期中数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣1，2）
D．（﹣2，1）
2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则AC的长是（
A．1
B．2
C．3
D．4
3．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a7 C．（﹣3a）2＝﹣9a2
D．a4÷a＝a3
4．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（ ）
A．25°
B．30°
C．50°
D．130°5．下列添括号运算错误的是（ ） A．a+b﹣c＝a+（b﹣c） B．a﹣b+c＝a﹣（b+c） C．a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
D．a+b+c＝a+（b+c）
6．等腰三角形的两边长分别为3和6，则第三边长是（ ） A．3
B．6
C．3，6
D．9
7．下列因式分解错误的是（ ） A．3ab﹣6ac＝3a（b﹣2c）
B．m（x2+y2）﹣n（x2+y2）＝（m﹣n）（x2+y2）
C．9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y）
D．a2﹣4a+4＝（a+2）（a﹣2）
1 / 22 ）
8．长方形的长为3x2y，宽为2xy3，则它的面积为（ ） A．5x3y4
B．6x2y3
C．6x3y4
D．
9．若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，则m等于（ ） A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
10．不等式x（x+2）﹣4＞x2的解集为（ ） A．x＞4
B．x＞﹣2
C．x＞2
D．x＜2
11．若x2+nx+25是完全平方式，则常数n的值为（ ） A．10
B．﹣10
C．±5
D．±10
12．如图，在△ABC中，AC＝5，线段AB的垂直平分线交AC于点D，△BCD的周长是9，则BC的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13．因式分解：a2﹣4＝ ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝ ．
15．如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为 ．
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16．已知ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b+c•3b+c＝6a2，则9a÷27b＝ ．
﹣
三、解答题（本题共9小题，满分72分） 17．（6分）计算：
．
，b＝﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法：
请你根据提供的材料完成下列问题．
（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS （2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．
20．（8分）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值： （1）xy； （2）x3y+xy3．
21．（8分）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元． （1）甲、乙两种工具每件各多少元？
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（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购买多少件？
22．（9分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段EC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO． （1）求证：△BDE是等边三角形； （2）求证：△DOE≌△FOC； （3）若AC＝7，FC＝3，求OC．
23．（9分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：
如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE． ∵∠ADE＞∠B（想一想为什么）， ∴∠C＞∠B．
（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．
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24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．
如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”；
（3）若多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，（b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数），是否存在常数k，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，若不存在，请说明理由，若存在，请找出一个满足条件的k值以及对应的多项式P．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M． （1）求证∠ABO＝∠CAM；
（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数； （3）如图3，△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．
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2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣1，2）
D．（﹣2，1）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2）， 故选：A．
2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出AC＝AB，代入求出即可． 【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴AC＝AB， ∵AB＝4， ∴AC＝2， 故选：B．
3．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 C．（﹣3a）2＝﹣9a2
B．（a3）4＝a7 D．a4÷a＝a3
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方分别计算即可． 【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项A不符合题意； （a3）4＝a12，因此选项B不符合题意； （﹣3a）2＝9a2，因此选项C不符合题意；
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a4÷a＝a41＝a3，因此选项D符合题意；
﹣
故选：D．
4．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（ ）
A．25°
B．30°
C．50°
D．130°
【分析】根据平行线的性质可得∠EHD＝∠EGB＝50°，再利用对顶角的性质可求解． 【解答】解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°， ∴∠EHD＝∠EGB＝50°， ∴∠CHF＝∠EHD＝50°． 故选：C．
5．下列添括号运算错误的是（ ） A．a+b﹣c＝a+（b﹣c） C．a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
B．a﹣b+c＝a﹣（b+c） D．a+b+c＝a+（b+c）
【分析】直接利用添括号法则分别判断得出答案． 【解答】解：A、a+b﹣c＝a+（b﹣c），正确，不合题意； B、a﹣b+c＝a﹣（b﹣c），原式错误，符合题意； C、a﹣b﹣c＝a﹣（b+c），正确，不合题意； D、a+b+c＝a+（b+c），正确，不合题意； 故选：B．
6．等腰三角形的两边长分别为3和6，则第三边长是（ ） A．3
B．6
C．3，6
D．9
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立， 当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立， 故第三边长是6， 故选：B．
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7．下列因式分解错误的是（ ） A．3ab﹣6ac＝3a（b﹣2c）
B．m（x2+y2）﹣n（x2+y2）＝（m﹣n）（x2+y2） C．9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y） D．a2﹣4a+4＝（a+2）（a﹣2）
【分析】各式分解因式得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝3a（b﹣2c），不符合题意； B、原式＝（m﹣n）（x2+y2），不符合题意； C、原式＝（3x+2y）（3x﹣2y），不符合题意； D、原式＝（a﹣2）2，符合题意． 故选：D．
8．长方形的长为3x2y，宽为2xy3，则它的面积为（ ） A．5x3y4
B．6x2y3
C．6x3y4
D．
【分析】由长方形的面积计算公式，根据单项式乘单项式的计算方法进行计算即可． 【解答】解：3x2y•2xy3＝6x3y4， 故选：C．
9．若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，则m等于（ ） A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
【分析】先利用多项式乘多项式法则求出（x+2）（x﹣3），再根据（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6求出m．
【解答】解：∵（x+2）（x﹣3） ＝x2﹣x﹣6，
又∵（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6， ∴x2﹣x﹣6＝x2+mx﹣6． ∴m＝﹣1． 故选：C．
10．不等式x（x+2）﹣4＞x2的解集为（ ） A．x＞4
B．x＞﹣2
C．x＞2
D．x＜2
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
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【解答】解：x（x+2）﹣4＞x2， x2+2x﹣4＞x2， x2+2x﹣x2＞4， 2x＞4， x＞2， 故选：C．
11．若x2+nx+25是完全平方式，则常数n的值为（ ） A．10
B．﹣10
C．±5
D．±10
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出n的值． 【解答】解：∵x2+nx+25是完全平方式， ∴n＝±2×1×5＝±10． 故选：D．
12．如图，在△ABC中，AC＝5，线段AB的垂直平分线交AC于点D，△BCD的周长是9，则BC的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】由线段垂直平分线的性质可求得BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC，再结合△BCD的周长，可求得BC的长． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∵AC＝5， ∴BD+CD＝5． ∵△BCD的周长为9， ∴BC＝4． 故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
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13．因式分解：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）． 故答案为：（a+2）（a﹣2）．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝ 6 ．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，点D是BC的中点，再根据线段中点的定义求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是底边BC上的中线， ∴BC＝2BD， ∵BD＝3， ∴BC＝2×3＝6． 故答案为：6．
15．如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为 8 ．
【分析】根据角平分线的性质得出PE＝PC＝2，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：过P作PE⊥OD于E，∵OP平分∠DOC，∠C＝90°，PC＝2， ∴PE＝PC＝2，
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∵OD＝8， ∴△OPD的面积是故答案为：8．
16．已知ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b+c•3b+c＝6a2，则9a÷27b＝ 9 ．
﹣
＝＝8，
【分析】先将9a÷27b变形，再由ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b+c•3b+c＝6a
﹣2
分别得出a，b，
c的关系式，然后联立得方程组，整体求得（2a﹣3b）的值，最后代入将9a÷27b变形所得的式子即可得出答案． 【解答】解：9a÷27b ＝（32）a÷（33）b ＝（3）2a
﹣3b
，
∵ka＝4，kb＝6，kc＝9， ∴ka•kc＝kb•kb， ∴ka+c＝k2b， ∴a+c＝2b①； ∵2b+c•3b+c＝6a2，
﹣
∴（2×3）b+c＝6a2，
﹣
∴b+c＝a﹣2②； 联立①②得：
，
∴，
∴2b﹣a＝a﹣2﹣b， ∴2a﹣3b＝2， ∴9a÷27b ＝（3）2a＝32 ＝9． 故答案为：9．
三、解答题（本题共9小题，满分72分） 17．（6分）计算：
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．
﹣3b
【分析】直接利用算术平方根的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1﹣3+3﹣＝3﹣
．
，b＝﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中
【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算中括号里面的式子，再合并同类项，最后计算除法，化简后，再代入a、b的值即可． 【解答】解：原式＝（4a2﹣4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b ＝（2b2﹣4ab）÷2b ＝b﹣2a，
当a＝，b＝﹣1时，原式＝﹣1﹣2×＝﹣1﹣1＝﹣2．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法：
请你根据提供的材料完成下列问题．
（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
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（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的过程即可进行判断；
（2）根据作图过程可得△ODC≌△O′D′C′，进而可得∠A'O'B'＝∠AOB． 【解答】解：（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS； 故选D．
（2）证明：根据作图过程可知：
OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′， 在△ODC和△O′D′C′中，
，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS）， ∴∠DOC＝∠D′O′C′， ∴∠A'O'B'＝∠AOB．
20．（8分）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值： （1）xy； （2）x3y+xy3．
【分析】（1）已知两等式左边利用完全平方公式展开，相减即可求出xy的值； （2）由（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8可得x2+y2的值，再把所求式子因式分解后代入计算即可．
【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝12①， （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝8②， ∴由①﹣②得：4xy＝4， ∴xy＝1；
（2）由①+②得：2x2+2y2＝2（x2+y2）＝20， ∴x2+y2＝10，
∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝1×10＝10．
21．（8分）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元． （1）甲、乙两种工具每件各多少元？
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（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购买多少件？
【分析】（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，根据“如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种工具m件，则购进乙种工具（100﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总价不超过1100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可求出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元， 依题意得：解得：
．
，
答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．
（2）设购进甲种工具m件，则购进乙种工具（100﹣m）件， 依题意得：16m+4（100﹣m）≤1100， 解得：m≤58， 又∵m为非负整数， ∴m的最大值为58．
答：最多可以购买甲种工具58件．
22．（9分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段EC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO． （1）求证：△BDE是等边三角形； （2）求证：△DOE≌△FOC； （3）若AC＝7，FC＝3，求OC．
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【分析】（1）根据等边三角形的性质和判定解答即可； （2）根据ASA证明△DOE≌△FOC即可； （3）根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB， ∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，∠ACB＝∠DEB， ∴∠B＝∠BDE＝∠DEB， ∴△BDE是等边三角形； （2）∵DE∥AC， ∴∠EDO＝∠CFO， 在△DOE和△FOC中，
，
∴△DOE≌△FOC（ASA）； （3）∵△ABC为等边三角形， ∴BC＝AC＝7，
由（1）（2）得：BE＝DE＝CF＝3，EO＝CO， ∴EC＝BC﹣BE＝4， ∴OC＝EC＝2．
23．（9分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：
如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，
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点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE． ∵∠ADE＞∠B（想一想为什么）， ∴∠C＞∠B．
（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；
（2）先由折叠得出BF＝CF，再利用三角形外角的性质，即可得出结论；
（3）先判断出∠B＝∠BED，再判断出∠MAE＝∠MEA，进而求出∠B+∠BAE＝70°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B+∠BED， ∴∠ADE＞∠B；
（2）证明：由折叠知，BF＝CF， 在△ACF中，AF+FC＞AC， ∴AF+BF＞AC， ∴AB＞AC；
（3）由折叠知，∠MAE＝∠EAC，∠ADE＝∠C， ∵∠C＝2∠B， ∴∠ADE＝2∠B，
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∵∠ADE＝∠B+∠BED， ∴∠B＝∠BED， ∵ME∥AC， ∴∠MEA＝∠EAC， ∵∠MAE＝∠EAC， ∴∠MAE＝∠MEA， ∵∠BEA＝110°，
∴∠B+∠BAE＝180°﹣∠BEA＝180°﹣110°＝70°， ∴∠BED+∠MEA＝∠B+∠BAM＝70°，
∴∠DEM＝∠BEA﹣（∠BED+∠MEA）＝110°﹣70°＝40°．
24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．
如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”；
（3）若多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，（b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数），是否存在常数k，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，若不存在，请说明理由，若存在，请找出一个满足条件的k值以及对应的多项式P．
【分析】（1）先计算C﹣D＝1，再根据“雅常式”的定义即可判断C是D的“雅常式”，并求出C关于D的“雅常值”；
（2）先求出M﹣N＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，由M是N的“雅常式”得出﹣2a+2＝0，得出a＝1．由x为实数时，N的最小值为﹣2，得出﹣1+b＝﹣2，求出b＝﹣1，进而求出M﹣N＝2；
（3）由多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，得出b1＝b2．根据b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数，得出进行因式分解时（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）的部分可以两两组合，然后分三种情况进行讨论：①[（x+1）（x+2）][（x+5）（x+k）]；②[（x+1）（x+5）][（x+2）（x+k）]；③[（x+1）（x+k）][（x+5）（x+2）]．
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【解答】解：（1）∵C﹣D＝（x2+x﹣1）﹣（x+2）（x﹣1） ＝（x2+x﹣1）﹣（x2+x﹣2） ＝1，
∴C是否为D的“雅常式”，“雅常值”为1； （2）∵M是N的“雅常式”， ∴M﹣N＝（x﹣a）2﹣（x2﹣2x+b） ＝（x2﹣2ax+a2）﹣（x2﹣2x+b） ＝（﹣2a+2）x+a2﹣b， ∴﹣2a+2＝0， ∴a＝1．
∵N＝x2﹣2x+b＝（x﹣1）2﹣1+b， 且当x为实数时，N的最小值为﹣2， ∴﹣1+b＝﹣2， ∴b＝﹣1，
∴M﹣N＝a2﹣b＝1﹣（﹣1）＝2；
（3）∵多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”， ∴b1＝b2．
∵b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数，
∴进行因式分解时（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）的部分可以两两组合，分三种情况： ①[（x+1）（x+2）][（x+5）（x+k）]， 则1+2＝5+k，解得k＝﹣2，
此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4＝（x2+3x）2﹣8（x2+3x）﹣24，不合题意舍去；
②[（x+1）（x+5）][（x+2）（x+k）]， 则1+5＝2+k，解得k＝4，
此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4 ＝[（x+1）（x+5）][（x+2）（x+4）]﹣4 ＝（x2+6x+5）（x2+6x+8）﹣4 ＝（x2+6x）2+13（x2+6x）+36
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＝（x2+6x+4）（x2+6x+9），符合题意， ∵P﹣Q＞0， ∴P＝x2+6x+9；
③[（x+1）（x+k）][（x+5）（x+2）]， 则1+k＝5+2，解得k＝6，
此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4＝（x2+7x）2+16（x2+7x）+56，不合题意舍去；
综上，存在常数k＝4，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，此时对应的多项式P＝x2+6x+9．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M． （1）求证∠ABO＝∠CAM；
（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数； （3）如图3，△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．
【分析】（1）先由直角三角形的性质得∠BAO+∠ABO＝90°，再由∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°，即可得出∠ABO＝∠CAM；
（2）先证△AMC≌△BOA（AAS），得CM＝AO，AM＝BO，再由等腰直角三角形的性质得∠BDE＝∠BED＝45°，∠EBO＝∠DBE＝45°，然后证△CME是等腰直角三角形，即可得出答案；
（3）先证△PAC≌△QAB（SAS），得∠APC＝∠AQB，在ON的延长线上截取NI＝MH，
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连接CI，再证△CNI≌△CMH（SAS），得∠NCI＝∠MCH，CI＝CH，然后证△GCI≌△GCH（SAS），得GI＝GH，进而得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠BOA＝90°， ∴∠BAO+∠ABO＝90°，
又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°， ∴∠ABO＝∠CAM； （2）解：∵CM⊥y轴， ∴∠AMC＝∠BOA＝90°， ∵AB＝AC，∠ABO＝∠CAM， ∴△AMC≌△BOA（AAS）， ∴CM＝AO，AM＝BO， ∵BD＝BE，BD⊥BE， ∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠BDE＝∠BED＝45°，∠EBO＝∠DBE＝45°， ∴∠EBO＝∠BEO， ∴BO＝EO＝AM， ∴EO﹣OM＝AM﹣OM， ∴EM＝AO＝CM，
∴△CME是等腰直角三角形， ∴∠CEM＝45°；
（3）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝45°，
∵△PAQ是等腰直角三角形， ∴PA＝QA，∠PAQ＝∠CAB＝90°， ∴∠PAQ+∠QAC＝∠CAB+∠QAC， 即∠PAC＝∠QAB， ∵AC＝AB，
∴△PAC≌△QAB（SAS）， ∴∠APC＝∠AQB，
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∵∠AKP＝∠QKN， ∴∠QNK＝∠PAK＝90°， ∵CM⊥y轴， ∴CM∥NO，
∴∠NCM＝∠KNO＝90°，
在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：
∵CN＝CM，∠CNI＝∠CMH＝90°， ∴△CNI≌△CMH（SAS）， ∴∠NCI＝∠MCH，CI＝CH，
∴∠NCG+∠NCI＝∠NCG+∠MCH＝∠NCM﹣∠GCH＝90°﹣45°＝45°＝∠GCH＝∠GCI，
∴△GCI≌△GCH（SAS）， ∴GI＝GH，
∵GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5， ∴GH＝5．
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