2016-2017学年福建省厦门市翔安一中高三（上）期中数学试卷
（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卷相应位置.）
1．设全集U=R，集合，则集合A∩（∁UB）=（ ）
A．{x|x＞0}B．{x|x＜﹣3} C．{x|﹣3＜x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜0}
2．已知，且x是第四象限角，则sinx的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，lgx=0B．∃x∈R，tanx=1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞0
4．给定两个向量，若，则实数x等于（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．﹣1
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a5+a7=15，则S9=（ ）
A．18 B．36 C．45 D．60
6．“”是“函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．在直角三角形ABC中，CA=4，CB=2，M为斜边AB的中点，则的值为（ ）
A．1 B．10 C． D．6
8．如果数列{an}的前n项和Sn=an﹣3，那么这个数列的通项公式是（ ）
A．an=2（n2+n+1） B．an=3×2nC．an=3n+1 D．an=2×3n
9．函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
10．设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，则函数值
f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个不可能是（ ）
A．f（﹣1） B．f（1） C．f（2） D．f（5）
11．一只船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处，
下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船航行的速度（单位：海里/小时）（ ）
A． | B． | C． | D． |
12．已知函数y=sin在区间[0，t]上至少取得2 次最大值，则正整数t 的最小值是（ ） | |||
A．6 | B．7 | C．8 | D．9 |
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷相应位置.）13．已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为°．14．已知=（3，﹣2），+=（0，2），则||= ．
15．已知函数，则方程f（x）=﹣3的解为 ．
16．设函数，满足
= ．
三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在极坐标系中，已知曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为θ=，
曲线C1，C2相交于A，B两点．以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标
系，已知直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求A，B两点的极坐标；
（2）曲线C1与直线l分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．
18．已知，其中向量（x∈R），
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=2，a=，b=，求边长c的值．
19．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1+2a2=3a3．
（1）求q的值；
（2）设数列{bn}是首项为2，公差为q的等差数列，{bn}的前n项和为Tn．当n≥2时，试比较bn与Tn的大小．
20．已知函数．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并用“五点法作图”在给出的直角坐标系中画出函数y=f
（x）在区间[0，π]上的图象；
（2）设α∈（0，π），f（）=，求sinα的值．
21．函数，且方程f'（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．
（1）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在R上单调，求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）的最小值为0，
若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求证：＜2x2．
2016-2017学年福建省厦门市翔安一中高三（上）期中数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卷相应位置.）
1．设全集U=R，集合，则集合A∩（∁UB）=（ ）
A．{x|x＞0}B．{x|x＜﹣3} C．{x|﹣3＜x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜0}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】分别求出集合A，∁UB，从而求出其交集．
【解答】解：由＜0，即x（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜0，则A={x|﹣3＜x＜0}，
∵B={x|x≤﹣1}，
∴∁UB={x|x＞﹣1}，
∴A∩（∁UB）={x|﹣1＜x＜0}，
故选：D
2．已知，且x是第四象限角，则sinx的值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】利用诱导公式求得cosx的值，再根据x是第四象限角，利用同角三角函数的基本
关系，求得sinx的值．
【解答】解：∵已知=cosx，且x是第四象限角，则sinx=﹣=﹣
，
故选：A．
3．下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，lgx=0B．∃x∈R，tanx=1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞0
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．
【解答】解：A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断．对于C选项x=﹣1
时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确．
故选C
4．给定两个向量，若，则实数x等于（ ）
A．﹣3 | B． | C．3 | D．﹣1 |
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】求出相关向量，利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
【解答】解：两个向量，=（3+2x，4+x）；=（1，
3），
∵，∴9+6x=4+x，解得x=﹣1．
故选：D．
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a5+a7=15，则S9=（ ）
A．18 | B．36 | C．45 | D．60 |
【考点】等差数列的性质．
【分析】利用等差数列的性质化简已知的等式，得到a5的值，然后利用等差数列的前n项
和公式及等差数列的性质把所求的式子化简后，把a5的值代入即可求出值．
【解答】解：由a3+a5+a7=3a5=15，解得a5=5，
则S9==9a5=45．
故选C
6．“”是“函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可．
【解答】解：若函数f（x）=sin（2x+φ）为偶函数，
则φ=+kπ，k∈Z，
则“φ=”是“函数f（x）=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，
故选：A．
7．在直角三角形ABC中，CA=4，CB=2，M为斜边AB的中点，则的值为（ ）
A．1 B．10 C． D．6
【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．
【分析】由平面向量基本定理和向量的运算法则，用向量，表示所求向量，再由数量
积的运算可得．
【解答】解：如图，由向量的运算法则可得=，
∵M为斜边AB的中点，∴==﹣（），
∴=﹣（）•（） =（）=（22﹣42）=6 |
故选D
8．如果数列{an}的前n项和Sn=an﹣3，那么这个数列的通项公式是（ ）
A．an=2（n2+n+1） B．an=3×2nC．an=3n+1 D．an=2×3n
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【分析】利用数列中an与Sn关系，得出，且a1=6，
由此判定数列为等比数列，通项公式可求．
【解答】解：当n=1时，，解得a1=6．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=
，化简整理，
所以数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．通项公式an=6×3n﹣1=2×3n．
故选D．
9．函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A． | B． | C． | D． |
【考点】二次函数的图象；对数函数的图象与性质．
【分析】可采用反证法做题，假设A和B的对数函数图象正确，由二次函数的图象推出矛
盾，所以得到A和B错误；同理假设C和D的对数函数图象正确，根据二次函数图象推出
矛盾，得到C错误，D正确．
【解答】解：对于A、B 两图，||＞1 而ax2+bx=0 的两根为0 和﹣，且两根之和为﹣， 由图知0＜﹣＜1 得﹣1＜＜0，矛盾， 对于C、D 两图，0＜||＜1，在C 图中两根之和﹣＜﹣1，即＞1 矛盾，C 错，D 正确． |
故选：D．
10．设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，则函数值
f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个不可能是（ ）
A．f（﹣1） B．f（1） C．f（2） D．f（5）
【考点】二次函数的性质．
【分析】由题设知，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2．a＞0时，函数值f（﹣1），
f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（2）．a＜0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f
（5）中，最小的一个是f（﹣1）和f（5）．
【解答】解：∵对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，
∴函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，
当a＞0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（2）．
当a＜0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（﹣1）和f（5）．
故选B．
11．一只船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处，
下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船航行的速度（单位：海里/小时）（ ）
A． B．C． D．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船
航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．
【解答】解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°．
在△PMN中，由正弦定理，得∴MN=64×=32．
又由M到N所用时间为14﹣10=4（小时），
∴船的航行速度v=8（海里/时）；
故选B．
12．已知函数y=sin在区间[0，t]上至少取得2 次最大值，则正整数t 的最小值是（ ） |
A．6 | B．7 | C．8 | D．9 |
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】先根据三角函数的性质可推断出函数的最小正周期为6，进而推断出≤t进而求得t的范围，进而求得t的最小值．
【解答】解：函数y=sin的周期T=6，
则≤t，
∴t≥，
∴tmin=8．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷相应位置.）13．已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为60°．
【考点】正弦定理．
【分析】根据三角形的面积公式S=absinC，由锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，代入面积公式即可求出sinC的值，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的大小．
【解答】解：由题知，×4×3×sinC=3，
∴sinC=．
又∵0＜C＜90°，
∴C=60°．
故答案为60°．
14．已知=（3，﹣2），+=（0，2），则||=5．
【考点】平面向量的坐标运算；向量的模．
【分析】先根据条件求出的坐标，再代入模长计算公式即可．
【解答】解：因为=（3，﹣2），+=（0，2），
∴=（）﹣=（﹣3，4）；
∴||==5．
故答案为：5．
15．已知函数，则方程f（x）=﹣3的解为1或﹣2．
【考点】函数的零点．
【分析】由函数的解析式可得方程f（x）=﹣3可化为，或．分别
求出这两个混合组的解，即为所求．
【解答】解：函数，则由方程f（x）=﹣3可得，，或
．
解得x=1，或x=﹣2，
故答案为1或﹣2．
16．设函数，满足
=0．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】利用，结合，求出φ的值，得到函数的解析
式，然后求出．
【解答】解：由题意可知：，所以2sin（2x+φ）=2sin（﹣2x+φ+），
令x=0可得，
φ=，所以，==0．
故答案为：0．
三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在极坐标系中，已知曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为θ=，
曲线C1，C2相交于A，B两点．以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标
系，已知直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求A，B两点的极坐标；
（2）曲线C1与直线l分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为θ=，得ρ2cos
=8，所以ρ2=16，求出ρ，即可求A，B两点的极坐标；
（2）利用参数的几何意义，求线段MN的长度．
【解答】解：（1）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为θ=，
得ρ2cos=8，所以ρ2=16，即ρ=±4
所以A，B两点的极坐标为：A（4，），B（﹣4，）…
（2）由曲线C1的极坐标方程得其直角坐标方程为x2﹣y2=8，…
将直线代入x2﹣y2=8整理得t2+2t﹣14=0…
即t1+t2=﹣2，t1•t2=﹣14，…
所以|MN|==2．…
18．已知，其中向量（x∈R），
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=2，a=，b=，
求边长c的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理．
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，两角和的正弦函数公式可求函数解析式为f
（x）=2sin（2x+），利用正弦函数的单调性即可得解．
（2）由已知可得sin（2A+）=1，结合范围0＜A＜π，可求A的值，由余弦定理即可解
得c的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）f（x）==sin2x+cos2x …
=2sin（2x+）…
由，
得．…
∴f（x）的单调增区间为．… （2）f （A）=2sin（2A+）=2， ∴sin（2A+）=1，… |
∵0＜A＜π，
∴，
∴2A+=，
∴A=．…
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，
7=3+c2﹣3c即c2﹣3c﹣4=0，…
∴c=4或c=﹣1（不合题意，舍去），
∴c=4． …
19．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1+2a2=3a3．
（1）求q的值；
（2）设数列{bn}是首项为2，公差为q的等差数列，{bn}的前n项和为Tn．当n≥2时，试
比较bn与Tn的大小．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）由已知可得a1+2a1q=3a1q2，因为{an}是等比数列，所以3q2﹣2q﹣1=0．由此能
求出q的值．
（2）当q=1时，bn=n+1，故当q=1时，Tn＞bn（n≥2）．当q=﹣时，由此分类讨论能比较
bn与Tn的大小
【解答】解：（1）由已知可得a1+2a1q=3a1q2，
因为{an}是等比数列，所以3q2﹣2q﹣1=0．
解得q=1或q=﹣．
（2）①当q=1时，bn=n+1，Tn=
所以，当n≥2时，Tn﹣bn=（n2+n﹣2）．
即当q=1时，Tn＞bn（n≥2）．
②当q=﹣时，bn=2+（n﹣1）×（﹣）=，Tn=2n+（n﹣1）（﹣）=，
所以Tn﹣bn=﹣，
所以，当n＞14时，Tn＜bn；
当n=14时，Tn=bn；
当2≤n＜14时，Tn＞bn．
综上，当q=1时，Tn＞bn（n≥2）．
当q=﹣时，若n＞14，Tn＜bn；
若n=14，Tn=bn；
若2≤n＜14，Tn＞bn．
20．已知函数．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并用“五点法作图”在给出的直角坐标系中画出函数y=f
（x）在区间[0，π]上的图象；
（2）设α∈（0，π），f（）=，求sinα的值．
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解
析式．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式，根据五点法，求出对应的
五点，即可得到结论．
（2）法一：由已知可求，利用两角差的正弦函
数公式可求sinα的值；法二：由已知可得，进而可求，
联立即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵=
，…
由知：
x | 0 |
|
| x1，y1 |
| π |
|
|
| π |
| 2π |
|
|
| ﹣1 | 0 | 1 | 0 |
|
故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是
…
（2）法一：∵，
∴，…
，…
∵α∈（0，π），
∴sinα＞0，
∴．…
法二：∵，，①
∴，
∴，…
∴，
又∵α∈（0，π），
∴sinα＞0，
∴cos＜0，
∴，②…
由①②得，∴．…
21．函数，且方程f'（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．
（1）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在R上单调，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）﹣9x=0中，再由方程有两根1、4可得
两等式；
（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式；（2）函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．
【解答】解：f′（x）=ax2+2bx+c …
因为f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4，
所以 （*）（或：即）…
（1）当a=3时，由（*）式得，解得：b=﹣3，c=12（或：）
又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0故f（x）=x3﹣3x2+12．…
（2）由于a＞0，所以“f（x）在R上单调”等价于“f'（x）=ax2+2bx+c≥0在R上恒成立”．
只需△=（2b）2﹣4ac≤0…
由（*）得代入整理得，a2﹣10a+9≤0，…
解得1≤a≤9．…
22．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求证：＜2x2．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f（1）=1且f′（1）=0联立求得a，b的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的f（x）的解析式代入g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1），求其导函数，然后对m分类分析导函数的符号，得到原函数的单调性，求出最小值．特别当m＞2时，g
（x）在上单调递减，在上单调递增，求出g（x）的最小值小于0．则m
的取值范围可求；
（Ⅲ）由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，得到x﹣1＞2lnx，由0＜x1＜x2得到
0＜，代入x﹣1＞2lnx证得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2﹣blnx，得：
，
∵函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，
∴，解得a=1，b=2；
（II）由（Ⅰ）知，f（x）=x2﹣2lnx，
∴g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）=m（x﹣1）﹣2lnx，x∈（0，1]，
∴，
①当m≤0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）min=g（1）=0．
②当0＜m≤2时，，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）min=g（1）=0．
③当m＞2时，g′（x）＜0在上恒成立，g′（x）＞0在上恒成立，
∴g（x）在上单调递减，在上单调递增．
∴，
∴g（x）min≠0．
综上所述，存在m满足题意，其范围为（﹣∞，2]；
（III）证明：由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，∴x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=0，
即x﹣1＞2lnx．
∵0＜x1＜x2，
∴0＜，
∴，
∴，
∵lnx2＞lnx1，
∴．
2017年1月2日
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