2023-2024学年山西省太原市高一上册期末数学试题

一、单选题1．下列选项中，与角30终边相同的角是（）A．30B．240C．300oD．330【正确答案】D【分析】首先表示出与终边相同的角，再根据选项判断即可.【详解】解：与角30终边相同的角表示为30360k,kZ，当k1时330，故330与角30终边相同.故选：D2．在直角坐标系中，cos

3

5，sin45，则角的终边与单位圆的交点坐标为（A．(345,5)B．(435,5)C．(345,5)

D．(435,5)【正确答案】A【分析】根据三角函数定义，即可求得答案.【详解】在直角坐标系中，cos

3

5，sin45，设角的终边与单位圆的交点坐标为(x,y)，则x1cos345,y1sin5，即角的终边与单位圆的交点坐标为(345,5)，故选：A3．函数fx3

xlog2x的零点所在的区间是（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4【正确答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【详解】解：函数fx

3

x

log2x在0,上单调递减，又f13log2130，f2

32log2120，f33

23log231log230，所以f2f30，则fx有唯一零点，且在区间2,3内.）故选：C

4．已知cos25a，则cos245（）C．1a2D．1a2A．a

【正确答案】DB．a

【分析】先由cos25a，得到sin251a2，再利用诱导公式求解.【详解】解：因为cos25a，所以sin251a2，所以cos245



cos245cos18065，cos65sin251a2，故选：D5．甲、乙两位同学解答一道题：“已知sin2甲同学解答过程如下：πππ2π2，得2解：由4.5ππ，，求cos4的值.”4213乙同学解答过程如下：解：因为sin2513，因为sin2513，512cos21()21313.所以22cos4cos2sin2所以2所以cos4cos[2(2)]1sin251441()213169.125119()2()21313169.则在上述两种解答过程中（甲同学解答不正确C．甲、乙两同学解答都正确【正确答案】D）A．甲同学解答正确，乙同学解答不正确B．乙同学解答正确，D．甲、乙两同学解答都不正确【分析】分别利用甲乙两位同学的解题方法解题，从而可得出答案.【详解】解：对于甲同学，由，得2π，因为因为sin25，13π4π2π2所以cos21(5)2121313，所以cos4cos22sin22(1211913)2(513)2169，故甲同学解答过程错误；对于乙同学，因为sin2513，所以cos4cos[2(2)]12sin2212(5211913)169，故乙同学解答过程错误.故选：D.6．已知aln3，blog32，clog123，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cbaC．acbD．bπ,2

上单调递减的是（A．ycos2xB．ysin2xC．ysinx2D．ytanx

【正确答案】A【分析】根据三角函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A，函数ycos2x的最小正周期T2π2π，因为xπ,3π

2

，所以2x2π,3π，所以函数ycos2x在区间π,3π

2

上单调递减，故A符合题意；对于B，函数函数ysin2x的最小正周期T2π2π，）3π

因为xπ,，所以2x2π,3π，2

3π

所以函数ysin2x在区间π,上不单调，故B不符题意；2x对于C，函数ysin的最小正周期T4π，故C不符题意；2对于D，函数ytanx的最小正周期Tπ，3π

当xπ,时，函数ytanx为增函数，故D不符题意.2

故选：A.8．为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，其标准如下：其中家庭全年用水量（立方阶梯米）米）水价（元/立方水费（元/立方米）第一阶梯第二阶梯第三阶梯污水处理费（元/立方米）0-180（含）2.92.4181-260（含）5.14.60.5260以上7.46.9如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、污水处理费）合计为1802.92601805.13002607.41226元.若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为777元，则该户家庭全年用水量为（C．230立方米【正确答案】C【分析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于260m3，利用第二档的收费方式计算即可.【详解】若该用户全年用水量为260m3，则应缴纳1802.9(260180)5.1930777元，所以该户家庭的全年用水量少于260m3，）A．170立方米B．200立方米D．250立方米设该户家庭的全年用水量为xm3,180x260，则应缴纳1802.9(x180)5.1777元，解得x230.故选：C二、多选题π

9．要得到函数ysin2x的图象，只要将函数ysinx图象上所有的点（3

π1

A．横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位3）B．横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变），再将所得图象向左平移C．向左平移D．向左平移1

π个单位6π1

个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变）3π1

个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变）6【正确答案】BC【分析】根据周期变换和平移变换的原则即可得解.π

【详解】要得到函数ysin2x的图象，只要将函数ysinx图象上所有的点横坐标缩短到3

π1

原来的2（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位；6或者向左平移故选：BC.π1

个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变）.310．计算下列各式，结果为3的是（A．2sin152cos15

）B．cos215sin15cos751tan15D．1tan15tan30

C．1tan230

【正确答案】AD【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.【详解】对于选项A，由辅助角公式得2sin152cos152sin(1545)2sin603.故选项A正确；对于选项B，cos215sin15cos75sin75cos15sin15cos75sin(7515)sin603，2故选项B错误；3tan3033对于选项C，，故选项C错误；1tan2302321()31tan15tan45tan15

对于选项D，tan(4515)tan603，故选项D正确.

1tan151tan15tan45故选：AD.11．下列函数中最小值为4的是（A．yx22x5

2

C．ylog2x16）B．y|cosx|D．ylnx

4|cosx|4lnx【正确答案】AC【分析】根据二次函数的性质判断A，根据对勾函数及三角函数的性质判断B，根据对数函数的性质判断C、D.【详解】对于A：yx22x5x14，所以当x=1时ymin4，故A正确；对于B：y|cosx|单调递增，所以当cosx1时y|cosx|

244

，则0cosx1，又函数yx在0,2上单调递减，在2,上|cosx|x4

取得最小值5，故B错误；|cosx|2

对于C：因为x21616且ylog2x在16,上单调递增，所以ylog2x16log2164，故C正确；对于D：ylnx故选：AC44

0，故D错误；，当x0,1时lnx,0，则ylnxlnxlnx

1log2x,0x2

12．已知定义在(0,)上的函数f(x)log2x1,2x4，设a，b，c为三个互不相等的实数，1

23x,x4

且满足f(a)f(b)f(c)，则abc的可能取值为（A．15【正确答案】BC【分析】先判断函数的性质以及图像的特点，设abc，由图像得ab是个定值，及c的取值范围，即可得出结论．B．26C．32）D．41【详解】解：作出fx的图像如图：当x>4时，由fx3x0，得x9，若a，b，c互不相等，不妨设abc，因为fafbfc，所以由图像可知0a2b4，4c9，由fafb，得1log2alog2b1，即log2alog2b2，即log2(ab)2，则ab4，所以abc4c，因为4c9，所以164c36，即16abc36，所以abc的取值范围是16,36．故选：BC．三、填空题13．函数f(x)ln(2x1)的定义域为______.1

【正确答案】,

2

1

2【分析】由2x10解出即可.【详解】由2x10x

1，21

所以函数f(x)ln(2x1)的定义域为.,

2

1

故答案为.,

2

14．已知扇形AOB的面积为【正确答案】24，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______．3【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】120所以故215．十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当a0，12

a1时，abNblogaN.已知2x6，3y36.则______.xy

24，扇形AOB的面积为，33412122rr，解得r2．3223【正确答案】1【分析】先指数式对数式转化，结合对数运算性质化简求值.【详解】由2x6，3y36得x=log26,y=log336=2log36，121111lg2lg3lg231∴xylog26log36lg6lg6lg6lg6.lg6lg2lg3故116．已知函数g(x)为一次函数，若m,nR，有g(mn)g(m)g(n)2，当x4,4时，函数f(x)log2

9x213xg(x)的最大值与最小值之和为______.【正确答案】4

【分析】依题意设g(x)axba0，由g(mn)g(m)g(n)2求出b的值，设F(x)f(x)2，则F(x)log2

9x213xax，判断F(x)的奇偶性，根据奇偶性的性质计算可得.【详解】解：根据题意，设g(x)axba0，若m，nR，有g(mn)g(m)g(n)2，则有a(mn)bambanb2，变形可得b2，即g(x)ax2，设h(x)log2

9x213x，则hxlog2

9x213x，则有h(x)h(x)log2函数f(x)log2则F(x)log2

9x213xlog2

9x213xlog210，9x213xg(x)，设F(x)f(x)2，9x213xax，必有F(x)F(x)log2

9x213xaxlog2

9x213xax0，则函数F(x)为奇函数，在区间4,4上，其最大值与最小值之和是0，而f(x)log2故4．四、解答题17．计算下列各式的值：(1)e

2ln2

9x213xg(x)，则其最大值与最小值之和是4.lg

1

lg20；22

(2)lg25lg8log227log32.3【正确答案】(1)3.(2)1.【分析】（1）运用对数运算公式及alogabb，(a0，a1，b0)计算可得结果；（2）运用指数幂、对数运算公式及换底公式计算可得结果.21112ln2ln2

elglg20e(lglg20)4lg(20)4lg10413【详解】（1）.2222

2

（2）lg25lg8log227log32lg(2583)log227log32lg1023log23log32231.33π3

18．已知sin，π.25(1)求cos的值；π

sin(2π)cos(π)cos

2

(2)求的值.3π

cos(π)sin(π)sin

2

【正确答案】(1)(2)3

445【分析】（1）根据平方关系计算可得；（2）利用诱导公式化简，再代入计算可得.342【详解】（1）解：因为sin，且sin2cos21，所以cos1sin，55又π3π4

，所以cos.25πsin(2π)cos(π)cos

2

（2）解：3π

cos(π)sin(π)sin

2

3

sincossinsin35.44cossincoscos5

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点Px1,y1，cos

5.5(1)求y1的值；(2)射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转称，求tanMON的值.【正确答案】(1)(2)255后与单位圆交于点M(x2,y2)，点N与M关于x轴对2435，利用三角函数的定义，结5【分析】（1）根据角的终边与单位圆交于点Px1,y1，cos合平方关系求解；（2）设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则Q1,0，设MOQ，求得tan，再利用二倍角的正切公式求解.【详解】（1）解：因为锐角的终边与单位圆交于点Px1,y1，cos所以y1sin1cos225.55，5（2）设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则Q1,0，设MOQ，则，22sin

2cos1

所以tantan，22cossin2

12tan24tanMONtan2所以.21tan21312

2

20．说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答.（A）已知函数f(x)log2(1)若f(a)1，求a的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；（B）已知函数f(x)log2x1

.x1x1

.x1(3)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(4)若f(x)m对于x[3,)恒成立，求实数m的取值范围.【正确答案】(1)a3.(2)f(x)为奇函数，证明见解析.(3)f(x)为奇函数，证明见解析.(4)(,1].【分析】（1）解对数型函数方程即可.（2）由奇偶性的定义证明函数的奇偶性，先求定义域，再找f(x)与f(x)的关系式.（3）由奇偶性的定义证明函数的奇偶性，先求定义域，再找f(x)与f(x)的关系式.（4）根据题意问题转化为f(x)minm.运用分离常数法研究分式函数t合函数单调性判断方法得f(x)的单调性，应用f(x)的单调性求得f(x)min

x1

的单调性，再运用复x1，进而求得m的范围.【详解】（1）由题意知，f(a)log2（2）f(x)为奇函数.证明：由a1a1

1，即：2a12(a1)，解得.a3a1a1x1

0，解得：x1或x1，即f(x)的定义域为(,1)(1,)关于原点对称，x1又因为f(x)f(x)log2

x1x1x1x1

log2log2()log210，x1x1x1x1即f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数.（3）f(x)为奇函数.证明：由x1

0，解得：x1或x1，即f(x)的定义域为(,1)(1,)关于原点对称，x1又因为f(x)f(x)log2

x1x1x1x1

log2log2()log210，x1x1x1x1即f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数.（4）因为f(x)m对于x[3,)恒成立，所以f(x)minm.x1x122

1，则ylog2t，x1x1x12又因为t1在[3,)上单调递增，ylog2t在(0,)上单调递增，x1设t所以ylog2x1在[3,)上单调递增，x1311log21，312所以f(x)minf(3)log2所以m1，即：实数m的取值范围为(,1].ππ

21．已知函数fx2sinx0,的最小正周期为，再从下列①②两个条件22

中选择一个作为已知条件：ππ

①f(x)的图象关于点,0对称；②f(x)的图象关于直线x对称.123

(1)请写出你选择的条件，并求f(x)的解析式；(2)在（1）的条件下，求f(x)的单调递增区间.π

【正确答案】(1)fx2sin2x

3

π5π

k,kπ,kZ(2)

1212

【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式，利用整体思想，结合正弦型函数的对称轴与对称中心，建立方程，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调增区间，建立不等式，可得答案.【详解】（1）若选①：ππ2π

π，解得2，因为函数fx2sinx0,的最小正周期为，所以22

2ππ

kπ,kZ，因为f(x)的图象关于点,0对称，所以2k,kZ，解得

333

由

π

，则，故fx2sin2x.3322

若选②：ππ2，解得2，因为函数fx2sinx0,的最小正周期为，所以22

因为f(x)的图象关于直线x由

ππ

（2）由（1）可知fx2sin2x，令2kπ2x2kπ,kZ，3232

π55π

kxk，故函数fx的单调增区间为kπ,kπ,kZ.解得

12121212

，则，故fx2sin2x.3322

π

ππ

对称，所以2k,kZ，则k,kZ，122123

22．已知函数f(x)cos2x3sinxcosxa，其中02，再从下列①②③三个条件中选择两个作为已知条件：①f(0)1π

；②f(x)的最小正周期为π；③f(x)的图像经过点,1．26

(1)请写出你选择的条件，并求f(x)的解析式；(2)在（1）的条件下，求f(x)的单调递增区间．π

【正确答案】(1)条件选择见详解，f(x)sin2x

6

ππ

(2)kπ,kπkΖ63

π1

【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出f(x)sin2xa，62

1选择①②，由f(0)可求得a的值，再由正弦型函数的周期公式可求得的值，进而得出f(x)的2解析式；选择②③，由正弦型函数的周期公式可求得的值，再由f()1可求得a的值，进而得出f(x)的解析式；选择①③，由f(0)解析式；1π可求得a的值，再由f()1结合02可求得的值，进而可得f(x)的62π6（2）解不等式

πππ

2kπ2x2kπ,kΖ可得出函数f(x)的单调递增区间．2621cos2x3sin2xa22【详解】（1）依题意有f(x)cos2x3sinxcosxa

π1

sin2xa，62

选择①②，因为f(0)1a

11，所以a，222π

=π，所以1，2又因为f(x)的最小正周期为π

所以f(x)sin2x；6

选择②③，因为f(x)的最小正周期为π12π

=π，所以1，所以f(x)sin2xa，622

π11

又因为f()1a1，所以a，622π

所以f(x)sin2x；6

若选择①③，因为f(0)1a

π11

，所以a，所以f(x)sin2x，622

ππππππ

又因为f()sin1，所以2kπ,kΖ，663623所以16k,kΖ，又02，所以1，π

所以f(x)sin2x．6

πππ

（2）依题意，令2kπ2x2kπ,kΖ，262解得

ππ

kπxkπ,kΖ，36ππ

所以f(x)的单调递增区间kπ,kπkΖ．63