三台中学高2016级高二上入学数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线
的倾斜角为（）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B
【解析】试题分析：化直线的方程为斜截式，可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得． 直线l：2x﹣2y+1=0的方程可化为∴直线l的斜率为1，设倾斜角为α， ∴tanα=1，∴倾斜角α为45° 故选：B
考点：直线的一般式方程；直线的斜率和倾斜角. 2. 已知四个条件：①立的有（）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】①②③④
综上可知：只有①②④能推出故选C. 3. 已知等比数列
满足
，则
（）
，因此③不能推出
，因此④能推出成立。
，因此①能推出<成立；
，因此②能推出<成立；
；
成立。
；②
；③
；④
能推出
成
，
A. 64 B. 81 C. 128 D. 243 【答案】A
【解析】试题分析：∵，∴，∴，
∴．
考点：等比数列的通项公式． 4. 在正方体
中，直线
与平面
所成的角为（）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】D
【解析】如图所示，上顶面为正方形，则侧棱垂直于底面，则据此可得：结合则直线
与平面
， 可知
平面
，
平面
,
，
所成的角为90°.
本题选择D选项.
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的组合体，其体积
，故选A.
考点：1.三视图；2.多面体的体积. 6. 已知直线①若③若
，则，则
，平面
，且
，则，则
，在下列四个命题中，正确命题的个数（）
②若 ④若
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B
【解析】（1）若α∥β，由已知，得l⊥m，是正确的；
（2）若l⊥m，由已知不能得出l⊥β，故不能得出α∥β，所以该命题是错误的； （3）若α⊥β，由已知l⊥α，得l，β平行，或l在β内，故不能得出l⊥m，所以该命题也是错误的；
（4）若l∥m，由已知l⊥α，∴m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β；是正确的． 本题选择B选项. 7. 在等差数列
前项和为
，若
，则
的值为（）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】A 【解析】
，由于
.
8. 已知平面向量
满足
与的夹角为120°，且
，
成等差数列，公差为
，故原式
则实数的值为（） A.
B.
C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】由题意可得：
利用平面向量垂直的充要条件可得：
，
即：
求解关于实数的方程可得：本题选择D选项.
点睛：(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.
(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 9. 若变量
满足
，则目标函数
的最小值为（）
.
，
，
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得：目标函数在点处取得最小值：本题选择C选项.
.
点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 10. 在
中，角
对边分别为
，
，这个三角形的面积为
，则
外接圆的直径是（） A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】∵
，这个三角形的面积为
，∴
，解得：
，∴由余弦定理可得：
，∴利用正弦定理可
得：
外接圆的直径
，故选D.
点睛：本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基础题；由已知利用三角形面积公式可解得，由余弦定理即可求得的值，利用正弦定理即可得接圆的直径
.
，已知
，则
的外
11. 设平面上有四个互异的点形状是（）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B
【解析】试题分析：：∵
，
∴
考点：向量运算 12. 正项等比数列于（）
A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】由题设
中，
，即|AB|=|AC|．△ABC的形状是等腰三角形
，若，则的最小值等
（设去），则，所以
，
，应选答案C。
点睛：本题将等比数列与基本不等式有机地整合在一起旨在综合考查学生等比数列的通项公式及通项的性质和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。本题的特点是综合性强难度较大。
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若一直线经过点【答案】
，
.
，若
，则
__________.
，且斜率为
，则该直线的方程是__________.
【解析】由直线的点斜式方程可得方程为：整理为一般式，即该直线的方程是14. 在
中，角
对边分别为
【答案】120° 【解析】由余弦定理得15. 已知数列
满足
.
，则
__________.
【答案】673
【解析】由递推关系可得：则：据此可得：
,且：673.
，
，
16. （1）（3）
的三个内角对边分别为
；（2）
；（4）
，是的外接圆半径，则下列四个条件：
；
.有两个结论：甲：
是等边三角形；乙：是等腰直角三角形，请你选出给定的四个条件中的两个为条
件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题__________. 【答案】
甲或
乙或
乙或
乙
【解析】由(1)(2)为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下： 证明：由(a+b+c)(a+b−c)=3ab，变形得：a+b+2ab−c=3ab,即a+b−c=ab， 则
，又C为三角形的内角，∴C=60°，
2
2
2
2
2
2
又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosC−cosBsinC=sin(B−C)=0， ∵−π 2 2 2 2 2 ， 得： ， ， ,即 2 2 ，∴ ∴a=2b,又b+c=2b，∴a=b+c，∴∠A=90°，则三角形为等腰直角三角形； 以(3)(4)作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为： 证明：由正弦定理代入整理得： ,即 得：得：， ,又 ， ， ， 又b=acosC，c=acosB，根据正弦定理得：sinB=sinAcosC， sinC=sinAcosB，∴，即sinBcosB=sinCcosC，∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角 形的内角，∴2B=2C，即B=C，则三角形为等腰直角三角形。 故 甲或 乙或 乙 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量（1）求（2）求【答案】(1) 与与 的夹角为60°，且 的值； 的夹角. ；(2)150°. . 【解析】试题分析：（1）对要求的式子两边平方后，利用向量数量积的运算求出表达式的值，再开方即可到结果；（2）利用两个向量的夹角公式，计算角的三角函数值得出角的大小.. 试题解析： 解： （1） ， （2）∵∴ 18. 如图，四棱锥的中点，（Ⅰ）求证： ，平面 ； 平面 . 中，底面 ， . 是平行四边形，且平面 . 平面 ，是 ， . 的值，根据特殊 （Ⅱ）求证：平面 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. ，再利用平面 和平面垂直的判定定理证得平面平面. 试题解析： （Ⅰ）连接∵底面又为又∴ ，交 于点，连接 ， 中点， 是平行四边形，∴为中点，∴平面 ，． ，为平面平面平面平面． 中， ， ， ， 中点，∴， ，， 平面 ， 平面 （Ⅱ）∵又平面平面∴又∴在∴∴又又 平面平面 ， 平面， ， ， ，∴， 平面 ． ，平面 ． ，∴ 平面 ， ，∴平面 19. 已知函数（1）若（2）求【答案】(1) ，求不等式的最小值. ；(2)3. ，其中的解集； . .................. 试题解析：（1）当（2） 时，， . 当且仅当20. 在锐角 即中， ， 的最小值为3. 所对的边，且 . ， . 不等式 的解集为 . 时取等号，故分别为角 （1）确定角的大小； （2）若【答案】(1) ，且 的面积为 ，求 的值. ；(2)5. ，在由锐角三角形的特征求，利用三角形的面积公式和的值． 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理化简已知的式子求出出角的大小；（2）根据余弦定理和条件，可得条件求出 和 的值，由完全平方公式即可求出 及正弦定理得， ，∴． ，即 ， ，故 ． 试题解析：（1）由 ，∵ ∵（2）∵由余弦定理得∴ 是锐角三角形，∴ ，由面积公式得 ，即 ．．．．②，由①②得 ．．．．① ． 考点：正弦定理与余弦定理． 21. 已知正项数列 . 的前项和为 ，对任意 且 （1）证明：数列（2）若 为等差数列，并求数列，求数列 的前项和为. 的通项公式； . 【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】试题分析： (1)利用递推关系证得后项与前项做差为2即可证得数列为等差数列，据此可求得数列的通项公式为 ； 的前项和为 . (2)结合(1)的结论裂项求和可得数列试题解析： （1）由∴∴∴ （2）由（1）知∴ ，所以数列 . 得 ，又 是公差为2的等差数列，又 ， ， ， ， 22. 已知函数 . ，当 时， ，设 . 时， ；当 （Ⅰ）求的解析式； 在；(2) 上恒成立，求实数的取值范围. . （Ⅱ）若不等式【答案】(1)【解析】试题分析： (1)由题意得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得. (2)分离参数，将原问题转化为二次函数在给定区间上求最值的问题，据此讨论计算即可求得实数的取值范围是 . 试题解析： （Ⅰ）由题意得 和 是函数 的零点且，解得 ，则.∴ . （Ⅱ）由已知可得 ，化为 因 ，故 ，记. ，所以 ，令，因为 可化为 ，则，故 ， 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容