3.7 第三章回顾与思考导学案及测试题

总第26课时

3.7 第三章回顾与思考

编写人：皇甫悦雷 审核人：王光发 许斌 刘磊宝

【复习目标】⒈让学生经历观察、操作、欣赏和设计的过程，从事图形平移、旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观念，培养操作技能，增强审美意识．⒉通过具体实例认识平移和旋转，理解平移、旋转的基本性质，并能做出简单平面图形平移、旋转后的图形．⒊探索图形之间的变换关系，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用．4．能够运用平移、旋转、轴对称及其组合进行图案设计． 【重点难点】

重点：平移和旋转的性质以及分析组合图案的形成. 难点：分析组合图案的形成过程.

【学情分析】实际上学生已对诸如翻折、平移、旋转、轴对称等知识有了一定的认识与理解，只是平移和旋转的知识没有正式出现罢了，但这些变换的意识学生已经有了．学生学习了本章知识后对平移与旋转以及轴对称这三种常用的全等变换有了系统的认识，但学生把握这些全等变换的能力有待提升，特别是对组合图案的形成过程的分析是学生把握不好的地方，应加强训练．

【复习思路】采用自主探究式的教学方法，本着贯彻启发性、直观性、理论联系实际的教学原则；讲练结合。使用多媒体课件辅助教学。 【复习过程】⒈知识梳理及要点归纳

平移的概念1、对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；平移平移的性质2、对应角分别相等，且对应角的两边分别平行、方向一致。简单的平移作图旋转的概念1、对应线段相等，对应角相等；2、对应点位置的排放次序相同；任意一对图形的平移与旋转旋转旋转的性质对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；3、任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角。简单的旋转作图1、确定组合图案中的“基本图案”；分析组合图案的形成2、发现该图案各组成部分之间的内在联系；3、探索该图案的形成过程。1、整体构思，突出“主题”；简单的图案设计2、选择变换方式，作出草图；3、具体作图，适当修饰。1

说明：其中平移的性质和旋转的性质以及组合图案的形成分析是需要加强的要点；其中图案设计可以适当地弱化． 知识点总述 1．平移的定义与规律

（1）定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，•这样的图形运动称为平移．

关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．

（2）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）． （3）简单作图

平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的． 2．旋转的定义与规律

（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转．

关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向． （2）旋转的规律

经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． （3）简单的旋转作图

旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等． 3．图案的分析与设计

首先找到图中的基本图案，然后分析其图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成的，我们主要遇到的变换有：轴对称、平移、旋转．在相似形一章里还会学到图形的放大与缩小等．

【考点与命题趋势分析】 （一）考点 1．图形的平移

（1）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，•理解对应点连线平行且相等的性质． （2）能按要求作出简单平面图形平移后的图形．

（3）利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．

2

2．图形的旋转．

（1）通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，•理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质． （2）了解平行四边形、圆是中心对称图形． （3）能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形． （4）欣赏旋转在现实生活中的应用．

（5）探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）．

（6）灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计． 例1 请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的．

解：乙树是甲树先绕点A逆时针方向旋转到与地面垂直，•然后再关于图中虚线（对称轴）轴对称得到的．

例2 观察下面的图案，它可以看成是由哪个图形经过怎样的变换产生的？

解：本图是由基本图形 旋转90°，连续旋转3次得到．

（二）命题趋向分析

近几年来，利用图形的平移出中考题在各省市屡见不鲜，有些题动手动脑程度很高，要求学生动手操作能力强．能够猜想、验证题目的结论，探索用平移变换解决比较复杂的问题． 值得注意的是新课标把平移与旋转引入新课程，又增加了图案设计内容，本章内容将成为今后几年中考命题的热点之一．

例1（2002年河北省）请你完成下列问题．

图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，•竖直方向的边长均为b）；

在图1中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；

3

（1） （2） （3）

在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．

（1）在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移一个单位，•从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影．

（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_____，S2=_______，S3=_______； （3）联想与探索

如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的．

（4） （5） （6） 解：（1）如图5； （2）ab-b，ab-b，ab-b；

（3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍为ab-b． 方案：

①将“小路”沿着左右两边界“剪去”； ②将左侧的草地向右平移一个单位； ③得到一个新矩形（如图6）．

理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，其水平方向的长度变成了a-1，所以草地面积就是b（a-1）=ab-b。 【解题方法与技巧】 图案设计题

例1：如图，已知平行四边形ABCD，试用两种方法，将平行四边形ABCD分成面积相等的四个部分（要求用文字简述你所设计的两种方法，并在所给的两个平行四边形中正确画图）．

4

{思路分析}解答此题的方案很多，但无论是哪种方法，都离不开ABCD是中心对称图形． 解：如图所示（选择其中任意两种）．

例2一位农夫临终前把他的四个儿子叫到床前说：“我没什么留给你们，只有祖上留下的几十亩地．我死后，你们把它分了吧，为了避免争吵，你们还是平分吧．”农夫死后，他的四个儿子开始分地，地里有四口井，4棵树，如图，•他们决定分成面积，形状相同的四块，并且每人一口井，一棵树，但他们左比比，右画画，不知怎么分．同学们，你能帮帮他们吗？

解：如图．

例3如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D•处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法．）

{分析}此题考查的是中心对称（或旋转）的应用．连结AC、BD相交于O，•将△

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ABO、△BCO、△CDO、△DAO分别绕AB、BC、CD、DA的中点旋转180°，•拼成一个平行四边形．

解：能，设计如图所示．

方法2：利用旋转变换解决几何问题

例4如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，•以D为顶点作60°角，两边分别交AB、AC于M、N的三角形，连结MN，试说明△AMN的周长为2．

{思路分析}把△NDC绕点D逆时针方向旋转120°，得到△N′DB．由条件可知∠ABD=∠ACD=90°．

∴A、B、N′共线

∵DN′＝DN ∠MDN=60° ∠2+∠3=60° ∴∠1=∠2

∴∠1+∠3=60°＝∠MDN ∵MD=MD

∴△MDN′与△MDN关于MD对称 ∴MN=MN′ 问题可求．

【解】如图，将△DNC绕D点旋转，使点C与点B重合，得到△DN′B，•∵△ABC为等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，又∵△DBC是顶角为120°的等腰三角形，所以∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=∠DBN′=90°，DM=DM，DN=DN′，∠MDN=•∠DMN′=60°，所以△DMN与△DMN′关于DM对称，故MN=MN′=BM+CN，所以△AMN的周长=AM+NA+MN=AM+AN+BM+CN=AB+AC=2． 【中考试题归类解析】

第1题. （2006 临沂非课改）如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段

OA绕点O顺时针转过的角度为 度．

答案：240

图①

A

D

图②

A O A O A O O A 第2题. （2006 长沙课改）如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（ ） Ａ．△ABC≌△DEF

Ｂ．DEF90

B

6

E C F

Ｃ．ACDF 答案：Ｄ

Ｄ．ECCF

A D 第3题. （2006 长沙课改）如图，已知等腰梯形ABCD中，

AD∥BC，B60，AD2，BC8，则此等腰梯

形的周长为（ ） Ａ．19 答案：Ｄ

第4题. （2006 德州非课改）如图，已知△ABC中，

A E F B P C

Ｂ．20

Ｃ．21

Ｄ．22

B C

ABAC，BAC90，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：

①AECF②APECPF③△EPF是等腰直角三角形④EFAP⑤S四边形AEPF1S△ABC 2当EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有

．答案：①②③⑤

B 第5题. (2006 青岛课改)如图，P是正三角形ABC内的一点，且

PC10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得PA6，PB8，到△PAB，则点P与点P之间的距离为 ，APB ．

PP A C C答案：6,. 150

第6题. （2006 安徽课改）如图，△ABC中，B90，C30，AB1，将△ABC绕顶点

BAC点C落在C处，则CC的长为（ ） A旋转180，Ａ．42 答案：Ｂ

Ｂ．4 Ｃ．23 Ｄ．25

30B第7题. （2006 衡阳课改）如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为 ． 答案：72

第8题. （2006 苏州课改）下列图形中，旋转60后可以和原图形重合的是（ ）

7



Ａ．正六边形 答案：Ａ

Ｂ．正五边形 Ｃ．正方形 Ｄ．正三角形

第9题. （2006 菏泽）下面方格中是美丽可爱的小金鱼，在方格中分别画出原图形向右平移五个格和把原图形以点A为旋转中心顺时针方向旋转90得到的小金鱼（只要求画出平移、旋转后的

C D A FGB E 图形，不要求写出作图步骤和过程）．若每个小方格的边长均为1cm，则小金鱼所占的面积为_________cm（直接写出结果）．

答案：平移正确；旋转正确； 金鱼的面积8.25cm．

第10题. （2006 安徽课改）下列现象不属于平移的是（ ） ．．．Ａ．小华乘电梯从一楼到三楼 Ｃ．一个铁球从高处自由落下 答案：Ｂ

第11题. ）如图方格中，有两个图形． （1）画出图形（1）向右平移7个单位的像a； A （2）画出像a关于直线AB轴反射的像b；

（3）将像b与图形（2）看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴的条数． 答案：（1）图略；

（2）图略；

（3）2条．

(1) (2) B

Ｂ．足球在操场上沿直线滚动 Ｄ．小朋友坐滑梯下滑

22C D A A B E GFFGB C D A E C D FGB E 第12题. （2006 娄底）下列A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（ ）

（1） A． B． C． D． 答案：B

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附：

第三章图形的平移与旋转 单元测试卷

姓名: 成绩 ：

一. 填空题.

1．平移是由_________________________________________所决定。

2. 平移不改变图形的 和 ，只改变图形的 。 3．钟表的分针匀速旋转一周需要60分，它的旋转中心是___________,经过20分,分针旋转___________度。

4．如图四边形ABCD是旋转对称图形,点__________是旋转中心,旋转了_________度后能与自身重合,则AD=__________,AO=__________,BO=_____________。 5．△A1B1C1是△

A1 B1 C1

B

A C

ABC平移后得到的

三角形，则△A1B1C1≌△ABC，理由是 ；

6．△ABC和△DCE是等边三角形，则在此图中，△ACE绕着c点 旋转 度可得到△BCD.

A

第D 六 题 B C E

7. 如图,四边形AOBC,它绕着O点旋转到四边形DOEF位置,在这个旋转过程中：旋转中心是_________,旋转角是_________经过旋转点A转到__________,点C转到__________,点B转到__________线段OA与线段________,线段OB与线段________,线段BC与线段________是对应线段。四边形OACB与四边形ODFE的形状、大小______________。 8．如图，图案绕中心旋转_______度(填最小度数) 次和原来图案互相重合. 二．选择题：

1.下列图形中，是由(1)仅通过平移得到的是( )

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2．在以下现象中，

① 温度计中，液柱的上升或下降；② 打气筒打气时，活塞的运动；③ 钟摆的摆动；④ 传送带上，瓶装饮料的移动 属于平移的是（ ）

（A）① ，② （B）①， ③ （C）②， ③ （D）② ，④ 3. 将长度为5cm 的线段向上平移10cm所得线段长度是（ ） （A）10cm （B）5cm （C）0cm （D）无法确定

4. 如图可以看作正△OAB绕点O通过( )旋转所得到的 A.3次 B.4次 C.5次 D.6次 5.下列运动是属于旋转的是( )

A.滾动过程中的篮球的滚动 B.钟表的钟摆的摆动

C.气球升空的运动 D.一个图形沿某直线对折过程

6．ΔABC是直角三角形，如图（a），先将它以AB为对称轴作出它的轴对称图形，然后再平移得到的图形应该是（ ）；

A C A C C

C B A B B (a) C B A B 7．下列说法正确的是( )

A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小 B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置

C.图形可以向某方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到 8．将图形按顺

A B C D ;三，解答题；1．经过平移，图中左边图形上A点移到E点，作出平移后的图形.

时针方向旋转900后的图形是( )

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2，将字母A按箭头所指的方向,平移3㎝,作出平移后的图形.

3，如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。

4.在下图中，将大写字母E绕点O按逆时针方向旋转90°后，再向左平移4个格，请作出最后得到的图案.

5．如图，把ABC绕B点逆时针方向旋转30º后，画出旋转后的三角形。

A

BC

四．如图,四边形ABCD的∠BAD=∠C=90º,AB=AD,AE⊥BC于E,BEA旋转后能与

DFA重合。

（1） 旋转中心是哪一点? （2） 旋转了多少度?

（3） 若AE=5㎝,求四边形AECF的面积。

如图，把ABC绕B点逆时针方向旋转30º后，画出旋转后的三角形。

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AFDBEC

五．如图是日本“三菱”汽车的标志，它可以看作是由什么“基本图案”通过怎样旋转得到的？每次旋转了多少度？

六．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。若平移距离为3，（1），求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积；

（2），若平移距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积y，则y与x有怎样关系式。

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