共点线的证明方法与塞瓦定理

所谓共点线就是指这些直线通过同一点•要证明三线共点，常常采用以下方法思考.

1证直线a、b、c共点，可先确定a、b交于一点P,然后在直线c上取两点 Q R,证明P、 Q R共线•这样就把共点线问题转化为共线点问题来解决了.

2.证直线a、b、c共点，可先证 a、b交于某点P,然后将P与c上一点Q连结，证明PQ 与c重合. 3•证明若干条直线共点，可证它们都通过某一特殊点. 4 •应用已知共点线定理等等.

例14已知：O 0、O Q、O 03两两外切，A B、C分别为切点，AX、BY、CZ分别为公切线（图 1-44）.求征：AX、BY CZ共点.

图 1-44

证明

由于0、02、03不共线， ••• AX、BY CZ必两两相交. 设AX BY交于I，连结CI .

如果CI不垂直 QQ,不妨设/ ICQ >Z ICQ3. 则/ ICQ > 90°>/ IC03.

•••/ IC0i >Z IA0i, / IB03>Z ICQ.

但/ 0AC=/ 0CA / OBC=Z QCB

•••/ ICA>Z IAC, / IBC>Z ICB,

•••IA > IC , IC > IB . ① 但IA=IB , ② 这样，①与②矛盾.

因此，IC不能不垂直于003. 由于CZ± 00, •••IC与CZ重合.

• AX、BY CZ三线共点.

例15设在△ ABC中,以BC为直径的圆交 AB AC于F、E,求证：圆在 E、F的切线与高线 AD共点. 证明

團 1-45

设H是厶ABC的重心，M为一条切线 丘皿与厶ABC的高AD的交点，BHE CHF分别为另外两条 高线（图1 — 45）.则有

/ MEH=/ MEBM ACB

又••• H D C、E四点共圆， •••/ ACB玄 MHE

因此，Rt△ AEH中，/ MEH=/ MHE •••/ MAE=/ MEA • MH=ME=MA 即M为AH的中点.

同理，过F的圆的切线也过 AH的中点M

例16塞瓦（Ceva）定理：设X、Y、Z分别是△ ABC三边BC CA AB（或其延长线）上的点，则 AX BY CZ三线共点或互相平行的充要条件为

XY YC ZA

证明（1）必要性

團 1-46

设AX BY CZ交于一点0（图1 — 46）.因为直线BOYS^ AXC直线C0Z1A ABX所以根据 梅内劳斯定理，有

XB BC BC

_ + * CT A0

=—]

,

YA 0X XO t AZ

1

以上两式相乘，得：

XB XC YC YA ZA ZB

如果AX BY CZ互相平行（图1 — 47），这时显然有

YC

BC ZA

ex

YA Is -

CB'

YC

ZA BC ex XC

YA « ZB = ' BX * = CB■ ----XB

XB YC ZA

■- « _

XC * __ ZB

--1.

⑵充分性

如果X、Y Z分别为△ ABC三边BC AC AB（或其延长线）上的点，且

XE YC ZA

■

*

i *

[

XC YA ZB '

那么若BY CZ交于一点0,连A0并延长交BC边于X'点（图1 — 46），根据（1）则有

5CB YC ZA

,* , , • -- 弓 T

JCC YA ZB

和己知条件相比较，得

XB _ X7^

荒—贡

即X、X'同时内分或外分 BC且比值相等. 因此，X'与X必重合. 所以AX BYCZ三线共点.

假如BY// CZ则过A作AX'// BY,交BC于X'点（图1-47）.那么

YC BC ZA ex1

..= ________ 二

BjC^ZB

YC ZA BC

ex1

jcc —

YA

ZB BX1 CB —X'B

X'B YC ZA

___ * YA * ________ 二

zE -1 re和已知条件相比较，有

XB Tc\" xc

因此，X'必与X重合.

••• AX// BY// CZ.

例17设AD BE CFABC的三条高线，求证： AD BE CF三线共点（图1 — 48）.

证明

A

•/ AD丄 BC于 D,

BEL AC于 E, CF丄AB于F. •••△ BAD^A BCF

DE _ AB \"FB

同理，△ CBE^A CAD

4 EC _

I- '■

DC CA

__ ■

■ i~ ■

△AEBSAFC,

,FA AC ■ A

EA AB—

=

——b

①、②、③式相乘，得

DB EC FA

DC * EA * FB =

由于三角形三条高线不可能平行有AD BE CF三线共点.

否则三角形的三边平行或成一条直线，所以由塞瓦定理,

（ ）