2021年高考模拟测试卷数学理

2021年高考模拟测试卷数学理

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：

柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：，其中c是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长. 球的体积公式V=, 其中R是球的半径. 球的表面积公式：S=4π,其中R是球的半径.

用最小二乘法求线性回归方程系数公式 . 如果事件互斥，那么.

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第1卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数的定义域为，集合，则

（A） （B） （C） （D） 131

2．设复数ω＝－＋i，则化简复数2的结果是( )

22ω13

A．－－i

2213

C.＋i 22

13B．－＋i

2213D.－i 22

3．若sinαcosα＜0，则角α的终边在( ) A．第二象限 B．第四象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限

1344．曲线y＝x＋x在点1，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) 33

1212A. B. C. D. 9933

2

5. 命题“若x＝3，则x－7x＋12＝0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的有( ) 个 A.0 B．1 C．2 D．3

6.在（0，2π）内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为 ( ) A. B.

C. D.

11

7 已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是 ( )

abA．2 B．22 C．4 D．5

8．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是 （ ）

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第II卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

9．如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为

22

10.点P（4，-2）与圆x+y=4上任一点连线的中点轨迹方程是

1x－2

11. 设函数y＝x3与y＝2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是

12.设F为抛物线y=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若++=0，则||+ ||+||的值为

13.某企业3个分厂同时生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h，1 020 h，1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值 为 h.

2

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14.如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有____个．

15.已知F1、F2是双曲线=1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么｜PF2｜+｜QF2｜-｜PQ｜的值是 .

16.设R上的偶函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，且当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)= . 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本小题满分12分） 已知f(x)[sin(x)3cos(x)]•cos(x).若θ∈［0,π］且f(x)为偶函数，求θ的值.

222

18.（本小题满分12分）

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间/分钟 10～20 0.1 20～30 0.2 30～40 0.3 40～50 0.2 50～60 0.2 L1的频率 实用文档

精品文档 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站． (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．

19.（本小题满分12分）

已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求： ⑴．直线AD与平面BCD所成角的大小； ⑵．直线AD与直线BC所成角的大小； ⑶．二面角A-BD-C的余弦值．

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20.（本小题满分12分） 已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线上.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0（n

*

∈N),且b3=11,前9项和为153. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式；

*

（2）设cn=3(2an-11)(2bn-1),数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对一切n∈N都成立的最大正整数k的值.

21．（本小题满分12分）设函数f(x)＝x－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围； (3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．

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3

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22.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.

x2y2

椭圆2＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.

a9

(1)求圆C的方程．

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.D．解析：由题得 所以选择D.

313321312

2．B解析∵ω＝－＋i＝－－i＝－－i，

2222442∴1

ω2

＝

13

＝－＋i.

2213

－－i22

1

3.C解析：因为sin αcos α＜0，则sin α，cos α符号相反，即角α的终边在二、四象限．

422

4．A解析：y′＝x＋1，曲线在点1，处的切线斜率k＝1＋1＝2，

344故曲线在点1，处的切线方程为y－＝2(x－1)． 33

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21该切线与两坐标轴的交点分别是，0，0，－. 33

1121

故所求三角形的面积是：××＝.故应选A.

2339

5.C解析：原命题和逆否命题，其他的是错误的，所以选C.

6.C解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在内，sin x>cos x,则x∈. 11

7.C解析：因为＋＋2ab≥2

1

abab＋2ab≥4，当且仅当a=b, =1时，等号成立，即a=b=1时，不

等式取最小值4.

8.C解析：方法一：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图都是边长为1的正方形，那么此时几何体是立方体，体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C.

方法二：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积S=π×=,高为1，则体积是；当俯视图是C时，该几何体是直三棱柱，故体积是V=×1×1×1=；当俯视图

2

是D时，该几何体是圆柱切割而成，其体积是V= ×1×1=.故选C. 9. y-3x-3<0 解析：由图知直线斜率为正值，再用（0,0)代入验证.

22

10. （x-2）+(y+1)=1 解析：设圆上任意一点为（x1,y1），中点为（x,y），

22

则代入x+y=4得

2222

(2x-4)+(2y+2)=4,化简得（x-2）+(y+1)=1.

1x－21x－2333

11.(1,2) 解析：如图所示，当x＝1时，x＝1，＝2，所以>x；当x＝2时，x＝8，

22

1x－2＝1，所以x3>1x－2，所以y＝x3与y＝1x－2的交点横坐标x满足1解析：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，

由于F(1,0),则=（x1-1,y1）, =（x2-1,y2）, =(x3-1,y3), 由++=0得x1-1+x2-1+x3-1=0,x1+x2+x3=3. ||+||+||=x1+x2+x3+3×=3+3=6. 13.答案：1 013

解析：根据分层抽样原理，第一、二、三分厂抽取的产品数量分别为25，50，25，所以所求100件产品的平均寿命为=1 013 h. 14.答案：3

12

解析：当x≤2时，x＝x，有x＝0或x＝1；当25时，x＝，x

x

无解．故可知这样的x值有3个． 15.答案：16

解析：因为双曲线方程为=1, 所以2a=8.由双曲线的定义得

｜PF2｜-｜PF1｜＝2a=8, ① |QF2|-|QF1|=2a=8. ② ①+②,得

｜PF2｜+｜QF2｜-（｜PF1｜+｜QF1｜）＝16. 所以｜PF2｜+｜QF2｜-｜PQ｜＝16. 16.答案：0.5

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解析：因为f(x+2)+f(x)=0,所以f(x+4)+f(x+2)=0,

两式相减得f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为T=4的周期函数. 又f(x)是偶函数，所以f(7.5)=f(-0.5)=f(0.5)=0.5. 17.

解：f(x)[sin(x)3cos(x)]•cos(x)222sin(x)•cos(x)3cos2(x)22213sin(2x)[1cos(2x)]223sin(2x).32

因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，

即得

所以又θ∈［0,π］,所以.

18.解 (1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.

用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0. 3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；

P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，

∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.

(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，

P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，

∴P(X＝0)＝P(A B)＝P(A)P(B)＝0.4×0.1＝0.04，

P(X＝1)＝P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.

∴X的分布列为

∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5(人)．

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19.⑴如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H， 则AH⊥平面DBC，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角

由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45° ⑵∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，

∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°

⑶过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2

故二面角A—BD—C的余弦值的大小为 20.解（1）由已知得：，所以Sn=. 当n≥2时， an=Sn-Sn-1==n+5,

当n=1时，a1=S1=6也符合上式.

*

所以an=n+5(n∈N).

*

由bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N)知{bn}是等差数列. 由{bn}的前9项和为153，可得：， 求得b5=17,又b3=11,

所以{bn}的公差,首项b1=5,所以bn=3n+2. (2) cn3111,

(2n1)(6n3)22n12n11111111111. 23352n12n122n1所以Tn因为n增大，Tn增大，所以{Tn}是递增数列，

所以Tn≥T1=.

*

Tn>对一切n∈N都成立，只要T1=>, 所以k<19,则kmax=18.

*

即使不等式Tn>对一切n∈N都成立的最大正整数为18.

21.解 (1)f′(x)＝3x－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.

因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)． 当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42； 当x＝2时，f(x)有极小值5－42.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－422

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(3)f(x)≥k (x－1)，即(x－1)(x＋x－5)≥k(x－1)． 因为x>1，所以k≤x＋x－5在(1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝x＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数． 所以g(x)>g(1)＝－3. 所以k的取值范围是k≤－3.

22.解：（1）设圆心坐标为(m,n),则m<0,n>0,

2

2

2

所以圆C的方程为(x+2)+(y-2)=8.

因为圆与椭圆的交点在椭圆上，则2a=10,a=5. 所以椭圆的方程为=1.

(2)由椭圆=1,所以F（4，0）， 若存在，则F在OQ的中垂线上，

又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称. 直线CF的方程为y-2=- (x+2),即x+3y-4=0,

2

2

所以存在，Q的坐标为.37807 93AF 鎯22880 5960 奠. 28346 6EBA 溺25583 63EF 揯20309 4F55 何25752 6498 撘39786 9B6A 魪38085 94C5 铅39424 9A00 騀30579 7773 睳24774

60C6 惆w37638 9306 錆

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