浙江省2010届高三第一次高考调研试题(数学理)

浙江省2010届高三第一次高考调研试题（数学理）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。

选择题部分(共50分)

参考公式：

如果事件A, B互斥, 那么棱柱的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh 如果事件A, B相互独立, 那么P(A·B)=P(A)·P(B)

棱锥的体积公式V=Sh其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高

31如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

kn-k Pn(k)=Ckp (1－p)(k = 0,1,2,„, n) n2

球的表面积公式S = 4πR其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高

棱台的体积公式Vh(S1S1S2S2)其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, h表示棱台的高

3球的体积公式V=πR其中R表示球的半径

343

1一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题

目要求的。

(1) 设非空集合A, B满足AB, 则

(A) x0∈A, 使得x0B (B)x∈A, 有x∈B (C) x0∈B, 使得x0A (D)x∈B, 有x∈A (2) 在二项式(x－

16

)的展开式中, 常数项是 x23

3

(A) －10 (B) －15 (C) 10 (D) 15 (3) 已知a, b是实数, 则“a = b”是“a = b”的

(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4) 若复数z与其共轭复数z满足: |z|=2, z +z=2, 则

(A) z－2z＋2＝0 (B) z－2z－2＝0 (C) 2z－2z＋1＝0 (D) 2z－2z－1＝0 (5) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k的值是

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

(6) 设向量a, b满足:|a|1, |b|2, a(ab)0,

则a与b的夹角是

(A) 30 (B) 60 (C) 90 (D) 120

2

2

2

2

(第5题)

开始 k = 0 S = 100 i0 S > 0 ? 是 S = S－2k 输出k 否 k＝k＋1 结束 (7) 在Rt△ABC中, ∠A＝90, ∠B＝60, AB=1. 若圆O的圆心在直角边AC上, 且与AB 和BC所在的直线都相切, 则圆O的半径是 (A)

12 (B)

231 1 正视图 1 1 侧视图 33 (C) (D)

32(8) 若某多面体的三视图(单位: cm)如图所示, 则

此多面体的体积是

1323

(A) cm (B) cm

235373

(C) cm (D) cm

68俯视图

(第8题)

x2y2222(9) 过双曲线221(a>0, b>0)的右焦点F作圆xya的切线FM(切点为M),

ab交y轴于点P. 若M为线段FP的中点, 则双曲线的离心率是 (A) 2

(B) 3

(C) 2

(D) 5

(10) 在直角坐标系中, 如果两点A(a, b), B(－a, －b)在函数yf(x)的图象上, 那么称

[A, B]为函数f (x)的一组关于原点的中心对称点 ([A , B]与[B, A]看作一组). 函数

cosx,x0,关于原点的中心对称点的组数为 g(x)2log4(x1),x0(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 非选择题部分 (共100分)

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

2xy0,(11) 若实数x,y满足不等式组xy30,则3x－y的最小值是________.

3xy80,(12) 若等比数列{an}的前n项和Sn满足: an＋1＝a1 Sn＋1(n∈N), 则a1=________. (13) 已知a0≠0.

① 设方程a0x＋a1＝0的1个根是x1, 则x1＝－

*

a1； a0a2； a0a3； a0② 设方程a0x＋a1x＋a2＝0的2个根是x1, x2, 则x1 x2＝

2

③ 设方程a0x＋a1x＋a2x＋a3＝0的3个根是x1, x2, x3, 则x1 x2 x3＝－

32

④ 设方程a0x＋a1x＋a2x＋a3x＋a4＝0的4个根是x1, x2, x3, x4, 则x1 x2 x3 x4＝ „„

由以上结论, 推测出一般的结论:

nn-1n-2

设方程a0x＋a1x＋a2x＋„＋an-1x＋an＝0的n个根是x1, x2, „, xn , 则x1 x2„xn＝________.

432

a4a0；

(14) 设直线3x＋4y－5＝0与圆C1: x2y24交于A, B两点, 若圆C2的圆心在线段AB上, 且圆C2与

D

圆C1相切, 切点在圆C1的劣弧AB上, 则圆C2的半径的最大值是________. (15) 如图, 某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上, 小山的高

⌒BC为35米, 在地面上有一点A, 测得A, C间的距离为91米,

从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45, 则这座电视 发射塔的高度CD为________米.

(16) 将5人分成3组, 每组至多2人, 则不同的分组方式种数是________.

C

A B

(第15题)

(42a2)xa2,x1,(17) 若函数f(x)在区间(0,)上单调递增, 则实数a的取值范围是

2alog3(x2),x1________.

三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 (18) (本题满分14分) 在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足

ccosBbcosC4acosA.

(Ⅰ) 求cosA的值;

(Ⅱ) 若△ABC的面积是15, 求ABAC的值.

(19) (本题满分14分) 在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.

(Ⅰ) 求取出的数各位数字互不相同的概率;

(Ⅱ) 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则

1). 求随机变量的分布列及其数学期望E.

(20) (本题满分15分) 如图, 在平面内直线EF与线段AB相交于C点, ∠BCF＝30, 且

AC = CB = 4, 将此平面沿直线EF折成60的二面角－EF－, BP⊥平面, 点P 为垂足.

(Ⅰ) 求△ACP的面积;

(Ⅱ) 求异面直线AB与EF所成角的正切值.

(21) (本题满分15分) 已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1). y (Ⅰ) 求抛物线C的方程;

B

E

A C

F E A C

B F P   (第20题)

Q F P

(Ⅱ) 在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P的直

线交C于另一点Q, 满足PF⊥QF, 且PQ与C 在点P处的切线垂直? 若存在, 求出点P的坐标; 若不存在, 请说明理由.

(22) (本题满分14分)已知函数f(x)(12a)x3(9a4)x2(512a)x4a(aR).

(Ⅰ) 当a = 0时, 求函数f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ) 若函数f(x)在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a的取值范围.

参考答案

说明:

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与

本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

二、对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。]

三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分(第13题除外)。 五、未在规定区域内答题, 每错一个区域扣卷面总分1分。

一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题5分, 满分50分。 (1) B (2) D (3) C (4) A (5) D (6) D (7) C (8) C (9) A (10) B

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题4分, 满分28分。 (11) 1

(12) 1

anann(13) (－1)a( (－1)与a每对一个得2分)

00n(14) 1 (15) 169 (16) 15 三、解答题: 本大题共5小题, 满分72分。

(17) [1,2)

(18) 本题主要考查正弦、余弦定理, 三角公式变换, 三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运

算求解能力。满分14分。 (Ⅰ) 解: 利用正弦定理

abc, 得 sinAsinBsinC sinCcosB+sinBcosC = 4sinAcosA, sin(B+C) = 4sinAcosA,

即 sinA = 4cosAsinA, 所以cosA =

1. „„„„„„„„(7分) 4(Ⅱ) 解: 由(I), 得

sinA =由题意,得

15, 41bcsinA＝15, 2SABC所以bc = 8,

因此ABAC2 . „„„„„„„(14分) (19) 本题主要考查排列组合, 随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查抽象概

括能力。满分14分。

(Ⅰ) 解: 记“取出的数各位数字互不相同”为事件B, 则

A312P(B)＝35 . „„„„„„„(5分)

525(Ⅱ) 解: 随机变量的取值为0, 1, 2. 的分布列是

 P 0 1 2 27 12574 12524 125 „„„„„„„(11分) 所以的数学期望

E＝0×

277424122+1×+2×= . „„„„„„„(14分) 125125125125(20) 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系, 空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间

想象能力和推理运算能力。满分15分。

方法一:

(Ⅰ) 解: 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足, 连结BM, 则∠BMP为二面角－

EF－的平面角. 以点P为坐标原点, 以直线PM为x轴, 射线PB为z轴的正半轴, 建立如图所示的空间

直角坐标系Pxyz. 在Rt△BMC中,

由∠BCM＝30, CB = 4, 得 CM =23, BM =2.

在Rt△BMP中, 由∠BMP＝60, BM =2, 得 MP = 1, BP =3.

故P(0,0,0), B(0, 0,3), C(－1,－23, 0), M(－1,0,0). 由∠ACM＝150, 得

z B E A C M F P x y   A(1,－43, 0).

所以CP= (1,23,0), CA= (2,－23,0),

＝－10, 则 CPCA

cos∠ACP = －

5, 213sin∠ACP =

33. 213因此S△ACP＝33. „„„„„„„(7分) (Ⅱ) 解:BA＝(1,－43,－3), MC＝(0,－23,0), BAMC24, cos=

23, 133. „„„„„„„(15分) 6所以AB与EF所成角的正切值为

方法二:

(Ⅰ) 解: 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足,

连结BM, 则∠BMP为二面角－EF－的平面角.

在Rt△BMC中, 由∠BCM＝30, CB = 4, 得 CM =23, BM=2.

在Rt△BMP中, 由∠BMP＝60, BM=2, 得

B

E A C

M P F Q  MP=1.

在Rt△CMP中,

由CM =23, MP=1, 得

CP=13, cos∠PCM＝

123, sin∠PCM =.

1313故 sin∠ACP = sin(150－∠PCM)＝

33. 213所以S△ACP＝33. „„„„„„„(7分) (Ⅱ) 解: 如图, 过点A作AQ∥EF, 交MP于点Q ,

则∠BAQ是AB与EF所成的角, 且AQ⊥平面BMQ .

在△BMQ中,

由∠BMQ＝60, BM＝MQ＝2, 得

BQ = 2.

在Rt△BAQ中,

由AQ＝ACcos30＋CM ＝43, BQ = 2, 得 tan∠BAQ =

BQ3. AQ63. „„„„„„„(15分) 6因此AB与EF所成角的正切值为

(21) 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析

几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ) 解: 设抛物线C的方程是x= ay,

则

2

a1, 42

即a = 4.

故所求抛物线C的方程为x= 4y . „„„„„„„(5分) (Ⅱ) 解: 设P(x1, y1), Q(x2, y2),

则抛物线C在点P处的切线方程是

yx1xy1, 2直线PQ的方程是

y2x2y1. x1将上式代入抛物线C的方程, 得

8x4(2y1)0, x18故 x1+x2 =, x1x2 =－8－4y1 ,

x184所以 x2=－x1 , y2=+y1+4 .

x1y1x2而FP＝(x1, y1－1), FQ＝(x2 , y2－1) ,

FPFQ＝x1 x2＋(y1－1) (y2－1)

＝x1 x2＋y1 y2－(y1＋y2)＋1 ＝－4(2+y1)+ y1(＝y1－2y1 －

244+y1+4)－(+2y1+4)+1 y1y14－7 y112＝(y1＋2y1＋1)－4(+y1+2)

y1

4(y11)2＝(y1＋1)－

y12

(y14)(y11)2＝

y1＝0,

故 y1＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) . 经检验, 符合题意.

所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). „„„„„„„(15分)

(22) 本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力和创

新意识。满分14分。

32

(Ⅰ) 解: 当a = 0时, f (x)＝x－4x＋5x ,

5f(x)3x28x53(x1)(x)>0,

35所以 f (x)的单调递增区间为(,1], [,). „„„„„„„(6分)

3(Ⅱ) 解: 一方面由题意, 得

f(0)2,f(1)2, f(2)2,即 0a1; 21时, 2另一方面当0af (x) = (－2x3＋9x2－12x＋4)a＋x3－4x2＋5x ,

3232

令g(a) = (－2x＋9x－12x＋4)a＋x－4x＋5x, 则

g(a) ≤ max{ g(0), g(

1) } 21323232

= max{x－4x＋5x , (－2x＋9x－12x＋4)＋x－4x＋5x }

21232

= max{x－4x＋5x , x－x＋2 },

23

2

f (x) = g(a)

≤ max{x－4x＋5x ,

又max{x－4x＋5x}=2, max{

3

2

12

x－x＋2 }, 20x20x212

x－x＋2}=2, 且f (2)＝2, 21时, f (x)在区间[0,2]上的最大值是2. 21综上, 所求 a的取值范围是0a. „„„„„„„(14分)

2所以当0a