交变电流的产生和变化规律
目标认知学习目标
1．了解交变电流，理解正弦交流电的概念。
2．理解正弦交流电的产生过程及产生条件，能够利用电磁感应定律推导计算正弦交流电的瞬时值表达式
。
三个方面的结合上去理解
3．从正弦交流电产生过程、变化图象及解析式它的变化规律。
4．理解描述交流电的物理量：最大值、有效值、周期、频率等的意义及相应计算，尤其是有效值的意义和相关计算。
5．能够熟练地写出正弦交流电的瞬时值表达式以及从它的变化图象上读出有用信息。 6．了解电感电容对交流电的影响以及交流电、直流电作用于电感电路的不同之处；了解电感和电容在交流电路中的应用。
7．能将电磁感应的相关知识迁移到本部分内容中解决问题；能理解物理学等效思想的意义。
学习重点
1．对正弦交流电的产生过程和变化规律的理解。
2．理解描写交流电的物理量，能熟练地写出正弦交流电的瞬时值表达式，熟练地进行最大值与有效值的计算。
学习难点
,.
1．正弦交流电产生过程以及对中性面特点的理解。
2．有效值的意义以及应用有效值的概念进行能的转化和守恒的有关计算。 3．电感和电容对交流电影响。
知识要点梳理
知识点一：直流电和交流电
要点诠释： 1．直流电
电流的方向不随时间变化的电流或电压叫做直流电。直流电可以分为：脉动直流电和恒定电流两种形式。
脉动直流电：电流或电压的大小随时间发生变化，但方向不发生变化，如图甲、乙所示。 恒定电流（或恒定电压）：电流或电压的大小和方向都不随时间发生变化，如图丙、丁。
2．交流电
电路中的电流大小和方向都随时间做周期性的变化，这样的电流叫交变电流，简称交流
,.
（AC）。
实际应用中，交变电流有不同的变化规律，常见的有以下几种，如图所示。
知识点二：正弦交流电的产生和变化规律
要点诠释： 1．实验装置
如图所示，一个线圈在匀强磁场中绕着垂直于磁场的轴匀速转动时，就会在线圈中产生正弦交流电。
注意如下几点：
①线圈所在空间的磁场是匀强磁场； ②线圈匀速转动；
③线圈的两个端分别固定在完整的滑环L、K上，碳刷F和E各自与L、K始终相接，也就是说，每个碳刷始终和线圈的同一个端相接对外供电。（这是与直流发电机所不同的地方）。
,.
2．正弦交流电方向变化的位置——中性面 （1）中性面
线圈平面与磁感线垂直的位置，如上图中甲、丙线圈所在平面即为线圈中性面。
（2）中性面的特点
①线圈的各边都不切割磁感线，线圈中无感应电动势和感应电流产生。
②线圈每经过一次中性面，电流的方向就改变一次，线圈每转一周电流方向改变2次。
③在中性面处线圈包围的磁通量最大，但其变化率
3．正弦交流电电动势最大的位置——与中性面垂直的位置 如上图乙、丁线圈所在位置。 （1）与中性面垂直的位置的特点
。
由于磁场与线圈平面平行，所以磁通量为零，但是磁通量的变化率却最大，因此感应电动势最大，感应电流最大。
（2）此位置线圈的AB边和CD边的速度方向与磁感线垂直 线圈远离此位置时，感应电动势变小。
4．正弦交流电：电动势、电流、电压随时间的变化规律
（1）正弦交变电流的瞬时表达式（从中性面开始计时）
,.
其中i、u、e分别表示电流、电压、电动势的瞬时值，Im、Um、Em分别表示电流、电压、电动势的最大值。
（2）正弦交变电流的图象 如图：
（3）对正弦交变电流的图象的理解
正弦交变电流随时间变化情况可以从图象上表示出来，图象描述的是交变电流随时间变化的规律，它是一条正弦曲线，如图所示： 从图象中可以解读到以下信息： ①交变电流的最大值Im、Em、周期T。
②因线圈在中性面时感应电动势、感应电流均为零，磁通量最大，所以可确定线圈位于中性面的时刻。
③找出线圈平行磁感线的时刻。 ④判断线圈中磁通量的变化情况。 ⑤分析判断i、e随时间的变化规律。
知识点三：正弦交流电瞬时值表达式的推导过程及求解步骤
要点诠释：
1．交变电流的瞬时值表达式的推导
设线圈从中性面起经时间t转过角度，则=ωt， 此时两边ab、cd速度方向与磁感线方向的夹角分别为
和（180°－ωt），如图所示：
,.
它们产生的感应电动势同向相加，整个线圈中的感应电动势为：
因为
，代入上式中得：
。
对纯电阻电路，设闭合电路总电阻为R，由欧姆定律得闭合回路的电流瞬时值
。
此时加在电路的某一段电阻R＇上的电压瞬时值：
2．求解交变电动势瞬时值的步骤
。
①确定线圈转动是从哪个位置开始计时。 ②确定表达式是正弦还是余弦。 ③确定转动的角速度ω及N、B、S等。
④求出峰值Em，写出表达式，代入角度求瞬时值。
知识点四：描述交流电的物理量
要点诠释：
1．描述交变电流大小的物理量
（1）峰值
,.
交变电流在一个周期内所能达到的最大值，峰值可以用来表示交变电流的强弱或电压的高低，但不适于用来表示交流电产生的热量或转化为多少其它形式的能。
峰值在实际中有一定的指导意义，所有使用交变电流的用电器，其最大耐压值应大于其使用的交变电压的峰值，电容器上的标称电压值是电容器两极间所允许施加电压的最大值。
（2）有效值
使交变电流和直流电通过相同阻值的电阻，如果它们在相等时间内产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交变电流的有效值。
①在没有特别说明时，通常所说的交变电流、电压、电动势都是指有效值，交流电流表测量的值也是有效值，交流用电设备铭牌标出的电压、电流值也是指有效值。
②正弦交变电流的有效值与最大值之间的关系：，，
。
（3）瞬时值
交流电的瞬时值反映的是不同时刻交变电流的大小和方向，瞬时值是时间的函数，不同时刻瞬时值不同。
（4）平均值
其数值可以用
时刻瞬时值的算术平均值。 对有效值的说明：
计算。注意某段时间内的交流电的平均值不等于这段时间始末
,.
①有效值是根据直流电和交流电的热效应等效定义的，旨在描写一个变化的交流电能量转化情况。
②
流电则不适用。
，，仅适用于正弦交流电，对其它变化形式的交
③等关系适用于正弦交流电长时间作用的效果，即，若t≤T时，只有
在
，t=T或者从i=0到i=Im的、的时间内成立。
2．描写交流电变化快慢的物理量 （1）周期
交变电流完成一次周期性变化所需的时间，用T表示，单位是秒（s）。
（2）频率
1 s内交变电流完成周期性变化的次数，用f表示，单位是赫兹（Hz）。
（3）周期T、频率f、线圈的转速n及ω的关系
，，（n的单位取r / s）
知识点五：电感、电容对交变电流的影响
要点诠释：
1．电感对交变电流的阻碍作用
,.
（1）对比法实验探究
如图，把线圈L与白炽灯串联起来，先把它们接到直流电源上，再把它们接到交流电源上。取直流电源的电压与交流电压的有效值相等。观察两种情况下灯泡的亮度。
（2）实验现象
接通直流电源时，灯泡亮度大；接通交流电源时，灯泡亮度小。
（3）实验结论
电感线圈对交变电流有阻碍作用。电感对交变电流的阻碍作用的大小用感抗表示，线圈的自感系数越大，交变电流的频率越高，阻碍作用就越大，感抗也就越大。
（4）电感线圈的特性及应用 特性：通直流阻交流。 应用：
①低频扼流圈：通直流阻交流，线圈的自感系数很大。 ②高频扼流圈：通低频阻高频，线圈的自感系数较小。 ③日光灯镇流器：日光灯正常工作时，起降压限流作用。
2．电容器对交流电的阻碍作用 （1）对比实验探究
,.
如图所示，把白炽灯和电容器串联起来，先把它们接到直流电源上，再把它们接到交流电源上，观察灯泡的发光情况。把电容器从电路中取下来，使灯泡直接与交流电源相连，再观察灯泡的发光情况。
（2）实验现象
电路中串有电容器时，接通直流电源，灯泡不亮；接通交流电源，灯泡亮；把电容器从电路中取下来，使灯泡直接与交流电源相连，灯泡要比接有电容器时更亮。
（3）实验结论
电容对交流电有阻碍作用，这个阻碍作用用容抗表示。 关于容抗：
①表示电容对交变电流阻碍作用的大小。
②大小由电容器的电容和交变电流的频率决定。电容越大，交变电流的频率越高，容抗
就越小。若用XC表示容抗，C表示电容器的电容，f表示交变电流的频率，则有（说明：对于容抗的公式，只要求作定性的解释，不要求作定量的计算） ③容抗的单位是欧姆，在交变电路中类似于一个电阻。
（4）电容的特性和应用
特性：通交流，隔直流；通高频，阻低频。
。
,.
应用：
①放大器的级间耦合，称为耦合电容，用来传递经过放大了的交流信号。 ②过滤脉动直流电的高频成份，称为滤波电容。
规律方法指导
，其中v表示线圈切割磁感线的线速度，
1．正弦交流电的三要素
（1）最大值：
表示线圈转动过程的最大磁通量。
（2）角速度：
。（表示线圈的初位置）
（3）初相位：计时起点t=0时刻线圈平面与中性面所夹的角
说明：三要素明确之后，正弦交流电的瞬时值表达式便可以顺利地写出，即
。
2．将正弦交流电产生过程中线圈的位置、表示变化规律的图象上的点、解析式的值三者对应起来形成对正弦交流电的状态和变化规律的准确、完整的认识。
3．理解中性面的特殊意义
①e=0，i=0，但最大。
② 。
③是交流电方向变化的位置。（对于日常使用的正弦交流电f=50 Hz，方向每秒钟改变100次）
,.
4．对交变电流的有效值的理解
（1）交变电流的有效值是根据电流的热效应（电流通过电阻生热）进行定义的，所以进行有效值计算时，要紧扣电流通过电阻生热（或热功率）进行计算。计算时“相同时间”一般要取一个周期的时间。半周期对称的可取半周期。 （2）常见的几种交流电的有效值
交变电流名称 交变电流图样 有效值 正弦式交变电流 正弦半波交变电流 正弦单向脉动电流 矩形脉动电流 非对称性交变电流 在高中阶段能计算有效值的非正弦交流问题主要有以下两类： （1）各段时间内电流的大小有各自不变的值，且有周期性。
（2）某段时间电流按正弦规律变化，且这段时间内电流完成整数个由零到最大值的变化，且这种变化情况有周期性。
,.
建议同学们对上述交流电，根据有效值的定义，分别计算它们的有效值，并与表中数值对照！
5．交变电流的有效值和平均值的区别
（1）物理意义不同
交流有效值是根据热效应规定的，即跟交流的热效应相等的直流电的值为交流的有效值，在计算热量、电功率时，应用此有效值；
交流的平均值是交流图象中波形对时间轴所围的面积跟时间的比值，由于对时间所围面积的大小表示这段内通过的电荷量，因此计算通过导体的电荷量时，应用交流电的平均值。
平均值的计算须用
（2）计算方法不同
和计算。
例如单匝线圈在磁场中匀速转动产生正弦式交流电，当线圈从中性面转过90°角的过程
中，其有效值为，其电动势的平均值。由此
可知在计算中不能用有效值来代替平均值，平均值也不能代替有效值。
6．电阻、容抗和感抗的对比
电阻 感抗 容抗 定向移动的自由电荷与由于电感线圈自感现象电容器两极板上积累的电荷对这个产生原因 不动的离子间的碰撞 阻碍电流的变化 方向定向移动的电荷的反抗作用 ,.
对直流、交流均有阻碍作只对变化的电流有阻碍不能通直流，只通变化的电流。对在电路中 用 的特点 阻碍作用随频率的降低而增大 由导体本身（长短、粗细、由导体本身的自感系数由电容的大小和电流的频率决定，决定因素 材料）决定，与温度有关，和交流电的频率决定， 电能和电场能往复变化 作用 直流的阻碍作用无限大，对交流的电能的转 电流通过电阻做功，电能电能和磁场能往复转化 化与做功
转化为内能 典型例题透析
题型一 求正弦交流电的瞬时感应电动势
1．如图所示，有一闭合的正方形线圈，匝数 N= 100，边长为 10 cm，线圈总
电阻为 10 Ω。线圈绕OO＇轴在B=0.5 T的匀强磁场中匀速转动，每分钟转1500转，求线圈平面从图示位置转过30°时，感应电动势的值是多少？
思路点拨：
（1）明确正弦交流电的三要素，写出瞬时值表达式； （2）由瞬时值表达式求某时刻的值。 解析：n=1500 r / min=25 r / s， ω=2πn=50πrad / s，
最大值Em=NBSω=100×0.5×0.01×50×3.14 V=78.5 V。 线圈的初位置是中性面
，所以其瞬时值表达式为：
,.
当线圈转过30°即ωt=30°时 e=78.5×sin30°V=39.25 V。 答案：39.25 V。
总结升华：进行具体数值的计算时要注意统一到国际单位上。
题型二 瞬时感应电动势和平均感应电动势求法
2．一边长为的正方形线圈abcd绕对称轴OO＇在匀强磁场中转动，转速为
n=120 r / min，若已知边长=20 cm，匝数N=20，磁感应强度B=0.2 T，求： （1）转动中的最大电动势及位置。
（2）从中性面开始计时的电动势瞬时值表达式。 （3）从如图所示位置转过90°过程中的平均电动势。
解析：
（1）当线圈平面转到与磁场平行时（S∥B），ab、cd两边均垂直切割磁感线， 这时线圈中产生的感应电动势最大Em=NBSω=20×0.2×0.22×2π×2=2.0 V； （2）电动势瞬时值表达式为e=Emsinωt=2sin（4πt）V；
（3）。
答案：（1）2.0 V 线圈平面与磁场平行 （2）2sin4πt（V） （3）1.28 V
总结升华：正弦交流电的产生过程是一个电磁感应现象发生的过程，皆遵守法拉第电磁感应定律。在高中阶段感应电动势的瞬时值由
求得，平均感应电动势由
,.
求得。
举一反三
【变式】如图所示，匀强电场B=0.50 T。一个匝数n=100匝的矩形线圈，边长ab=0.20 m，bc=0.10 m，围绕着跟磁场方向垂直的对称轴OO＇以角速度ω=100πrad / s匀速转动。从绕圈平面通过中性面时开始计时，求：
（1）t=0、、 、各时刻的瞬时电动势；
（2）t由0到
解析：
过程中的平均电动势。
（1）感应电动势的瞬时值表达式为：
则在各个时刻： t=0，e=0
，
，
，
,.
（2）0～内感应电动势的平均值：
。
题型三 对交流电图象的理解
3．一矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场并位于线圈平面内的固定轴转动，线圈
中的感应电动势随时间t的变化规律如图所示，由图象可知（ ） A．t1和t2时刻穿过线圈的磁通量为零 B．t1和t3时刻穿过线圈的磁通量变化率为零 C．是从线圈平面与磁场方向平行的时刻开始计时的
D．每当感应电动势e变换方向时，穿过线圈的磁通量都最大
解析：由图象可知，当t=0时，感应电动势有最大值，说明穿过线圈的磁通量的变化率最大，即线圈平面与磁场平行，选项C正确。t1、t2时刻感应电动势为零，说明这两个时刻穿过线圈的磁通量的变化率为零，即线圈平面与磁场方向垂直，穿过线圈的磁通量最大，所以选项B正确、A错。当线圈平面通过中性面时，是感应电动势改变方向的时刻，所以选项D正确。 答案：BCD 举一反三
【变式】一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图所示。由图可知（ ） A．该交流电的电压瞬时值的表达式为u=100sin(25 t)V
,.
B．该交流电的频率为25 Hz C．该交流电的电压的有效值为
V
D．若将该交流电压加在阻值为R=100Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率是50 W
答案：BD
解析：从图中可知，交流电周期T=4×10－2 s，峰值电压Um=100 V，
故交流电的频率，有效值。
加在R=100Ω的电阻上时的热功率，
瞬时值表达式，故正确选项为BD。
总结升华：本题考查交流电的周期、频率、有效值、瞬时值等基本概念及相互间关系，以图象为依托，各选项间相互关联。解题的关键是从图象读取信息。
题型四 非正弦交流电有效值的计算
4．如图所示交变电流正值为某一正弦交变电流更换负值后i—t图象，求该交变
电流的有效值。
思路点拨：当一个非正弦交流电的前半个周期和后半周期变化规律不变或者不对称时，应分别计算这两段时间内交变电流产生的焦耳热，然后运用有效值的概念进行计算，即Q1+Q2=I2RT。
,.
解析：根据交变电流有效值的定义取一个周期t。则
即 所以有效值 答案：8.7 A
总结升华：只有正弦式交变电流才能用的关系，其他交变电流不能乱套这一公
式，只有从有效值的定义及电流的热效应进行计算。 举一反三
【变式】如图甲所示的直流电通过图乙中的电阻R，则交变电流表的示数为多少？
解析：在半个周期内，它的有效值与正弦交变电流的有效值相同
，
再根据电流有效值的定义有：
解得。
,.
说明：各种交流电电气设备上所标的、交流电流表测量的等均为有效值。
题型五 交流电路中有效值和平均值的意义和运用
5．如图所示，矩形线圈abcd在磁感应强度B=2 T的匀强磁场中绕轴OO＇以
角速度ω=10πrad / s匀速转动，线圈共10匝，电阻为r=5Ω，ab=0.3 m，bc=0.6 m，负载电阻R=45Ω。求电阻R在0.05 s内所发出的热量及0.05 s内流过电阻R上的电量（设线圈从垂直中性面开始转动）。
解析：
（1）电动势的最大值为：Em=nBSω=10×2×0.3×0.6×10πv=113.1 V
电流的有效值
所以0.05 s内R上发出的热量Q=I2Rt=5.76 J
（2）0.05s线圈转动的角度
平均感应电动势为：
平均感应电流为：
所以通过电阻R的电量为： 答案：5.76 J 0.072 C
总结升华：①用交流电的有效值求解通过电阻产生的热量或计算电功、电功率。②用电
流的平均值计算通过某截面的电量：
，。
,.
6．将硬导线中间一段折成不封闭的正方形，边长为，它在磁感应强度
为B、方向如图的匀强磁场中匀速转动，转速为n，导线在a、b两处通过电刷与外电路连接，外电路接有额定功率为P的小灯泡并正常发光，电路中除灯泡外，其余部分的电阻不计，灯泡的电阻应为（ ）
A． B．
C．
D．
思路点拨：首先弄清不封闭正方形线圈产生的电压或电流是正弦交流电，然后求出电动势的最大值，明确外电路进行计算。
解析：由线圈在磁场中匀速转动所产生的感应电动势的最大值Em=BSω和ω=2πn，可知
所以有效值。
由于小灯泡正常发光，所以 答案：B
，B正确。
总结升华：对于交流电作用于纯电阻电路的计算方法，只要将交流电源的电动势用有效
值E表示，其它的求解方法与直流电路相同。例如，路端电压的有效值U=IR、
等。
举一反三
、
【变式】如图所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中可以分别绕垂直于磁场方向的轴P1
,.
和P2以相同的角速度匀速转动，当线圈平面转到与磁场方向平行时（ ） A．线圈绕P1转动时的电流等于绕P2转动的电流 B．线圈绕P1转动时的电动势小于绕P2转动时的电动势 C．线圈绕P1和P2转动时电流的方向相同，都是a→b→c→d
D．线圈绕P1转动时dc边受到的安培力大于绕P2转动时dc边受到的安培力
解析：产生正弦交流电的条件是轴和磁感线垂直，与轴的位置和线框形状无关， 转到图示位置时产生的电动势E具有最大值Em=nBSω， 由欧姆定律I=E / R总可知此时I相等，A对，B错。 由右手定则可知电流方向为a→d→c→d，故C错。 cd边受的安培力F=BLcdI，故F一样大，D错。 答案：A
题型六 电阻、感抗、容抗对交流电阻碍作用的比较
7．如图所示，当交流电源的电压（有效值）U=220 V，频率f=50 Hz，3只灯
L1、L2、L3的亮度相同（L无直流电阻），若将交流电源的频率变为f=100 Hz，则 A．L1灯比原来亮 B．L2灯比原来亮 C．L3灯和原来一样亮 D．L3灯比原来亮
答案：AC
解析：电容的容抗与交流电的频率有关，频率高、容抗小， 即对高频交流电的阻碍作用小，所以A项对；
,.
线圈对交流电的阻碍作用随频率升高而增加，所以B项错；
电阻R中电流只与交流电有效值及R值有关，所以C项正确，D项错。 拓展：若将电源改为U=220 V的直流电源，则情况又如何？(L1不亮，L2更亮，L3亮度不变化) 举一反三
【变式】交变电流通过一段长直导线时，电流为I，如果把这根长直导线绕成线圈，再接入原电路，通过线圈的电流为I＇，则
A．I＇＞I B．I＇＜I C．I＇＝1 D．无法比较
解析：长直导线的自感系数很小，其对交变电流的阻碍作用可以看作是纯电阻，流经它的交变电流只受到导线电阻的阻碍作用。当导线绕成线圈后，电阻值未变，但自感系数增大，对交变电流的阻碍作用不但有电阻，而且有线圈的阻碍作用（感抗）。阻碍作用增大，电流减小。 答案：B
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