赛罕区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知函数

，函数

）

D．

，其中b∈R，若函数y=f（x）

﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ A．

B．

C．

2． 已知在平面直角坐标系xOy中，点A(0,n)，B(0,n)（n0）.命题p：若存在点P在圆

(x3)2(y1)21上，使得APB2，则1n3；命题：函数f(x)4log3x在区间xD．(p)q）

(3,4)内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）

A．p(q) A．1　

4． 设P是椭圆A．22

+

=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于（ B．21

C．20

D．13

））

B．2

C．3

D．4

B．pq

C．(p)q

3． 若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（

5． 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（ A． =1.23x+4A．40（8）

B． =1.23x﹣0.08

C．50（8）

C． =1.23x+0.8

）

D．55（8）

）

D． =1.23x+0.08

6． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（

B．45（8）

7． 已知等比数列{an}的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a3•a7（ A．5

B．18

C．24

D．36

）

8． 特称命题“∃x∈R，使x2+1＜0”的否定可以写成（ A．若x∉R，则x2+1≥0C．∀x∈R，x2+1＜0）

B．∃x∉R，x2+1≥0D．∀x∈R，x2+1≥0

9． 向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系式如图所示，那么水瓶的形状是（

第 1 页，共 16 页

A．　

B．C．D．

10．已知是虚数单位，若复数ZA．-2

2ai在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）2iB．1

C．2

D．3

的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任

11．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线意一点，则A．

的取值范围为（

）

B．

C．D．

12．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ A．0

B．1

）C．2

D．3

二、填空题

13．设函数

，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为　　　　　　．14．已知线性回归方程　

15．设α为锐角，若sin（α﹣

）=，则cos2α=　　　　　　．=　　　　　　．=9，则b=　　　　　　．16．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，则

17．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为　　　　　　．　

第 2 页，共 16 页

18．双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为　　　　　　．　

三、解答题

19．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了

两个问题，规定：被抽签抽到的答

题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对

问题的概率分别为

．

（Ⅰ）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．

20．设a，b互为共轭复数，且（a+b）2﹣3abi=4﹣12i．求a，b 的值．

21．（本小题满分12分）

已知数列an的各项均为正数，a12，an1an（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）求数列4.

an1an1的前n项和Sn．

aan1n第 3 页，共 16 页

22．设f（x）=ax2﹣（a+1）x+1（1）解关于x的不等式f（x）＞0；

（2）若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．

23．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且2Sn=an+1+2n．（1）求a2；

（2）求数列{an}的通项公式an；

（3）令bn=（2n﹣1）（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Tn．　

x2y2224．已知椭圆C:221ab0的左右焦点分别为F1,F2，椭圆C过点P1,2，直线PF1ab交y轴于Q，且PF22QO,O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M是椭圆C上的顶点，过点M分别作出直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设这两条直线的斜率分别为k1,k2，且k1k22，证明：直线AB过定点．

第 4 页，共 16 页

第 5 页，共 16 页

赛罕区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），

由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：

当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当=时，h（x）=，有两个交点，当=2时，h（x）=，有无数个交点，

由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，

第 6 页，共 16 页

则满足＜＜2，解得：b∈（，4），故选：D．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．　

2． 【答案】A【解析】

试题分析：命题p：APB,则以AB为直径的圆必与圆x3y12221有公共点,所以

n12n1,解得1n3,因此,命题p是真命题.命题：函数fx44x，f41log30,log3x4log330,且fx在3,4上是连续不断的曲线,所以函数fx在区间3,4内有零点，因此,命题是3假命题.因此只有p(q)为真命题．故选A．f3考点：复合命题的真假．

【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P满足APB2,因此在以AB为直径的圆上,又点P在圆

(x3)2(y1)21上，因此P为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数

4f(x)log3x是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.

x3． 【答案】A

【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，

∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，即a=1，b=0．∴a+b=1．故选：A．

【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．　

4． 【答案】A

【解析】解：∵P是椭圆

+

=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，

第 7 页，共 16 页

∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22．故选：A．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．　

5． 【答案】D

【解析】解：设回归直线方程为∵样本点的中心为（4，5），∴5=1.23×4+a∴a=0.08

∴回归直线方程为故选D．

【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．　

6． 【答案】D

【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．故答案选D．

=1.23x+0.08

=1.23x+a

7． 【答案】D

【解析】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为Tr+1=令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5，∴a3a7=a52=36，故选：D．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　

8． 【答案】D

【解析】解：∵命题“∃x∈R，使x2+1＜0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，都有x2+1≥0．故选D．

•x4﹣2r，

第 8 页，共 16 页

9． 【答案】 A

【解析】解：考虑当向高为H的水瓶中注水为高为H一半时，注水量V与水深h的函数关系．如图所示，此时注水量V与容器容积关系是：V＜水瓶的容积的一半．对照选项知，只有A符合此要求．故选A．

【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．　

10．【答案】A【解析】试题分析：

4a02ai2ai2i4a(2a2)i，对应点在第四象限，故，A选项正确.2a202i2i2i5考点：复数运算．11．【答案】B

【解析】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为设点P（x0，y0），则有因为所以

，

=x0（x0+2）+

，

，解得

，

=

，，

，

此二次函数对应的抛物线的对称轴为因为

，

第 9 页，共 16 页

所以当故故选B．

时，的取值范围是

取得最小值

，

=，

【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．　

12．【答案】B

【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，

∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．故选：B．　

二、填空题

13．【答案】　{0，1}　．

【解析】解：=[=[﹣∵0＜

﹣]+[

]+[＜1，

＜，＜＜时，＜，＜

+＜1，

+＜，

+]+]，

∴﹣＜﹣①当0＜0＜﹣故y=0；②当﹣故y=1；

=时，=0，

+=1，

第 10 页，共 16 页

③＜﹣＜﹣

＜1时，

＜0，1＜

+＜，

故y=﹣1+1=0；故函数

故答案为：{0，1}．

【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．　

14．【答案】　4　．

【解析】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b，∴b=4故答案为：4

【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．　

15．【答案】　﹣

【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣∴cos（α﹣∴sin

∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣故答案为：﹣

．

．

）=

，

=

[sin（α﹣

）+cos（α﹣

）]=

，

）=，

　．

的值域为{0，1}．

【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．　

16．【答案】　

【解析】解：∵函数f（x）=sinx﹣cosx=则

故答案为：﹣

=

sin（﹣．

）=﹣

=﹣

sin（x﹣，

），

　．

【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．　

第 11 页，共 16 页

17．【答案】　（ 1，±2

）　．

【解析】解：设点P坐标为（a2，a）依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2a2+2=

，求得a=±2

）

∴点P的坐标为（ 1，±2故答案为：（ 1，±2

）．

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．　

18．【答案】　4　．

【解析】解：双曲线x2﹣my2=1化为x2﹣∴a2=1，b2=，

∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，解得m=4．故答案为：4．

=1，

【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．　

三、解答题

19．【答案】

【解析】【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列【试题解析】（Ⅰ）的可能取值为

，，

．

分布列为：

第 12 页，共 16 页

（Ⅱ）设先回答问题，再回答问题得分为随机变量，则的可能取值为．

，，，

分布列为：

．

应先回答

所得分的期望值较高．

20．【答案】

【解析】解：因为a，b互为共轭复数，所以设a=x+yi，则b=x﹣yi，a+b=2x，ab=x2+y2，所以4x2﹣3（x2+y2）i=4﹣12i，所以，解得

，

所以a=1+i，b=1﹣i；或a=1﹣i，b=1+i；或a=﹣1+i，b=﹣1﹣i；或a=﹣1﹣

i，b=﹣1+

i．

【点评】本题考查了共轭复数以及复数相等；正确设出a，b 是解答的关键．　

21．【答案】（本小题满分12分）解： （Ⅰ）由an1an4a得a2a22n1n4，∴an是等差数列，公差为4，首项为4，n1an∴a2n44(n1)4n，由an0得an2n． （6分）

第 13 页，共 16 页

3分）

（（Ⅱ）∵

111(n1n)， （9分）

an1an2n12n21 ∴数列的前n项和为

an1an1111(21)(32)(n1n)(n11)． （12分）222222．【答案】

【解析】解：（1）f（x）＞0，即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，即有（ax﹣1）（x﹣1）＞0，

当a=0时，即有1﹣x＞0，解得x＜1；当a＜0时，即有（x﹣1）（x﹣）＜0，由1＞可得＜x＜1；

当a=1时，（x﹣1）2＞0，即有x∈R，x≠1；当a＞1时，1＞，可得x＞1或x＜；当0＜a＜1时，1＜，可得x＜1或x＞．综上可得，a=0时，解集为{x|x＜1}；a＜0时，解集为{x|＜x＜1}；a=1时，解集为{x|x∈R，x≠1}；a＞1时，解集为{x|x＞1或x＜}；0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x＞}．

（2）对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，

即a（x2﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．设g（a）=a（x2﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．则g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，

即﹣（x2﹣1）﹣x+1＞0，且（x2﹣1）﹣x+1＞0，即（x﹣1）（x+2）＜0，且x（x﹣1）＞0，解得﹣2＜x＜1，且x＞1或x＜0．可得﹣2＜x＜0．

故x的取值范围是（﹣2，0）．　

第 14 页，共 16 页

23．【答案】

【解析】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，∴a2=4…1；

（2）当n≥2时，2an=2sn﹣2sn﹣1=an+1+2n﹣an﹣2（n﹣1）=an+1﹣an+2，∴an+1=3an﹣2，∴an+1﹣1=3（an﹣1）…4，∴

，

∴{an﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5，∵∴∴（3）∴∴∴

①﹣②得：=

=（2﹣2n）×3n﹣4，…11∴

力，属于中档题．

…12

【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能

，

，

，；

…8

①…9②

，

x2y21；（2）证明见解析.24．【答案】（1）2【解析】

第 15 页，共 16 页

试

题解析：

（1）PF22QO，∴PF2F1F2，∴c1，

11221,a2b2c2b21，2ab22∴b1,a2，

x2y21；即2（2）设AB方程为ykxb代入椭圆方程

∴kb1代入ykxb得：ykxk1所以， 直线必过1,1．1考点：直线与圆锥曲线位置关系．

2kb1222kx2kbxb10，xx,xAAxBAB122k2y1y1y1yB1kMAA,kMBB，∴kMAkMBAxAxBxAxBb21，

12k2yAxBxAyBxAxB2，

xAAxB【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

第 16 页，共 16 页