福建省厦门双十中学2016届高三下学期热身考试理数试题解析（解析版）

2023-12-22 来源：步旅网

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1．复数

2 i



（i 为虚数单位）的虚部为（

）

A．1 B．1 C． i D．i

【答案】A

考点：复数的运算与复数的概念.

2、若集合A{xN|54xx20},B{| yy4xxA}，则AUB等于（）

A．B B．1,2,4 C．1,2,3,4 D．1,0,1,2,3,4

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得



{



| 1





{0,1,2,3,4}

，则

B 

{0,1,2,3,4}

，所以A

等于B ，故

选A.

考点：集合的运算.

3．设, , a b c



，则“1, , , ,16

为等比数列”是“

b 

”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件[来源:学科网ZXXK]

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得，“1,, , ,16为等比数列”，则b16，解得b，又a1 0，所以b4，

但当b4时，数列“1,,4, ,16不一定为等比数列”，所以“1,, , ,16为等比数列”是“b4”的充分

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非必要条件，故选A.学科网[来源:Z&xx&k.Com]

考点：等比数列的性质；充分不必要条件的判定.

4．过双曲线	x	2		y	2		1	(	a		0	b		0 )	的右焦点F 作一条直线，当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、
	a	2		b	2										6
右两支各有一个交点；当直线倾斜角为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取

值范围为（）

A．



2 3 1, 3





B．2 3 ,2



3





C．(1, 3) D．(1,2)

【答案】B

考点：双曲线的几何性质.

5.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，

直到3 张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4 人抽完后结束的概率为（			）	D.2 5
A.1 10	B.1 5	C.3 10

【答案】C
【解析】

试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有					A 5	120	种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结束，则前
三次共抽到2 张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有								3	A A A 3 2 1	36	种取法，所以概率为
P 	36		3	，故选C.
	120		10	，故选C.

考点：古典概型及其概率的计算.

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6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆

的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就

是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）

（参考数据：3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）

A．12

B．24

C．36

D．48

开始

n=6

S		n		sin	360	0
		2			n

n=2n

S 

3.10

否

是

输出n

结束

【答案】B

考点：程序框图.

7.如图，半径为2的圆O与直线MN切于点P，射线PK从PN出发，绕P点逆时针旋转到PM，旋转

过程中与圆O 交于Q ，设

POQ





2 )

，旋转扫过的弓形PmQ 的面积为



f x ( )

，那么

f x ( )

的图象大致为（

）

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4



2

4



2

4



2

4



2

【答案】D

考点：函数的变化趋势和函数的图象.[来源:学科网]

【方法点晴】本题主要考查了河南省的图象与函数图象的变化趋势，其中根据实际情况，分析处函数值在

不同的情况下，随自变量的变化趋势及变化速度的快慢是解答此类问题的关键，着重考查了学生分析问题

和解答问题的能力、以及学生识别函数图象的能力，其中分析到弓形PMQ的面积由0增大到半圆面积只增

大的速度起来越快，而由半圆增大为圆时增大的速度越来越慢是解答的关键.

8.已知

A B C 三点都在以O 为球心的球面上，

OA OB OC 两两垂直，三棱锥O



ABC

的体积为4 3

，则

球O的表面积为（）

（A）3 （B）16 （C）32

3
 （D）

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32

【答案】B

【解析】

试题分析：设球的半径为R ，由题意OA



，可得三棱锥O



ABC

体积，





，

解得

R 

，则球的表面积为



4R



4



16，故选B.学科网

考点：球的组合体的性质；球的表面积公式.

9.若

f x ( )



sin(x



)



cos(x



)

(

的最小正周期为，

(0)



，则（）

f x 在(



 , )

4 4

单调递增

f x 在(



 , )

4 4

单调递减

f x 在(0,

单调递增2

f x 在(0,

单调递减
2

【答案】D

考点：三角函数的图象与性质.

3x2y40

10.设实数x，y满足约束条件

 xy40，已知z2xy的最大值是7，最小值是26，则实数



xay20

a的值为（）

A.6 B. 6 C. 1 D. 1

【答案】D

【解析】

试题分析：作出不等式组表的平面区域，如图所示，因为z2xy的最大值为7，最小值为26 ，所以

作出2xy7和2xy26的图象，由于图象知2xy7和2xy40相交于C，2xy26

2xy7 x3

与3x2y40相交于 B，由于

xy40

y1
，即 C(3,1)，由

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2 x



3 x



26





8

10

，即

B ( 8, 10)

，因为

B C 同时在直线





上，所以







3a2

8 10 a



，得

a



，所以

a 

，故选D.学科网



考点：简单的线性规划.

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（										）		2 2)		1
A．(10			2 2)					1	B．13 6
			2
C．(11				2)			1	D．(11			
		2										2
1	1

正视图侧视图

2
俯视图

【答案】C

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考点：几何体的三视图及几何体的表面积的计算.

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，

属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原

几何体的形状，本题的解答中，根据几何体的三视图得到该几何体表示，左半部分表示一个底面半径为1，

母线长为 2，高为1的半个圆锥，右半部分表示一个底面半径为1，母线长为2的圆柱是解答本题的关键.

12.已知函数f(x)=lnxax2ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）

A.（-∞，0） B.（0，+∞）

C.（0,1）∪（1，+∞） D.（-∞，0）∪{1}

【答案】C

考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象的应用.

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【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的图象的应用、函数的零点的判定等知识

的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解

答中方程







，即方程



(



1 )

恰有两解，设出

(

)



，转化为利用函数

的单调性与最值，进行求解.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，满分20 分．）

u u u r u u u

,则BD AC



________.

13．正ABC

u u u

中，AB

u u u

在BC

方向上的投影为1，且

u u u



u u u r

【答案】2
3

【解析】

试题分析：因为正ABC

u u u

中，AB

u u u

在BC

方向上的投影为1，所以正三角形的边长为2 ，所以

u u u r u u u

BD AC



(

u u u



u u u

)



u u u



(

u u u



u u u

)



u u u



u u u



u u u r u u u

AB AC









考点：向量的运算.

14.若



2 )





a x 1



a x 2



a x 3



a x 4

，则



a 1



a 3

a 0



a 1



a 3

等于_________．

【答案】41

考点：二项式定理的应用.

15.已知P 是抛物线

2 

上一点，F 是该抛物线的焦点，则以PF 为直径且过（0,2）的圆的标准方

程为 .

【答案】	(	x	-	3	)	2	+	( + 2)	2	=	9	或(	x	-	3	)	2	+	(	y	-	2)	2	=	9
				2							4				2										4

【解析】

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试题分析：设											P	(	y	2 0	,		)	，由题知				F	( 1 , 0 )			，由抛物线的定义知，圆的直径为																									\| PF =					1		y	2 0	，圆心为
													4			0																																										4
(	1			y	2 0	,	y		0	)	，由题知							(	1		y	2 0		2 )	2			(	y	0			0 )		2	=		1		( 1			y	2 0	)	，解得						y			2			2	，所以圆心为
	2			8			2												2		8								2									2					4										0
(	3	,		2		)		，半径为2 3 ，所以所求圆的标准方程为																								(		x		3	)	2			(	y		2		)	2		9	.学科网
	2																																			2													4

考点：抛物线的性质；圆的方程.

【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质、圆的标准方程的求解，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中由抛物线的定义知，圆的直径

为	\| PF =	1		y	2 0	，圆心为	(	1			y	2 0	,	y	0	)	，根据题设列出方程，得到圆心为坐标和圆的半径，即可求解圆的
				4				2		8				2

标准方程.

16.定义

max



a b 表示实数, a b 中较大的数，已知数列

满足

a 1



a a



0),

a 2



的值

2016



2max(

a n

1

,2)





)

，若



，记数列

的前项和为

S ，则n

a n

2015

为 .
【答案】7255

考点：数列的周期性．

【方法点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可

先按新定义求出数列的前几项（象本题由

a a 依次求出1 2

a a a a a ）3 4 5 6 7 ，从中发现周期性的规律，本题求

解中还要注意由新定义要对参数a进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的

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问题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）
为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可

以弹射到空中进行气象观测．如图所示，					A B C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，
观测点	A B 两地相距100 米，	BAC		60，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚2 17秒．在A 地测得该

仪
器至最高点H处的仰角为30．

（Ⅰ）求A，C两地的距离；
（Ⅱ）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米/秒）．

【答案】（I）420；（II）1403.

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考点：解三角形的实际应用.

18.（本小题满分12分）

某商场每天以每件100元的价格购入A商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A商品前8

小时没有售完，则商场对没卖出的A商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A商品当天能够处理完）.

该商场统计了100天A商品在每天的前8小时的销售量，制成如下表格.

前8 小时的销售量t（单位：件）	6	7	8
频数	40	35	25

（Ⅰ）某天该商场共购入8件A商品，在前8个小时售出6件.若这些产品被8名不同的顾客购买，现

从这8名顾客中随机选4人进行回访，求恰有三人是以每件200元的价格购买的概率；

（Ⅱ）将频率视为概率，要使商场每天购进A商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A商品，

并说明理由.

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【答案】（I）4

；（II）7 .

考点：古典概型及其概率的求解；数学期望的计算.

19.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱ABCAB C 11 1中，侧面ACCA与侧面1 1BCCB都是菱形，1 1

ACC1BCC1120，AC2．

（Ⅰ）求证：CC1AB 1 1；

（Ⅱ）若AB1 1 6，求直线BC与平面11 AB C所成角的正弦值．11

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【答案】（I）证明见解析；（II）15

A B 1 1

，则有

OA 1 2



OB 1 2



A B 1 1 2

，

（Ⅱ）在

AOB 1 1

中，

OA 1



OB 1



，若

所以

OA 1



OB 1

，

由（Ⅰ）有

CC 平面1

AOB ， ………………8 分1 1

以O 为原点，分别以

OB OC OA 所在直线为, , 1 1 1 x y z 轴，

建立空间直角坐标系O



xyz

，

则

A 10,0, 3



，

B 1



3,0,0



，

C 10,1,0



，



0, 1,0



．



A B 1 1





3,0,



3 ,



C B 1 1





3, 1,0 ,

CB 1





3,1,0



，

设平面

CA B 的一个法向量为1 1

m =



x,y,z



，则

m
m



A B 1 1
CB 1















整理，得

y

 x ,

3 ,

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考点：直线与平面垂直判定与证明；直线与平面所成的角的求解.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆











的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线





与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；



（Ⅱ）过点M(2,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T，若椭圆C 上存在点P 满足OS









tOP

（其

中O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．

【答案】（I）



；（II）

t ( 2,2)

【解析】

试题分析：（I）写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆的相切得到da，再由等腰直角三角形得到

bc，解方程即可得到,ab的值；（II）设Px 0,y0)，设出直线ykx2)，联立椭圆方程消去y，得

到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x0,y的关系，代入椭圆方程，结合判0

别式大于0，即可得出t的取值范围.学科网

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当

t 



时，直线l 为x 轴，则椭圆上任意一点P 满足OS









tOP

，符合题意；



时，


tx 0


ty 0



8 k

当





4



∴

x 0



8 k 2

2 k

，

y 0



4 k

2 k

．-----------------------------------------9 分

将上式代入椭圆方程得：





，

1



1







整理得：



是

k 的递增函数，2



1
k

由

k 

知，



，所以

t ( 2,0)

(0,2)

，综上可得

t ( 2,2)

． ---------12 分

考点：椭圆的标准方程；直线与圆的位置关系的判定与应用.

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【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系的判定与应用直线与圆相切的条件，此类问题的解答中联立直线方程与椭圆方程消去一个未知数，运用韦达定理，注意判别式大于0的条件，合理、灵活运用是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

21.（本小题满分12分）

设函数

(

)



(



1 )(



1 )

为自然对数的底数.

恒成立

（Ⅰ）当



时，求函数

y 

)

在点

( 1 ,

( 1 ))

处的切线方程



g x ( )

,并证明

f x ( )



g x ( )

（Ⅱ）当

是钝角三



时，设

A ,

是函数



(



(

2 ,



)

图像上三个不同的点，求证：ABC

角形.

【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析.

(2,



)

（Ⅱ）当

k 

时，

f x ( )



(



1)(



，

x

( )



(







1)(





(



1)[

(





……………………6 分

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(注意：利用图象说明，需画图准确，说明充分,可给四分；只画图，不说明，给2分)

考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程；利用导数求解闭区间上函数的极值与最值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程、利用导数求解闭区间上函数的极值

与最值，同时考查了向量的坐标运算与向量的几何意义，以及单调性的运用，着重考查了分析问题和解答

问题的能力，以及分类讨论思想的应用，本题的解答中判断

f x 是(2,

的单调增函数，运用数量积的

坐标表示，得出

u u u r u u u

BA BC



，即cos



B

为钝角是解答关键.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请

写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，ABC内接于圆O，D是¼BAC的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E,F．

（Ⅰ）求证：BF是ABE外接圆的切线；

（Ⅱ）若AB3,AC2，求DB2DA2的值．

【答案】（I）证明见解析；（II）6.

【解析】

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考点：相似三角形；与圆有关的比例线段.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，

M ( 2,0)

.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

A ( , )为曲线上一点，B

( ,


)，且



．

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（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）求	OA	2			MA		2	的取值范围．							4 3,10		4 3]	.
【答案】（I）		(	x		1)	2		(	y		3)	2	；（II）[10

考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化；参数方程的应用.

24.（本小题满分10 分）【选修4-5:不等式选讲】

已知m ，n



R

，

f x ( )







（Ⅰ）求

f x 的最小值；

（Ⅱ）若

f x 的最小值为2 ，求

m 

的最小值.

【答案】（I）

m 

；（II）2 .

[来源:Zxxk.Com]

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考点：分段函数的应用；基本不等式的应用.

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福建省厦门双十中学2016届高三下学期热身考试理数试题解析（解析版）