶函数 . 2 2 5 3 点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数 的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变) 。 2 例2. (2002天津文.16)设函数f (x)在(-⑴,+叫内有定义,下列函数:① y=-|f (x)丨;②y=xf (x);③ y=-f (-x);④ y=f (x)-f (-x)。 必为奇函数的有 ______ (要求填写正确答案的序号) 22 答案:②④;解析: y= (- x) f [(- x) ] = - xf (x) =-y; y=f (- x)- f (x) =-y。 点评:该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。 题型二:奇偶性的应用 例3. (2002上海春,4)设f (x)是定义在R上的奇函数,若当 x>0时,f (x) =log3 (1+x),贝^ f (-2) = ___________ 一。 答案:-1;解:因为x>0时,f (x) =log3 (1+x),又f (x)为奇函数,所以f (- x) =-f (x),设x < 0,所以 f (x) = — f (— x) = — f (1 — x),所以 f (— 2) = — log33=— 1。 点评:该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。 例4.已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2-x),且f(x)是偶函数,当 x€ [0,2]时,f(x)=2x -1, 求x€ [-4,0]时f(x)的表达式。 解:由条件可以看出,应将区间 [ — 4, 0]分成两段考虑: ①若 x€ [-2,0],- x€ [0,2], ••• f(x)为偶函数, •••当 x€[-2,0]时,f(x)=f(-x)=-2x-1, ②右 x€ [ — 4,— 2), • 4+ x^ [0,2), • f(2+x)+ f(2 - x), • f(x)= f(4 - x), • f(x)= f(— x)= f[4 —(— x) ]= f(4+x)=2 (x+4)— 1=2x+7; 2x 7 (d; x _= 2) 综上,f (x) . -2x 叫 (-2 < x < 0) 点评:结合函数的数字特征,借助函数的奇偶性,处理函数的解析式。 题型三:判断证明函数的单调性 例5. (2001天津,19)设a .0,f (x) (1)求a的值;(2)证明f(x)在(0, e a x x a e 上为增函数。 是R上的偶函数。 1 解:(1)依题意,对一切 x f R,有 f ( -x) = f (x),即一-■ aeX ae 1x1 • (a )(e a e a e a x 「);0对一切 x ■ R成立,贝^ a e 1 a 0,••• a - -1, •a 0,•• a ;1。 (2)(定义法)设 0 tx,::父2,贝^ HxJ-HxJseX1 -e2 ■ 1 x1 x9 -x1 1 一 e ^(e -e )(^;7 -1) =e (e -1) , e e x2 由 x, . 0, x2 . 0, x2 . 0,一 -1 >0 得 ' .x2 ■ 0, e :x 1 1 x1 2 e e x x9 x1 x2 \"^1 1 -ex24x1 <0 • • f (xi) - f (x2) ::0, 即 fh) f(x)在(0,■:=)上为增函数。 (导:::f(X2),... 数法)• a 二 1,x 三(0,--■) x e x ••• f (x)在(0,■::)上为增函数••• f (x) = (ex x 2 4) =e x 1 (e ) -1 0 点评:本题用了两种方法:定义法和导数法,相比之下导数法比定义法更为简洁。 例6.已知f(x)是定义在R上的增函数,对x€ R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)= f(x)+ 的单调性,并证明你的结论。 解:这是抽角函数的单调性问题,应该用单调性定义解决。 在 R 上任取 x1、x2,设 x1 ]-[f(xJ fA) ], f (xi) f (x2) 1 =[f(x2) - f (xj][1 ] f (x1) ,讨论F (x) f (x) 1 ••• f(x)是R上的增函数,且 f(10)=1, •••当 x<10 时 0< f(x)<1,而当 x>10 时 f(x)>1; ① 若 x1 •• 1 <0, f (xj f (x2) • F (x2)< F(x1); ②若 x2 >x1>5,贝^ f(x2)>f(x1)>1 , • f(x1)f(x2)>1, 1 ••• 1 >0, f (x1) f (x2 ) •• F(x2)> F (x1); 综上,F (x)在(一⑴,5)为减函数,在(5,+⑴)为增函数。 点评:该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题,其基本能力 是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点。 题型四:函数的单调区间 例7. (2001春季北京、安徽,12)设函数f (x)= ------------- (a>b>0),求f (x)的单调区间,并证 x b x a 明f (x)在其单调区间上的单调性。 .解:在定义域内任取 x1 < x2, • T ( x1)- T (x2) = x1 a x2 b _ (b -a)(x1 - x2) (x1 b)(x2 b) x2 a (x1 a)(x2 b) -(^ b)(x2 a) x2 b (x1 b)(x2 b) • a > b> 0,•• b — a < 0,x〈 一 x2 < 0, 只有当x1 点评:本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的 单调区间。 2 例8. ( 1)求函数y =l〇g 07 (x _3x十2)的单调区间; (2)已知f (x) =8 ■ 2x -x2,若g (x) = f (2 - x2)试确定g (x)的单调区间和单调性。 解:(1)函数的定义域为(.,1)_. (2,:〔!:〇), 分解基本函数为y = log 0 7 t、t = x2 -3x ■ 2 显然y = log 〇7 t在(0,■::)上是单调递减的,而t = x 2 —3x ■ 2在(c.,1),(2,■::)上分别是单调递减和 单调递增的。根据复合函数的单调性的规则: 所以函数y ;log 〇.7(x2 -3x .2)在(_::,1),(2, ■::)上分别单调递增、单调递减。 (2)解法一:函数的定义域为 R, 分解基本函数为9=“〇--士2“2父“8和士=2-1。 显然g = f⑴-—t2 . 2x . 8在(1,■::)上是单调递减的,(,1)上单调递增; 而t =:2 -x2在(二,0),(0, ■::)上分别是单调递增和单调递减的。且 2-x2 =1=:. x根据复合函数的单调性的规则: 所以函数的单调增区间为 (-:,-1),(0,1);单调减区间为(1,、:),(-1,0)。 解法二:g(x) ;8 ■ 2(2 —x2) —(2 —x2)2 _ -x4 . 2x2 ■ 8, ■ 3 g (x) _ _4x A4x, 令 g (x) .0,得 x -1 或 0 ::: x ::: 1, 令 g (x) ::: 0,x . 1 或-1 ::: x ::: 0 • ••单调增区间为(」:,-1),(0,1);单调减区间为(1,.::),(-1,0)。 点评:该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。 题型五:单调性的应用 例9.已知偶函数f(x)在(0,+⑴)上为增函数,且f(2)=0,解不等式f [log2(x2+5x+4)]> 0。 解:••• f(2)=0, •••原不等式可化为 f [log2(x2+5x+4)]> f(2)。 又••• f(x)为偶函数,且f(x)在(0,+⑴)上为增函数, ••• f(x)在(-⑴,0)上为减函数且 f(- 2)=f(2)=0。 •不等式可化为 log2(x2+5x+4) > 2 ① 或 log 2(x +5x+4) 2 ② 由①得 x2+5x+4 >4,• x< —5 或 x> 0 ③ 1 由②得0 4 -5 -、10 5 、10 _ 由③④得原不等式的解集为 {x^<— 5 或 ~5 ~ 10 2 2 例10.已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+⑴]上是增函数,是否存在实数 0—3)+f(4m—2mcos 0 )>f(0)对所有0 €[ 0,]都成立?若存在,求出符合条件的所有实数 2 若不存在,说明理由。 解:••• f(x)是R上的奇函数,且在[0,+⑴]上是增函数, • f(x)是R上的增函数,于是不等式可等价地转化为 f(cos2 0—3)>f(2mcos 0 — 4m),良P cos2 0—3>2mcos0—4m,即 cos 0—mcos0+2m—2>0。 设t=cos0,则问题等价地转化为函数 2 2 m 2 m g(t) =t — mt+2m— 2=(t — ) — +2m—2在[0,1 ]上的值恒为正,又转化为函数 2 4 上的最小值为正。 二1, m,使f(cos2 m的范围, g(t)在[0,1] ••当 <0,即 m<0 时,g(0)=2m—2>0= m>1 与 m<0 不符; 2 2 当 0< < 1 时,即 0< m<2 时,g(m)=- ^+2m-2>0: 4—2 2 . . m 2 • 4 — 2 2 m 当一>1,即 m>2 时,g(1)=m —1>0二 m>1。 2 • • m>2 综上,符合题目要求的 m的值存在,其取值范围是 m>4 — 2 2。 另法(仅限当m能够解出的情况):cose — moose+2m — 2>0对于0€[0,]恒成立,等价于 m>(2 2 _ 2 —cos e )/(2 — cos e)对于 ee [0, ]恒成立 2 _ 2 ••当 ee[0,二]时,(2—cose )/(2—cose ) <4-2、2,••• m>4-2、2。 2 点评:上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。 题型六:最值问题 2 例 11. (2002 全国理,21)设 a 为实数,函数 f (x) =x+|x-aM,x€ R。 (1) 讨论f (x)的奇偶性;(2)求f (x)的最小值。 2 解:(1)当a=0时,函数f (—x) = (—x) +| —x卜1=f (x),此时f (x)为偶函数。 22 当 a矣0 时,f (a) =a+1,f (— a) =a+2|a卜1,f (— a)矣 f (a),f (— a)矣一f (a)。 此时函数f (x)既不是奇函数,也不是偶函数。 1 22 3 2 2 (2) ①当 x< a 时,函数 f (x) =x —x+a+1= (x— ) +a+ 。 2 4 1 若a< ,则函数f (x)在(-⑴,a)上单调递减,从而,函数 f (x)在(-⑴,a)上的最小值为 2 2 f (a) =a +1。 1 13 1 _ 若a> ,则函数f (x)在(—⑴,a]上的最小值为f( ) =+a,且f ()< 2 2 4 2 f (a)。 1 3 22 ②当 x>a 时,函数 f (x) =x+x—a+1= (x+ ) — a+ 。 2 4 1 13 1 若a< ----- ,则函数f (x)在[a,+⑴)上的最小值为f ( ----------- ) = ---- a,且f( ----- )< f( a)。 2 2 4 2 若a>— ,则函数f (x)在[a,+⑴]上单调递增,从而,函数 2 2 f (a) =a +1。 综上,当a< — 时,函数f (x)的最小值是—a。 2 4 22 1 f (x)在[a,+叫上的最小值为 1 当一i2 2 1 3 1 当a> 时,函数f (x)的最小值是a+2。 2 4 点评:函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题,如果平时注意知识的积累,对解此题会有较大 帮助.因为x€ R,f (0) =|a卜1矣0,由此排除f (x)是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知,当 a=0 时,f(x)是偶函数,第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。 2 例 12.设 m 是实数,记 M={ m|m>1} , f(x)=log3(x-4mx+4m+m+ — (1) 22 )。 m —1 证明:当m € M时,f(x)对所有实数都有意1 义;反之,若 f(x)对所有实数x都有意义,则m€ M ; (2) 当m€ M时,求函数f(x)的最小值; (3) 求证:对每个m€ M,函数f(x)的最小值都不小于3 [(x-2m)+m+ 、 f(x)变形: 1。f(x)=log 2 1 (1)证明:先将 m -1 ], 2 1 当 m€ M 时,m>1,. .(x-m)2 +m+ — >0 恒成立, m -1 故f(x)的定义域为R。 反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则只须 ?-4mx+4m2 +m+ 1 >0。 m —1 令△<0,即 16m2 —4(4m2 +m+ 1 )< 0,解得 m>1,故 m € M m —1 2 2 1 (2) 解析:设 u=x — 4mx+4m +m+ m —1 •••y=log3u是增函数, • _ •当u最小时,f(x)最小。 2 1 而 u=(x-2m)+m+ , m -1 显然,当x=m时,u取最小值为m+ 1 m -1 此时 f(2m)=log3(m + 1 )为最小值。 m —1 1 1 (3)证明:当 m € M 时,m+ =(m- 1)+ m —1 + m 当且仅当1 > 3. m=2时等号成立。 1 •• log3(m + m -)> log 33=1 点评:该题属于函数最值的综合性问题,考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。 题型七:周期问题 例13.若y=f(2x)的图像关于: x a —和x (b . a)b 对称,则f(x)的一个周期为( 2 2 ) a b A. B. 2(b -a) C. b —a D. 4(b,a) 2 2 解:因为y=f(2x)关于x 对称,所以a f(a+2x)=f(a-2x) 2 所以 f(2a-2x)=f[a+(a-2x)]=f[a-(a-2x)]=f(2x)。 同理,f(b+2x) =f(b-2x), 所以 f(2b-2x)=f(2x), 所以 f(2b- 2a+2x)=f[2b- (2a- 2x)]=f(2a- 2x)=f(2x)。 所以f(2x)的一个周期为2b-2a, 故知f(x)的一个周期为4(b-a)。选项为D。 点评:考察函数的对称性以及周期性,类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若 函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称(a矣b),则这个函数是周期函数,其周期为 2 (b-a)。 例14.已知函数y = f (x)是定义在R上的周期函数,周期 T = 5,函数y = f (x)( -1 x _ 1) 数又知y = f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=: 2时函数取得最小值 -5。 ①证明:f (1) ■ f (4) ;0 ; 奇函: ② 求y = f (x), x :二[1, 4]的解析式; ③ 求y二f ( X)在[4, 9]上的解析式。 解:••• f(x)是以5为周期的周期函数, • •• f(4)二 f (4 -5)二 f (_1), 又••• y =: f (X)( -1 1 X 11)是奇函数, • •• f (1) 一f (-1) 一f (4), • • f (1) ■ f (4)二 0。 ② 当 x .二[1, 4]时,由题意可设 f (x) = a(x -2)2 -5 ( a . 0), 由 f (1) ■ f (4) = 0 得 a(1 -2)2 -5 . a(4 -2) 2 -5 =0, •• a = 2, . 2 •• f (x) = 2( x - 2) -5(1 _x _4)。 ③ • y =:f (x)( -1 lx 11)是奇函数, • f (0) -0, 又知y = f (x)在[0,1]上是一次函数, • ••可设 f (x) = kx(0 _ x _1),而 f (1) = 2(1,2) 2 -5 = -3, • • k = -3,••当 0 ix S1 时,f (x) - -3x, 从而当-1 x ::: 0 时,f (x) = - f (-x) = -3x,故-1 s x .i1 时,f (x) = -3x。 •••当 4 _ x _ 6 时,有-1 _ x - 5 _ 1, • •• f (x) = f (x -5) - -3(x -5) - -3x “15。 当 6 ::: x 19 时,1 ::: x -5 14, • • f (x) = f (x -5) =2[( x -5) -2] • f(x) = 丨二3 x 15, 4 S x < 6 2 2 2 -5 = 2( x -7) -5 2( x -7) -5, 6 ::: x i 9 。 点评:该题属于普通函数周期性应用的题目,周期性是函数的图像特征,要将其转化成数字特征。 五. 思维总结 1. 2. (-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内 判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价形式:f(-x) 对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在 f(-x)=f(x)和f = f(x) f( -x) f(x)=0 ; 任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称 这是函数具备奇偶性的必要 条件。稍加推广,可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意 x,都有f(x+a)=f(a-x) 成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映; 3. 若奇函数的定义域包含 0,则f(0)=0,因此,“f(x)为奇函数”是\"f(0)=0\"的非充分非必要条件; 4. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的对称性可以判断函数 的奇偶性。 5. 若存在常数T,使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立,则称T为函数f(x)的周期,一般所 说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集。 6. 单调性是函数学习中非常重要的内容,应用十分广泛,由于新教材增加了“导数”的内容,所以 解决单调性问题的能力得到了很大的提高,因此解决具体函数的单调性问题,一般求导解决,而解决与抽 象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意,关于复合函数的单调性的知识一般用于简单 问题的分析,严格的解答还是应该运用定义或求导解决。 指数函数及其性质学案 一、 学习目标: 1. 理解指数函数的概念,并能正确作出其图象,掌握指数函数的性质 2. 培养学生实际应用函数的能力 二、 学法指导: . 1. 在正确理解理解指数函数的定义,会画出基本的指数函数的图象,并且能够归纳出性质及其简单应用 2. 指数函数的图象和性质的学习,能够学会观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法 . 3. 掌握函数研究的基本方法,激发自主学习的学习兴趣 三、知识要点 1.指数函数的定义:函数 叫做指数函数,其中 x是自变量,函数定义域是 2.指数函数的图象和性质: y = ax(a . 0且a1)的图象和性质 二 a>1 0引例1:某种细胞分裂时,由 1个分裂成2个,2个分裂成4个,,,.1个这样的细胞分裂x次后, 得到的细 胞个数y与x的函数关系是什么? 分裂次数:1, 2, 3, 4,,, x 细胞个数:2, 4, 8, 16,,, y 由上面的对应关系可知,函数关系是 函数关系式为 y =0.85x 在y =:2' y =0.85x中指数x是自变量,底数是一个大于 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于 (二)新课讲解: 1.指数函数的定义: 函数y = ax (a . 0且a 1)叫做指数函数,其中 x是自变量,函数定义域是 R 探究1 :为什么要规定a>0,且a二1呢? ① 若a=0,则当x>0时,ax =0;当x 10时,ax无意义. 1 1 ② 若a<0,则对于x的某些数值,可使a 无意义.如(-2) ,这时对于x=- , x=-,,等等,在实 4 2 x x y =2 x 引例2:某种商品的价格从今年起每年降低 15%设原来的价格为 1, x年后的价格为y,则y与x的 0且不等于1的常量. 0且不等于1的常量的函数叫做指数函数. 数范围内函数值不存在. ③ 个常量,没有研究的必要性 定义域是 R,值域是(0,+〜). 探究2:函数y =2 3x是指数函数吗? 指数函数的解析式 y=ax中,ax的系数是1. 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如 y=ax+k (a>0且a:: 1, k. Z);有些函数看起来不像指数 函数,实际上却是,如 y=a』(a>0,且a:=1),因为它可以化为 2.指数函数的图象和性质: 在同一坐标系中分别作出函数 y=2, y= x 若a=1,则对于任何x. R, ax=1,是一. 为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a=1在规定以后,对于任何x. R, ax都有意义,且ax>0.因 此指数函数的 1 1 y= ,其中一>0,且 1 a ) a a 1 x x 1 2 x ,y=10 x 1 y= 10 的图; 列表如下: x y=2 y= x x 11 1 -3 -2 -1 0.13 0.25 0.5 8 4 2 1 ( 2-0.5 0 0.71 1 1.4 1 0.5 1.4 1 i 2 8 0.71 0.5 0.25 0.13 i 2 4 3 i x y=10 x y=—. 10 f〇x i i i -1.5 0.03 31.62 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 i 1.5 10 31.62 i 0.1 0.03 i 1 我们观察y 2x,y= = x ,y=l〇 , y= x — 1的图象特征,就可以得到 y = a x (a . 0且a二1)的图象 10 和性质 a>1 图 象 0 - 0例1某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1年剩留的这种物质是原来的 84%画出这种物质 的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字) 分 析:通过恰当假设,将剩留量 y表示成经过年数x的函数,并可列表、描点、作图,进而求得所求 解:设这种物质量初的质量是 1,经过x年,剩留量是y 经过1年,剩留量y=13 84%=0.841; 经 过2年,剩留量y=13 84%=0.842; ” 1 一般地,经过x年,剩留量 y=0.84 x 0 5 ,.5 ■、 ^— _ -050 1 2 3 4 5 根据这个函数关系式可以列表如下: x y 4 5 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 1 用描点法画出指数函数 y=0.84x的图象从图上看出 y=0.5只需x〜4. 答:约经过4年,剩留量是原来的一半 评述:指数函数图象的应用;数形结合思想的体现 例2 (课本第81页)比较下列各题中两个值的大小: 0 1 2 36 0.35 2.5 3 0 1.7 ,1.7 ; 解:利用函数单调性 0.1 0.2 _ ② 0.8,0.8 ; _0.3 3.1 ③ 1.7 ,0.9 y= 1 .7x,当x=2.5和3 ①1 .7 25与1 .73的底数是1.7,它们可以看成函数 时的函数值;因为1.7>1,所以函数y=1 .7x在R是增函数,而2.5<3,所以, 2.5 3 1.7 <1.7 ; ②0.8 I1与0.8』.2的底数是0.8,它们可以看成函数 y= 0 .8x,当x=-0.1 和-0.2时的函数值;因为0<0.8<1,所以函数y=0.8在R是减函数,而-0.1>-0.2 1.7 >0.9 0 331 ③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号: 1 .7 >1 ; 0.9 < x 0 33 工 fx = 0.8x , ■ ■ ■ 0. 0 0 . m mil 3 — —门 0 3 f 1 22.' t 227 2.4 2 22- — i_l2 LU J —■ ■ 2 1—.8- L9 x 0 1 一 ■■ rr ■一 ■ ■ ■ ■ ■ / x 1 x 14 \\ = .7 f , —■, 2: ■ E - _ 08 — ■= —H 一 : — I04 □— 02- 1 . - ■ | - - ■ - | [= 二 小结:对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的 两个函数值;对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较 . 求下列函数的定义域、值域: ■ r ■ ■■ ——■■ ■ ——圈—国 ■— i \"-Ihi#\"— 05 1.5 ■25-■ 1 ■35i i 1 l l 1 11 11 j1 11 11 11 11 11 11 1i ii i5 ⑴ y = 0.4 丄 (2) y = 3 :(3) y = 2 1 分析:此题要利用指数函数的定义域、值域,并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就 是使函数表达式有意义的自变量 x的取值范围 x x^I 解(1)由x-1矣0得x矣1 所以,所求函数定义域为 由 0,得产 x 一1 1 1 {x|x矣1} 所以,所求函数值域为{y|y>0且y矣1} 说明:对于值域的求解,在向学生解释时,可以令 ------- t,考察指数函数y=o.4t ,并结合图象直观 x -1 地得到,以下两题可作类似处理 (2)由 5x-1 >0 得 x _ 5 所以,所求函数定义域为{x| x _-} 5 由、.5x -1 >0 得 y>1 所以,所求函数值域为{y|y >1} (3)所求函数定义域为 R 由 2x >0 可得 2x +1>1 所以,所求函数值域为{y|y>1} 通过此例题的训练,学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域, 还应注意书写步骤与格式的规范性 五、课堂小练 2 4 ⑴比较大小:(_2.5)3 , (-2.5) 5 ⑵81页练习1 ⑶比较下列各数的大小:10, 0.4 ^5, 2』.2 , 对数函数学案