数学中考模拟试卷（一）
一、单选题
1.据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5 300万美元，“5 300万”用科学记数法可表示为（ ）
A. 5.3×10 B. 5.3×10 C. 5.3×10 D. 5.3×10
3
4
7
8
【答案】C
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】5300万=53000000= 故答案为：C.
n
【分析】科学记数法表示绝对值较大的数,一般表示成a ×10,的形式，其中1 ≤∣a ∣＜10, n是原数的整
.
数位数减一。
2.某潜水艇停在海面下500米处，先下降200米，又上升130米，这时潜水艇停在海面下多少米处（ ） A. 430 B. 530 C. 570 D. 470 【答案】C
【考点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】根据题意，由下降200米用-200米表示，上升130米用+130米表示，根据题意可以列式为：（-500）+（-200）+130=-570米，即这时潜水艇停在海面下570米．故答案为：C．【分析】根据相反的量的意义可得，向上为正，向下为负，再用有理数的加法即可求解。
3.如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质 【解析】【解答】点有4种可能位置． （ 1 ）如图，
由∥ 可得
作
平行线，
（ 2 ）如图，过
则由∥可得
（ 3 ）如图，
由∥可得
（ 4 ）如图，
由∥可得
的度数可能为
故答案为：D．
【分析】根据点E有4种可能的位置，因此分4种情况进行讨论。分别画出图形根据平行线的性质及三角形的外角性质，分别计算求解即可。
4.如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中三个正方形A，B，C中分别填入适当的数
使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C中的三个数依次是（ ）
A. 1，﹣3，0 B. 0，﹣3，1 C. ﹣3，0，1 D. ﹣3，1，0 【答案】A
【考点】几何体的展开图
【解析】【解答】填入正方形A，B，C中的三个数依次是1，故答案为：A．
【分析】根据正方体的表面展开图，相对面之间隔着一个正方形，可确定出对面，再根据互为相反数的定义可解答。
5.下列运算正确的是（ ）
0
A. （π﹣3）=1 B.
﹣1236
=±3 C. 2=﹣2 D. （﹣a）=a
，0．
【答案】A 【考点】实数的运算
【解析】【解答】A、根据零次幂的性质a=1（a≠0），可知（π﹣3）=1，故符合题意；
0
0
B、根据算术平方根的意义，可知C、根据负整指数的性质，可知2=
﹣1
=3，故不符合题意； ，故不符合题意；
2
3
6
D、根据幂的乘方和积的乘方，可知（﹣a）=-a，故不符合题意. 故答案为：A.
【分析】（1）因为任何一个不为0的数的0次幂等于1，所以可得原式=1； （2）算术平方根是指，一个非负数的平方等于a ,则这个数是a的平方根，则（3）因为一个非0数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数，所以（4）根据负数的奇次幂为负，积的乘方，底数不变，指数相乘，所以原式=170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3 【答案】D
【考点】中位数、众数
【解析】【解答】解：A．平均数为（158+160+154+158+170）÷5=160，正确，A不符合题意；
B．按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，B不符合题意；
C．数据158出现了2次，次数最多，故众数为158，正确，C不符合题意； D．这组数据的方差是S= D符合题意． 故答案为：D．
【分析】分别利用平均数，平均数为（158+160+154+158+170）÷5=160、中位数，中位数为158、众数众数为158及方差的定义求解后即可判断正误.
7.一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
2
2
=3；
; .
6.在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，
[（154﹣160）2+2×（158﹣160）2+（160﹣160）2+（170﹣160）2]=28.8，错误，
A．300° B．150° C．120° D．75° 【答案】B．
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm，∴S=
2Rl，即60π= ×R×10π，解得：=
,已知弧
R=12，∴S=60π= ，解得：n=150°，故答案为：B．【分析】因为扇形的面积=
可求得R的值，在代入扇形的面积=
长l和面积，所以根据扇形的面积=度数。
可求得扇形的圆心角n的
22
8.若α、β为方程2x﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α+3αβ+5β的值为（ ）
A. ﹣13 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】B
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2α﹣5α﹣1=0，α+β=-
2
22
，因此可得2α=5α+1，代入2α+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1=5×
，α·β= +3×（-
）
+1=12. 故答案为：B.
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得两根之和与两根之积，然后将所求代数式转化成两根之和与两根之积的形式，再将值代入计算即可求解。 9.如图，P（m，m）是反比例函数y= x轴上，则△POB的面积为（ ）
在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在
A. B. 3 【答案】D
C. D.
【考点】等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】作PD⊥OB，
∵P（m，m）是反比例函数是等边三角形，∴BD=
PD=
在第一象限内的图象上一点，∴，∴S△POB=
OB•PD=
，解得：m=3，∴PD=3，∵△ABP
，故答案为：D．
（OD+BD）•PD=
【分析】过点P作PD⊥OB，由题意可得△POB的面积=OB•PD；PD即为点P的纵坐标，因为点P在双曲
线上，所以可得=9，m=3，点P在第一象限，所以m=3，即PD=OD=3，根据等边三角形的性质可求得
AD=BD的长，则OB=OD+BD。△POB的面积可求解。
10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=
；⑤S四边形CDEF=
S△ABF，其中正确的结论有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴
，∵AE=
AD=
BC，∴
，∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE= 于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF=DC，故③正确； ∵tan∠CAD=
BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC
，而CD与AD的大小不知道，∴tan∠CAD的值无法判断，故④错误；
，∴S△AEF=
S△ABF， S△ABF=
S矩形ABCD，∵S△ABE=
S矩形ABCD=
S矩形ABCD， S△ACD= S矩形ABCD，∴S四边
∵△AEF∽△CBF，∴S矩形ABCD，∴S△AEF=
形CDEF
S四边形ABCD，又∵S四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF= S矩形ABCD﹣
= S△ABF，故⑤正确；
故答案为：B．
【分析】（1）由有两对角对应相等的两个三角形相似可得△AEF∽△CAB； （2）同理可得△AEF∽△CBF，于是可得比例式
,易得
,所以CF=2AF；
（3）过D作DM∥BE交AC于N，易得四边形BMDE是平行四边形，由平行四边形的性质可得BM=DE=BC，易证得DF=DC；
（4）由锐角三角函数可得tan∠CAD=判断；
（5）由（2）中的结论可得S△AEF=S△ABF， S△ABF=S矩形ABCD，而四边形CDEF的面积=三角形ACD的面积-三角形AEffie的面积，将已有的结论代入即可求解。
,题目中的已知条件不能求得
的值，所以tan∠CAD的值无法
二、填空题
11.数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a+b+1．例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到3+（﹣2）+1=8．现将实数对（﹣2，3）放入其中得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到的实数是________ 【答案】66 【考点】定义新运算
【解析】【解答】解：数对（﹣2，3）放入其中得到（﹣2）+3+1=4+3+1=8； 再将数对（8，1）放入其中得到8+1+1=64+1+1=66． 故答案为：66
【分析】由题意可得，将数对（-2，3）放入时，-2即为魔术盒中的a，3即为魔术盒中的b，代入新的实数a+b+1即可得m=8，同理将（8，1）代入a+b+1中即可求得新的实数为66.
12.一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶________ km． 【答案】3750
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为
，
2
2
2
2
2
2
．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了
ykm．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有，两式相加，得
，则x+y=
故答案为：3750．
=3750（千米）.
【分析】根据一个轮胎的总磨损量=安在前轮的磨损量+安在后轮的磨损量，列方程组即可求解。
13.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到
洗手盆内侧的距离EH为________cm．
【答案】
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用
【解析】【解答】如图所示，建立直角坐标系，
过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36， ∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，
∴BQ=12-8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG， ∴
，即
，
∴CG=12，OC=12+8=20， ∴C（20，0），
又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24）， ∴可设抛物线为
，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得：
，
解得：∴抛物线为
，
，
又∵点E的纵坐标为10.2， ∴令y=10.2，则为
，又∵ON=30，∴EH=30-（
．
，解得x1= ）=
，x2= ．
（舍去），∴点E的横坐标
故答案为：
【分析】可建立一个如图所示的平面直角坐标系（以O为原点），根据题中所给数据可以依次表示出点B,D，根据“A距离BD为12cm”结合勾股定理可得到A的坐标，结合根据“A,B,C三点都在同一条直线上”可得到C点的坐标，根据“D,B,C”均在抛物线上，则可采用待定系数法假设二次函数后，将三个坐标分别代入即可得到抛物线解析式。由于E点的纵坐标固定，所以将E的纵坐标代入后即可得到点E的完整坐标，从而可得到最后答案。
14.如图，铁路的路基是等腰梯形ABCD，斜坡AD、BC的坡度i=1：1.5，路基AE高为3米，现由单线改为复线，路基需加宽4米，（即AH=4米），加宽后也成等腰梯形，且GH、BF斜坡的坡度i'=1：2，若路长为10000米，则加宽的土石方量共是________立方米．
【答案】1.65×10
5
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】过H点作HJ⊥GF于J，
∵i=1：1.5，AE=3， ∴DE=4.5， ∴DC=13．
∴S梯形ABCD=（4+13）×3÷2=25.5（米）．
2
又∵GH、BF斜坡的坡度i'=1：2， ∴GJ为6，
2
∴GF=2GJ+8=20，S梯形BFGH=（8+20）×3÷2=42（米）．
5
∴加宽的土石方量=（42-25.5）×10000=165000=1.65×10立方米． 5
故答案为：1.65×10.
【分析】因为加宽的土石方量=加宽的路的截面积×路长，所以首先求得加宽的路四边形AHGD和三角形BCF的面积，由图知，加宽的路四边形AHGD和三角形BCF的面积=梯形BFGH的面积-梯形ABCD的面积，再根据已知条件求解即可。
15.同时掷两个质地均匀的六面体骰子，两个骰子向上一面点数相同的概率是________ 【答案】
【考点】列表法与树状图法 【解析】【解答】列表得： （1，6） （1，5） （1，4） （1，3） （1，2） （1，1） （2，6） （2，5） （2，4） （2，3） （2，2） （2，1） （3，6） （3，5） （3，4） （3，3） （3，2） （3，1） （4，6） （4，5） （4，4） （4，3） （4，2） （4，1） （5，6） （5，5） （5，4） （5，3） （5，2） （5，1） （6，6） （6，5） （6，4） （6，3） （6，2） （6，1） ∴一共有36种情况，两个骰子点数相同为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），共6种可能.
∴两个骰子点数相同的概率是．
【分析】若第一个骰子出现的点数是1，第二个骰子出现的点数就有6种结果，所以所有可能的结果有6
6=36种，而两个骰子点数相同的有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）共
=.
6种可能则两个骰子点数相同的概率=
16.在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°，并且每次的长度增加一倍，例如：OA1=2OA，∠A1OA=45°．按照这种规律变换下去，点A2017的纵坐标为________
【答案】
【考点】解直角三角形，点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】根据点A0的坐标为（1，0），可得OA=1．然后根据题意，将线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°，可知360°÷45°=8，可得A1、A9、A17、···A2017都在第一象限，再根据OA1=2OA=2，∠A1OA=45°，可求得A1的纵坐标为同理可得，A9放入纵坐标为∴A2017的纵坐标为故答案为：
.
、
、
、
，由已知线段OA绕原点O沿逆时针方向旋
在第几象限，然后找出这一组
；
.
，
【分析】根据题意用锐角三角函数计算出点的规律即可求得点
的纵坐标。
转45°可知，经过8次一个循环，用2017除以8，余数是几，则可得到点
三、解答题
17.计算下列各式： （1）（2）（3）（4）
【答案】（1）解：= = =
．
；
；
（2）解：= = =0； （3）解：=
= =0
（4）解：设x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，则
=﹣=﹣= =1
【考点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）观察各分式的分母，第一、二个分母具有平方差的特征，将前两项通分，结果的分母与第三项的分母又符合平方差的特征，再通分，结果与最后一项的分母又符合平方差的特征，再次通分即可得到化简的目的；
（2）将每一项分式的分母重新分组分解因式、分子结合对应的分母分解因式的结果再添项分解因式，然后用多项式除以单项式的法则化简即可求解；
（3）观察前两项的分母可分租分解因式，分子用立方差和立方和公式分解因式，再约分，然后与最后一项通分即可求解；
（4）观察三个分母，都可分组分解，分解的结果最后只有三个因式，分别是：x-y 、y-z、z-x,于是用换元法化简即可。 18.解不等式组【答案】解：不等式不等式
∴不等式组的解是
的解是
，
【考点】在数轴上表示不等式（组）的解集
【解析】【分析】不等式组的解法是：先求出每一个不等式的解集，再找出每一个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集。在数轴上表示解集时，“
”号是空心向右，“
”是空心向左。
，
，并将它的解集在数轴上表示出来．
的解是
，
19.如图
图（a）是正方形纸板制成的一副七巧板．
①请你在图（a）中给它的每一小块用①～⑦编号（编号直接标在每一小块对应图形内部的空白处；每小块只能与一个编号对应，每个编号只能和一个小块对应），并同时满足以下三个条件： 条件1：编号为①～③的三小块可以拼成一个轴对称图形； 条件2：编号为④～⑥的三小块可以拼成一个中心对称图形； 条件3：编号为⑦的小块是中心对称图形．
②请你在图（b）中画出编号为①～③的三小块拼出的轴对称图形；在图（c）中画出编号为④～⑥的三小块拼出的中心对称图形．（注意：没有编号不得分） 【答案】如图所示：
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，这个图形的两部分能完全重合，那么这个图形是轴对称图形。
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形是中心对称图形。根据定义即可得解。
20.近几年，随着电子商务的快速发展，“电商包裹件”占“快递件”总量的比例逐年增长，根据企业财报，某网站得到如下统计表： 年份 2014 2015 2016 2017（预计） 快递件总量（亿件） 140 207 310 450 电商包裹件（亿件） 98 153 235 351 （1）请选择适当的统计图，描述2014﹣2017年“电商包裹件”占当年“快递件”总量的百分比（精确到1%）；
（2）若2018年“快递件”总量将达到675亿件，请估计其中“电商包裹件”约为多少亿件？
【答案】（1）解：2014：98÷140=0.7， 2015：153÷207≈0.74， 2016：235÷310≈0.76， 2017：351÷450=0.78， 画统计图如下：
（2）解：根据统计图，可以预估2018年“电商包裹件”占当年“快递件”总量的80%，所以，2018年“电商包裹件”估计约为：675×80%=540（亿件）， 答：估计其中“电商包裹件”约为540亿件 【考点】用样本估计总体，折线统计图 【解析】【分析】（1）根据百分数=频数即可；
（2）根据折线统计图预估2018年“电商包裹件”占当年“快递件”总量的百分数，则其中“电商包裹件”约为：2018年“快递件”总量675亿×预估的百分数。
21.如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．
样本总数可求得2014﹣2017年的百分数，再用折线统计图描述
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，得出∠OAD=∠ODA，再证明∠EAD=∠ODA，得出结论
（2）解：连接CD，证明△AED∽△ADC，根据勾股定理和相似三角形的性质求出半径⊙O的半径是5． 【考点】切线的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=EDA=平分∠CAE；
（2）连接CD，由（1）中的结论易证得△AED∽△ADC，由相似三角形的性质可得比例式求解。 22.某学校要制作一批安全工作的宣传材料．甲公司提出：每份材料收费10元，另收1000元的版面设计费；乙公司提出：每份材料收费20元，不收版面设计费．请你帮助该学校选择制作方案．
，则∠ODA+∠EDA=
，易得∠DAE+∠
，根据同角的余角相等可得∠DAE=∠ODA，而OD=OA ,则∠OAD=∠ODA，则∠OAD=∠DAE，即AD
【答案】解：设制作x份材料时，甲公司收费y1元，乙公司收费y2元，则y1=10x+1000，y2=20x， 由y1=y2，得10x+1000=20x，解得x=100 由y1＞y2，得10x+1000＞20x，解得x＜100 由y1＜y2，得10x+1000＜20x，解得x＞100
所以，当制作材料为100份时，两家公司收费一样，选择哪家都可行； 当制作材料超过100份时，选择甲公司比较合算； 当制作材料少于100份时，选择乙公司比较合算 【考点】一次函数的应用
【解析】【分析】首先设制作x份材料时，甲公司收费y1元，乙公司收费y2元，则y1=10x+1000，y2=20x，然后根据y1、y2的关系，判断出选择哪个公司比较合算即可．
23.已知关于x的一元二次方程x+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）. （1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围； （3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
【答案】（1）证明：∵△=（k﹣5）﹣4（1﹣k）=k﹣6k+21=（k﹣3）+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根 （2）解：∵二次函数
2
2
2
2
2
2
的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口
方向向上，∵△=（k﹣3）+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1， x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1
（3）解：设方程的两个根分别是x1， x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的性质 【解析】【分析】（1）要证方程总有两个不相等实数根，由一元二次方程的根的判别式可知，需证
；，所以
（2）先根据a=1
=
=0，结论得证；
,根据平方的非负性可知，不论k取何值，
0可得抛物线开口向上，而已知抛物线不过第三象限，所以可得图像与x轴有两个交点，
，再由根与系数的关系可得两根之和为
=5-k＞0，两根之积为
且交点在x轴的正半轴上，即
=1-k≥0,解不等式组即可得k的取值范围；
（3）因为原方程的一个根大于3，另一个根小于3，所以设出方程的两个根，在表示出两根与3的差，可得其差的积小于0，由根与系数的关系可得两根之和与两根之积，将两根代换可得k的不等式，解不等式即可求解。
24.如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P
停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm，求t的值；
（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由； （4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形在
中，分别是
的中点，
（2）解：如图1，过点作
于
， 是矩形，
2
（舍）或
（3）解：四边形
秒
为矩形时,如图所示：
解得：
上时，如图2，
（4）解：当点在
当点在
上时，
如图3，
时，如图4，
时，如图5，
综上所述，
或或
或
秒时，
是等腰三角形．
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC=8，AD∥BC，∠A=∠C=90°，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以根据三角形的中位线定理可得EF∥AD∥BC，所以∠BEF=∠A=90°=∠C，∠BFE=∠DBC，
（2）过点Q作QM⊥EF于M，所以QM∥BE，根据相似三角形的判定可得△QMF∽△BEF，所以可得比例式
,而QF=5-2t,所以
,
QM=(5−2t)，所以△PQF的面积=PF×QM=( 4 − t ) ×( 5 − 2 t ) = 0.6 ，解得t=（不合符题意，舍去）或t=2；
（3）四边形EPQG为矩形时,易证∆QPF∽∆BEF，可得比例式
,即
,解得t=
;
（4）当点Q在DF上时,PF=QF，由题意可得PF=4-t,QF=5-2t,所以可得方程：4-t=5-2t,解得t=1; 当点Q在BF上时，PF=QF，此时PF=4-t,QF=2t-5,所以可得方程4-t=2t-5,解得t = 3； 当点Q在BF上且PQ=FQ时，有题意可得，当点Q在BF上且PQ=PF时,有题意可得，25.建立模型：
,解得t=解得t=
. ;
（1）如图 1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线 l 上．操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证△CAD≌△BCE． 模型应用：
（2）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y= x+8与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺
时针旋转45°得到l2． 求l2的函数表达式．
（3）如图3，在直角坐标系中，点B（10，8），作BA⊥y轴于点 A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）解：如图1，
∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE. 在△ACD和△CBE中，
∴△CAD≌△BCE(AAS)
（2）解：∵直线y= 4 3 x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴A（0，4）、B（﹣3，0）．
如图2：过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴
在△BDC和△AOB中，
，
△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD=BO=3，BD=AO=4．OD=OB+BD=3+4=7， ∴C点坐标为（﹣7，3）．
设l2的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入，得
，
解得
x+4
l2的函数表达式为y=
（3）解：如图3：过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．
，
在△AQE和△QPF中，
，
∴△AQE≌△QPF（AAS）， AE=QF，即6﹣（2a﹣6）=8﹣a， 解得a=4
如图4：过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，
，
AE=2a﹣12，FQ=8﹣a． 在△AQE和△QPF中，
，
△AQE≌△QPF（AAS）， AE=QF，即2a﹣12=8﹣a， 解得a=
；
或4
综上所述：A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）用角角边易证得△CAD≌△BCE；
（2）要求出直线的解析式，易得点A的坐标，只须求得点C的坐标即可用待定系数法求解析式。过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴，同理易证得△BDC≌△AOB，所以CD=BO=3，BD=AO=4．则点C的坐标易求；
（3）对于存在性问题，先假定结论成立，再根据已知条件和已有的知识经验求解，若有解，则成存在；若无解，则不存在。
分两种情况：当点Q在AB的下方时，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．由（2）中的
方法易得△AQE≌△QPF，则AE=QF，可得关于a的方程求解即可； 当点Q在AB的上方时，方法同第一种情况类似。
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