勾股定理经典题型

勾股定理及其证明 1．勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.若用a、b为表示两条直角边，c表示斜边，则a2b2c2，如图1－1－1，其中ca2b2,bc2a2,ac2b2 2．勾股定理的证明：勾股定理是通过面积拼图法来证明，其方法较多． 勾股定理的逆定理 1．在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，即⊿ABC中，若abc，则∠ABC为直角三角形，∠C=90这是判定一个三角形是直角三角形的方法． 2．应用勾股定理（或逆定理）研究解决问题的关键是发现图中存在的直角三角形或通过添加辅助线，在图中构造出直角三角形，有时还要借助方程、方程组和代数运算；有些代数问题，其数量关系具有“勾股关系”，根据这种关系设计、构造出相应的几何图形，然后借助图形的几何性质去解决代数问题，这就是“数形结合”的思想． o222

已知两边求第三边

例1． 在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．

例2． 已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

例3． 在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长

为 .

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例4． 一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？

利用列方程求线段的长

例5． 把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面

积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．

AFD例6． 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD

折叠，使C点与A点重合，则EB的长是 ．

BC

E例7． 如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村

庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，

D CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收 C 购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E 站应建在离A站多少km处？ A E B

例8． 如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，

又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上 建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离 相等，求商店与车站之间的距离．

综合其它考点的应用 B例9． 如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外

壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm

A

例10． 在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC的面积．

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例11． 已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．

求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．

例12． 如图∠B=90º，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm,CD=29cm

求四边形ABCD的面积．

例13． 小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗

杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子 下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米， 你能帮它计算一下旗杆的高度．

判别一个三角形是否是直角三角形

例14． 在△ABC中，a:b:c1:1:2，那么△ABC是 。

例15． 如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，

且CE1BC．你能说明∠AFE是直角吗？ 4

开放型试题

例16． 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分

别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．

S1

12S23S3S4l

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例17． 如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、

S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 . (1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、

S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)

(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、

S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3

表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.

1. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是 。

2. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6,8，10；②,其中一定能构成直角三角形的有 。

3. 直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边

长的正方形的面积为_________cm2．

4. 已知：a,b,c为△ABC的三边，且满足acbcab，试判断△ABC的形状． A 5. 如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时

梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上， E 测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

C

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222244111,；③8,15,17；④4,5，6345B D 6. 如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP

重合，如果AP＝3，那么PP______.

7. 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：

''1212 S11 2A5A6S5...A4S4S3A3S2S1A2A1

2 213 S2222314 S33 2O第13题

1（1）用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA10的长；

（3）求出S12 + S22 + S32 + … + S102的值。

8. 如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西300，

货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北 偏西450，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是 多少？

9. △ABC中，∠A＝300，∠B＝450，BC＝4，求AB的长。

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10. 图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方 形1开始，以它的一边为斜边，向外

作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.

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