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三角函数与平面向量的综合应用

2022-06-24 来源:步旅网
三角函数与平面向量的综合应用

要点梳理

1. 三角恒等变换

(1)公式:同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式.

(2)公式应用:注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧,观察三角函数式中角之间的联系,式子之间以及式子和公式间的联系.

(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围. 2. 三角函数的性质

(1)研究三角函数的性质,一般要化为y=Asin(ωx+φ)的形式,其特征:一角、一次、一函数.

(2)在讨论y=Asin(ωx+φ)的图象和性质时,要重视两种思想的应用:整体思想和数形结合思想,一般地,可设t=ωx+φ,y=Asin t,通过研究这两个函数的图象、性质达到目的. 3. 解三角形

解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换化简,然后运用正、余弦定理求值;二是与平面向量结合(主要是数量积),判断三角形形状或结合正、余弦定理求值.试题一般为中档题,客观题、解答题均有可能出现. 4. 平面向量

平面向量的线性运算,为证明两线平行提供了重要方法.平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题.特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合,体现了向量应用的广泛性.

基础自测

π

+αsin-π-αcos2

1.已知角α终边上一点P(-4,3),则的值为________.

11π9πcos2-αsin2+α2.已知f(x)=sin(x+θ)+3cos(x+θ)的一条对称轴为y轴,且θ∈(0,π),则θ=________.

π

0,)图象 3.如图所示的是函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|∈2的一部分,则f(x)的解析式为____________.

4. (2012·四川改编)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至 E,使AE=1,连接EC、ED,则sin∠CED=________.

5. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB

→→

=3,P是BC上的一个动点,当PD·PA取得最小值时,tan∠DPA的 值为________. 题型分类

题型一 三角恒等变换

1

π3sin α-cos 2α+1π3π

α-=,求例1 设<α<,sin的值. 4534tan α

π43α+7π的值是 α-+sin α=变式训练1.已知cos,则sin( ) 665

232344A.- B. C.- D. 5555

题型二 三角函数的图象与性质

ππ

例2 (2011·浙江)已知函数f(x)=Asin(x+φ),x∈R,A>0,0<φ<,y=f(x)的部分图象如图

32

所示,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A). (1)求f(x)的最小正周期及φ的值;

(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,求A的值.

3

变式训练2.已知函数f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(A,B,ω是常数,ω>0)的最小正周期为2,

1

并且当x=时,f(x)max=2.

3

(1)求f(x)的解析式;

2123

(2)在闭区间4,4上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.

2

题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用

xxx3sin ,1,n=cos ,cos2. 例3 已知向量m=4442π

(1)若m·n=1,求cos3-x的值; (2)记f(x)=m·n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求函数f(A)的取值范围.

变式训练3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且lg a-lg b= lg cos B-lg cos A≠0. (1)判断△ABC的形状;

(2)设向量m=(2a,b),n=(a,-3b),且m⊥n,(m+n)·(n-m)=14,求a,b,c的值. 专项训练

→→

1. (2012·大纲全国)△ABC中,AB边的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|

=2,则AD等于 ( ) 11223344A.a-b B.a-b C.a-b D.a-b 33335555

2

2. 已知向量a=(2,sin x),b=(cosx,2cos x),则函数f(x)=a·b的最小正周期是( )

π

A. B.π C.2π D.4π 2

3. 已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(3,-1),n=(cos A,

sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为 ( ) ππ2ππππππA., B., C., D., 63363633

π1

x+,若a=f(lg 5),b=flg ,则 4. (2012·江西)已知f(x)=sin2 ( ) 45

A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1

135. 已知a=-,,b=(1,3),则|a+tb| (t∈R)的最小值等于 ( )

22

312

A.1 B. C. D.

222

3

33→→→→

6. 在△ABC中,AB·BC=3,△ABC的面积S△ABC∈,,则AB与BC夹角的取值范围

22是 ( )

πππ,π C.π,π π,π , A.B. D.43646332π

7. (2012·北京)在△ABC中,若a=3,b=3,∠A=,则∠C的大小为________.

3

8. 在直角坐标系xOy中,已知点A(-1,2),B(2cos x,-2cos 2x),C(cos x,1),其中x∈[0,

→→

π],若AB⊥OC,则x的值为______.

π对x∈R恒成立,9. (2011·安徽)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数.f(x)≤f6

π且f2>f(π),则f(x)的单调递增区间是__________.

ππββππ13

+α=,cos-=,则cosα+=________. 10.若0<α<,-<β<0,cos43423222

11. (2012·山东)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初

始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向

滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为________.

12.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A.

(1)求B的大小;

(2)求cos A+sin C的取值范围.

xx

sin2-sin4(a>0且a≠1),试讨论函数的奇偶性、单调性. 13.已知f(x)=loga22

4

基础自测 1.解析

-sin α·sin α==tan α.

11π9π-sin α·cos αcos2-αsin+α

2

π

+αsin-π-αcos2y33

根据三角函数的定义得tan α==-.所以=-.

x411π9π4

-αsin+αcos22

π

+αsin-π-αcos2

2. 解析 f(x)=sin(x+θ)+3cos(x+θ)

ππππx+θ+,由θ+=kπ+ (k∈Z)及θ∈(0,π),可得θ=. =2sin3326

3. 解析 由于最大值和最小值之差等于4,故A=2,B=1.

ππ0,,得φ=. 由于2=2sin φ+1,且|φ|∈26π

由图象知ω(-π)+φ=2kπ- (k∈Z),

2

22π2

得ω=-2k+(k∈Z).又>2π,∴0<ω<1.∴ω=. 3ω3

2π∴函数f(x)的解析式是f(x)=2sin3x+6+1. 4. 解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解.

由题意知,在Rt△ADE中,∠AED=45°, 在Rt△BCE中,BE=2,BC=1,

12

∴CE=5,则sin∠CEB=,cos∠CEB=.

55而∠CED=45°-∠CEB, ∴sin∠CED=sin(45°-∠CEB)

212210

=(cos∠CEB-sin∠CEB)=×-=. 225510

方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解. 由题意得ED=2,EC=12+22=5. 在△EDC中,由余弦定理得

CE2+DE2-DC23

cos∠CED==10,又0<∠CED<π,

2CE·DE10

310102=∴sin∠CED=1-cos2∠CED=1-1010. 5. 解析 如图,以A为原点,建立平面直角坐标系xAy,则A(0,0),

B(3,0),C(3,2),D(0,1),设∠CPD=α,∠BPA=β, P(3,y) (0≤y≤2).

135→→→→2

y-2+, ∴PD=(-3,1-y),PA=(-3,-y),∴PD·PA=y-y+9=24

11→→

3,, ∴当y=时,PD·PA取得最小值,此时P22

5

3→→

易知|DP|=|AP|,α=β.在△ABP中,tan β==6,

12

2tan β12

tan∠DPA=-tan(α+β)=2=.

tanβ-135

π3π3ππππ

α-=, 例1. 解 方法一 由<α<,得<α-<,又sin45341242

π4ππα-=.所以cos α=cos[(α-)+] 所以cos4544ππππ2α-cos -sinα-sin =, =cos444104

sin α+2sin2α14+5272

所以sin α=.故原式==cos α(1+2sin α)=. 10sin α50

cos α

π332α-=,得sin α-cos α=方法二 由sin, 455

18

两边平方,得1-2sin αcos α=,

25

7π3πππ

即2sin αcos α=>0.由于<α<,故<α<. 253432

32

因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,

25

42722

故sin α+cos α=,解得sin α=,cos α=.下同方法一.

51010π433343α+π=4, α-+sin α=变式1解析 cos⇒sin α+cos α=⇒sin66552257ππ4α+=-sinα+=-. 所以sin665

2ππ

例2. 解 (1)由题意得T==6.因为P(1,A)在y=Asin(x+φ)的图象上,

π33

πππ

所以sin(+φ)=1.又因为0<φ<,所以φ=. 326

(2)设点Q的坐标为(x0,-A).

ππ3π

由题意可知x0+=,得x0=4,所以Q(4,-A).

362

连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=,由余弦定理得

3

2222

RP+RQ-PQA+9+A2-9+4A21

cos∠PRQ===-,解得A2=3.又A>0,所以A=3. 22RP·RQ22A·9+A

变式2解 (1)因为f(x)=A2+B2sin(ωx+φ),由它的最小正周期为2,知=2,ω=π,

ω

11ππ

又因为当x=时,f(x)max=2,知π+φ=2kπ+ (k∈Z),φ=2kπ+ (k∈Z),

3326

πππ

πx+2kπ+=2sinπx+.故f(x)的解析式为f(x)=2sinπx+. 所以f(x)=2sin666

6

(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称

ππ1211235965

轴,令πx+=kπ+ (k∈Z),解得x=k+,由≤k+≤,解得≤k≤,又k∈Z,

6234341212

212316,上存在f(x)的对称轴,其方程为x=. 知k=5,由此可知在闭区间443

x

1+cos

2xπ1xxx3x

例3解 (1)m·n=3sin ·cos +cos2=sin +=sin2+6+2, 444222

xπ1

∵m·n=1,∴sin2+6=2. πxπ12ππ1x+=1-2sin2+=,cos-x=-cosx+=-. cos3262332(2)∵(2a-c)cos B=bcos C,

由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,

∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C.∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0.

Aπ11π2ππAππ

∴cos B=,∵0xπ1Aπ1++.∴f(A)=sin++. 又∵f(x)=sin262262

31,. 故函数f(A)的取值范围是2变式3解 (1)因为lg a-lg b=lg cos B-lg cos A≠0,

acos B所以=≠1,所以sin 2A=sin 2B且a≠b.

bcos A

π

因为A,B∈(0,π)且A≠B,所以2A=π-2B,即A+B=且A≠B.

2

所以△ABC是非等腰的直角三角形. (2)由m⊥n,得m·n=0.所以2a2-3b2=0.① 由(m+n)·(n-m)=14,得n2-m2=14,

所以a2+9b2-4a2-b2=14,即-3a2+8b2=14.② 联立①②,解得a=6,b=2.所以c=a2+b2=10. 故所求的a,b,c的值分别为6,2,10.

专项训练

1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B

π2ππππ5

kπ+,kπ+(k∈Z) 10. 3 11. (2-sin 2,1-cos 2) 7. 8. 或 9. 632239

12. 解 (1)由a=2bsin A,

根据正弦定理得sin A=2sin Bsin A,

所以sin B=,由△ABC为锐角三角形可得B=. 26

5π5π

(2)由(1)可知A+C=π-B=,故C=-A.

665π

-A 故cos A+sin C=cos A+sin6

7

π13

+A=cos A+cos A+sin A =cos A+sin622

3331

=cos A+sin A=3cos A+sin A 2222

πA+, =3sin3

π5πππ5π

由△ABC为锐角三角形可得,026236

ππππ2ππ5π13A+<, 又0π33A+<, 所以<3sin322

33

即cos A+sin C的取值范围为,.

22x1-cos 2xx

1-sin2=loga13. 解 f(x)=logasin22. 28

故定义域为cos 2x≠1,即{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称且满足f(-x)=f(x),所以此函数是偶函数.

π1

kπ,kπ+(k∈Z); 令t=(1-cos 2x),则t的递增区间为28

π

kπ-,kπ(k∈Z). 递减区间为2

πkπ-π,kπ(k∈Z).kπ,kπ+(k∈Z);所以,当a>1时,f(x)的递增区间为递减区间为 22

ππ

kπ-,kπ(k∈Z);递减区间为kπ,kπ+(k∈Z). 当08

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