上海中考数学真题18题、24题、25题全解析

2017上海中考18题、24题、25题全解析

枚育学府——吴老师

18、正n(n4)的最短对角线与最长对角线的比值称为“特征值”，记作n，那么6 【解析】6表示的是正六边形的最短对角线与最长对角线的比值

在正六边形中，由图可知，最短对角线与最长对角线分别为：

AC，AD，且容易得到ACD是一个ADC60的直角三角形。

sinADCsin60AC3 AD2

1

24、如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知抛物线yx2bxc的对称轴为直线x1。对称轴与x轴交于点C，抛物线经过点A(2,2) 〈1〉 求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

〈2〉 点M在点B的上方，设M(1,m)，求AMB的余切值〈用m的式子表示〉； 〈3〉 将抛物线进行向上或向下平移，使得抛物线的顶点落在x轴上，点P为原抛物线上一点，点Q为平移后抛物线上的对应一点，且OPOQ,求点Q坐标。

【解析】

〈1〉由题意的抛物线的对称轴为直线x1，b1所以b2 2(1)将点A(2,2)坐标带入抛物线解析式yx22xc得，c2 所以抛物线解析式为yx22x2 配方得y(x1)23，所以点B(1,3)

〈2〉过点A作对称轴的垂线，垂足为H，易知点H(1,2)。 在RtAHM中，AH1,HMm2，所以cotAMBMHm2m2 AH1〈3〉因为平移后抛物线的顶点落在x轴上，所以此时抛物线的解析式为

y(x1)2x22x1。因为P,Q为平移前后的对应点，且OPOQ，所以x轴即

2

为等腰OPQ底边上的高线，所以点P,Q关于x轴对称。 故，(x22x2)x22x1，解得x综上点Q坐标为(

263，带入yx22x1得y 22263263,),(,)。 22223

25、如图1，已知O的半径为1，弦ABAC，弦长BO交弦AC于点D，联结OA,OC. 〈1〉 求证：OAD∽ABD；

〈2〉 若OCD是直角三角形，求BC的长；

〈3〉 记AOB,AOD,COD的面积分别为S1,S2,S3,且S2是S1,S3的比例中项，求OD的长。

（1） 证明：

因为OAOBOC, 所以12,34， 又ABAC，所以AOBAOC

又AOC12180，AOB34180

所以14，又ADOADB 所以OAD∽ABD

4

（2） 第一种情况：当DOC90时，如图所示，

所以BOC90,又OBOC，所以RtOBC为等腰直角三角形，且OBC45,

sinOBCOC2,又OC1，所以BC2。 BC2

第二种情况：当ODC90时，如图所示，

此时，BDAC,BD平分AC,所以BABC,又ABAC，所以ABC为等边三角形。

BD平分DBC，又BDC90,ABC60,则DBC30,所以在RtBDC中，BC2DC。在在RtODC中，OC1，DOC60，又sinDOC3,所以BC3； 2DC3， OC2所以DC

5

〈3〉过点O分别作AB、AC边上的垂线，垂足分别为E、F,过点A作BD垂线，垂足为点H，如图所示：

因为ABAC，所以OEOF,又S1ABOE,S2ADOF,S3CDOF， 且S2是S1,S3的比例中项，所以S22=S1S3，即有AD2=ABDC,又ABAC， 所以AD2=ACDC，则点D是线段AC的黄金分割点。所以则有

CDAD51, ADAC212121211S2ADADS51OD51，又S1OBAH,S2ODAH,所以2 22S1ABAC2S1OB251 2又OB=1,所以OD6