满分120分，考试时间为120分钟
姓名： 班级： 学号： 得分：
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下列运算正确的是（ ） A．a3•a4＝a12 C．（3a2）3＝27a6
B．（a3）2＝a5 D．a6÷a3＝a2
3．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：
成绩/米 人数
1.50 2
1.60 3
1.65 2
1.70 3
1.75 4
1.80 1
则这15运动员的成绩的众数和中位数分别为（ ） A．1.75，1.70
B．1.75，1.65
C．1.80，1.70
D．1.80，1.65
4．▱ABCD中，EC交对角线BD于点F，FC等于 如图，点E是边AD的中点，则EF：（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：3
5．如图，随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球，△ABC为正三角形，则小球落在小⊙O内部（阴影）区域的概率为（ ）
数学1
A． B． C． D．
6．如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（ ）
A．∠ABD＝90° C．DB＝
AB
B．sin2A+cos2D＝1 D．点C是△ABD的外心
7．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变，又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．40海里 D．20海里
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC，下列结论正确的是（ ）
数学2
A．∠ABC+∠AOC＝180° C．∠OAB+∠OCB＝180°
B．∠ABC+∠ADC＝180° D．∠BAD+∠BCO＝180°
9．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，若关于x的方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解，则t的取值范围是（ ） A．t≥﹣1
B．﹣1≤t＜3
C．﹣1≤t＜8
D．t＜3
10．如图1，点G为BC边的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边运动，运动路径为G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列结论正确的个数有（ ） ①图1中BC长4cm； ②图1中DE的长是6cm；
③图2中点M表示4秒时的y值为24cm2； ④图2中的点N表示12秒时y值为15cm2．
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．使二次根式
有意义的x的取值范围是 ．
12．分解因式：x2﹣16y2＝ ．
13．根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为 ．
14．已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是 ．
数学3
15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN，若AB＝9，BE＝6，则MN的长为 ．
16．星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的t45小明离家的距离是 千距离y（千米）与时间（分钟）的关系如图所示，则上午8：米．
17．如图，矩形ABCD中，点E在边AB上．将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝10，BF＝6，则tan∠ADE＝ ．
18．如图，已知等腰三角形ABC，CA＝CB＝6cm，AB＝8cm，点O为△ABC内一点（点O不在△ABC边界上）．请你运用图形旋转和“两点之间线段最短”等数学知识、方法，求出OA+OB+OC的最小值为 ．
数学4
三．解答题（共10小题，满分76分）
19．计算：
20．解不等式组：整数解．
21．先化简，再求值：（x﹣2+
22．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O． （1）求证：AD＝AE．
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系，并说明理由．
）÷
，其中x＝﹣．
，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负
23．“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图尚不完整的扇形统计图和条形统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图；
（2）若该中学共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全
数学5
知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
24．某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元．
（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝
与x轴，y轴分别相交于A，B两点，与
反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，点C的横坐标为4． （1）求k的值；
（2）过点C作CD⊥y轴，垂足为D，点E是该反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，连接ED，EC，且ED＝EC； ①求点E的坐标； ②求点E到直线y＝
的距离d的值．
数学6
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D． （1）求证：AO是△CAB的角平分线； （2）若tan∠D＝，求
的值；
（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．
27．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）． （I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
数学7
28．B两点，0）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、与y轴交于点C，已知A（﹣1，，且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；
（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．
数学8
试 题 参 考 答 案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形； 第二、三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形， 第四个图形不是轴对称图形，不是中心对称图形； 故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3•a4＝a7，故本选项不合题意； B．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；
C．（3a2）3＝27a6，正确，故选项C符合题意； D．a6÷a3＝a4，故本选项不合题意． 故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：由表可知1.75m出现次数最多，有4次，所以众数为1.75m， 这15个数据最中间的数据是第8个，即1.70m，所以中位数为1.70m， 故选：A．
【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
4．【分析】如图，证明AD∥BC，AD＝BC；得到△DEF∽△BCF，进而得到明BC＝AD＝2DE，即可解决问题．
数学9
；证
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC； ∴△DEF∽△BCF， ∴
；
∵点E是边AD的中点， ∴BC＝AD＝2DE， ∴
．故选B．
【点评】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质是关键． 5．【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比． 【解答】解：∵如图所示的是正三角形， ∴∠CAB＝60°，
∴∠OAB＝30°，∠OBA＝90°， 设OB＝a，则OA＝2a，
则小球落在小⊙O内部（阴影）区域的概率为故选：B．
＝．
【点评】考查了几何概率，关键是得到内切圆的面积与外切圆面积的比．
6．【分析】根据直角三角形的判定方法，三角形的外接圆的性质，特殊角三角函数值，解直角三角形一一判断即可．
【解答】解：由作图可知：CA＝CB＝CD，
∴∠ABD＝90°，点C是△ABC外接圆的圆心，故A，D正确，
数学10
∵AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°，∠D＝30°， ∴BD＝
AB，故C正确，
∴sin2A+cos2D＝+≠1，故B错误， 故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆与外心，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题． 【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°， ∴PB＝2AB， 由题意BC＝2AB， ∴PB＝BC， ∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°， ∴∠C＝30°， ∴PC＝2PA， ∵PA＝AB•tan60°， ∴PC＝2×20×故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明出PB＝PC． 8．【分析】利用圆周角定理直接写出答案即可．
【解答】解：根据图形发现：四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°， 故选：B．
【点评】考查了圆内接四边形的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补，难度不大．
9．【分析】二次函数的表达式为y＝x2﹣2x，顶点为：（1，﹣1），x＝﹣1时，y＝4，x＝4时，y＝8，即可求解．
＝40
（海里），
数学11
【解答】解：二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1， 则x＝﹣
＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，
二次函数的表达式为y＝x2﹣2x，顶点为：（1，﹣1）， x＝﹣1时，y＝4，x＝4时，y＝8，
t的取值范围为顶点至y＝8之间的区域，即﹣1≤t＜8； 故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
10．【分析】理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
【解答】解：由图象可得：0～2秒，点P在GC上运动，则GC＝2×2＝4cm， ∵点G是BC中点， ∴BC＝2GC＝8cm， 故①不合题意；
由图象可得：2﹣4秒，点P在CD上运动，则第4秒时，y＝S△ABP＝×6×8＝24cm2，故③符合题意；
由图象可得：4﹣7秒，点P在DE上运动，则DE＝2×3＝6cm， 故②符合题意；
由图象可得：当第12秒时，点P在H处， ∵EF＝AB﹣CD＝6﹣4＝2cm， ∴t＝＝1s，
∴AH＝8+6﹣2×（12﹣7﹣1）＝6， ∴y＝S△ABP＝×6×6＝18cm2， 故④不合题意， ∴正确的是②③， 故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数
数学12
据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：∵二次根式∴1﹣x≥0， 解得：x≤2． 故答案为：x≤2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 12．【分析】先把x2和16y2分别写成完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣16y2 ＝x2﹣（4y）2
＝（x+4y）（x﹣4y）． 故答案为：（x+4y）（x﹣4y）．
【点评】此题主要考查了用平方差公式进行因式分解，把x2和16y2分别写成完全平方的形式再用平方差公式分解是解决问题的关键．
13．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：4400000000＝4.4×109． 故答案为：4.4×109
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×3×7＝21π． 故答案为21π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
数学13
有意义，
15．【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长即可求出MN的长．
【解答】解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝9，BE＝6， ∴GF＝GB＝6，BC＝9， ∴GC＝GB+BC＝6+9＝15， ∴CF＝
＝
＝3
．
∵M、N分别是DC、DF的中点， ∴MN＝
＝
． ．
故答案为：
【点评】本题考查了正方形的性质及中位线定理、勾股定理的运用．构造基本图形是解题的关键．
16．【分析】首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y＝kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k|B的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t＝45代入即可．
【解答】解：设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y＝kt+b，∵图象经过（40，2）（60，0）， ∴
，
解得：，
∴y与t的函数关系式为y＝﹣当t＝45时，y＝﹣故答案为：1.5．
x+6，
×45+6＝1.5，
数学14
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．
17．【分析】由翻折变换的性质得出EF＝AE＝5，由勾股定理求出BE的长，再由AB＝AE+BE求出AB的长，再由三角函数定义求出CF的长，进而求出AD的长，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠FDC+∠DFC＝90°，
由折叠的性质得：∠DFE＝∠A＝90°，FE＝AE＝10，FD＝AD， ∴∠BFE+∠DFC＝90°， ∴∠FDC＝∠BFE，
在Rt△BEF中，∵FE＝AE＝10，BF＝6， ∴BE＝
＝
＝8，
∴CD＝AB＝AE+BE＝10+8＝18， ∵tan∠FDC＝
＝∠BFE＝
＝＝，
∴CF＝CD＝×18＝24， ∴AD＝BC＝BF+CF＝6+24＝30， ∴tan∠ADE＝故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握翻折变换的性质和三角函数定义是解题的关键．
18．【分析】以AB为边作等边三角形△ABD，以OB为边作等边△OBE．连接CD交AB于M点，可证△ABO≌△DBE，可得AO＝DE，则AO+BO+CO＝CO+OE+DE，即当D、E、O、C四点共线时，AO+BO+CO值最小，最小值为CD的长度，根据勾股定理求CD的长度，即可求OA+OB+OC的最小值．
【解答】解：如图：以AB为边作等边三角形△ABD，以OB为边作等边△OBE．连接CD交AB于M点．
＝
＝；
数学15
∵△ABD和△OBE是等边三角形
∴OE＝OB＝BE，∠ABD＝∠OBE＝60°，AB＝BD ∴∠ABO＝∠DBE且AB＝BD，BO＝BE ∴△ABO≌△DBE ∴AO＝DE
∴AO+BO+CO＝DE+OE+CO
∴当D、E、O、C四点共线时，AO+BO+CO值最小， ∵AC＝BC，AD＝BD ∴CD是AB的垂直平分线 ∴AB⊥CD，AM＝MB＝4 ∵CA＝CB＝6，AD＝BD＝8 ∴CM＝2∴CD＝4
，MD＝4+2
+2
，
∴AO+BO+CO最小值为4故答案为4
+2
，
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键． 三．解答题（共10小题，满分76分）
19．【分析】本题涉及二次根式的化简、绝对值、零指数幂3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式＝﹣1﹣3×
+2
+1＝﹣1﹣
+2
+1＝
．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的化简、绝对值、零指数幂等考点的运算．
数学16
20．【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定所有负整数解． 【解答】解：解①得：x≥﹣3， 解②得：x＜2，
不等式组的解集为：﹣3≤x＜2， 则它的所有负整数解为﹣3，﹣2，﹣1． 在数轴上表示：
．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握不等式组确定解集的方法．
21．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝（＝
•
+
）•
＝2（x+2） ＝2x+4， 当x＝﹣时， 原式＝2×（﹣）+4 ＝﹣1+4 ＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 22．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，证明△ACD≌△ABE，即可得出AD＝AE， （2）根据已知条件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO＝∠EAO，即可判断出OA是∠BAC的平分线，即OA⊥BC．
【解答】解：（1）证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， 在△ADC与△AEB中，
数学17
，
∴△ACD≌△ABE， ∴AD＝AE；
（2）直线OA垂直平分BC，理由如下： 如图，连接AO，BC，延长AO交BC于F， 在Rt△ADO与Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO， ∴OD＝OE，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴AO平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴AO⊥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．【分析】（1）根据了解的人数和所占的百分百求出抽查的总人数，用总人数减去了解、基本了解和了解很少的人数，求出不了解的人数，从而补全统计图； （2）用该中学的总人数乘以“了解”和“基本了解”所占的百分比即可； （3）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得： 30÷50%＝60（人），
则不了解的人数是：60﹣30﹣14﹣7＝9（人）； 补图如下：
数学18
（2）根据题意得：1200×＝880（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为880人；
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况， ∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：
＝．
【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，读懂题意，根据题意求出总人数是解题的关键；概率＝所求情况数与总情况数之比． 24．【分析】（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，根据“购买3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，购买2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元， 依题意，得：解得：
．
，
答：1个甲种乒乓球的售价是5元，1个乙种乒乓球的售价是7元．
（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，
数学19
依题意，得：w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400． ∵a≤3（200﹣a）， ∴a≤150． ∵﹣2＜0，
∴w值随a值的增大而减小，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50． 答：当购买甲种乒乓球150个，乙种乒乓球50个时最省钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． 25．【分析】（1）点C在直线进而求解；
（2）①ED＝EC，则点E在线段DC的垂直平分线上，进而求出点E的横坐标为2，即可求解；②证明Rt△EFH∽Rt△AOB，则【解答】解：（1）点C在直线∴∴
，
，
的图象上，
，求出点A、B的坐标，进而求解．
上，点C的横坐标为4，
上，点C的横坐标为4，可以求出点C的坐标，
∵点C在反比例函数∴k＝4×＝2； （2）①ED＝EC，
∴点E在线段DC的垂直平分线上． ∵CD⊥y轴，垂足为D， ∴CD∥x轴． ∵点C的坐标为∴点E的横坐标为2， ∵点E在反比例函数∴点E的坐标为（2，1）；
数学20
，
的图象上，
②过点E作EF⊥直线BC，垂足为F，
∴∠EFB＝90°，EF＝d，
过点E作EG⊥x轴，垂足为G，延长EG交BC于点H， ∴EH∥y轴， ∴∠EHF＝∠OBA， ∵∠EFH＝∠AOB＝90°， ∴Rt△EFH∽Rt△AOB， ∴
．
设点H的坐标为（a，b）． ∵E（2，1）， ∴a＝2，EG＝1， 又∵点H在直线∴∴∴
， ， ，
上，
当y＝0时，x＝3， ∴A（3，0），则OA＝3． 当x＝0时，∴∴
，
，
，
数学21
∴∵∴
． ，
．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及到三角形相似等，综合性较强，难度较大．
26．【分析】（1）连接OF，可得OF⊥AB，由∠ACB＝90°，OC＝OF，可得出结论； （2）连接CE，先求证∠ACE＝∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以∠D＝
＝；于是得到结论；
，而tan
（3）连接CF交AD于点G，由（2）可知，AC2＝AE•AD，先求出AE，AC的长，则AO 可求出，证△CGO∽△ACO，可得OC2＝OG•OA，求出OG，CG，则CF＝2CG可求解．【解答】（1）证明：连接OF，
∵AB与⊙O相切于点F， ∴OF⊥AB，
∵∠ACB＝90°，OC＝OF， ∴∠OAF＝∠OAC，
即AO是△ABC的角平分线； （2）如图2，连接CE，
数学22
∵ED是⊙O的直径， ∴∠ECD＝90°， ∴∠ECO+∠OCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠ECO＝90°， ∴∠ACE＝∠OCD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠ACE＝∠ODC， ∵∠CAE＝∠CAE， ∴△ACE∽△ADC， ∴
，
∵tan∠D＝， ∴∴
， ；
＝，
（3）由（2）可知：∴设AE＝x，AC＝2x， ∵△ACE∽△ADC， ∴
，
∴AC2＝AE•AD， ∴（2x）2＝x（x+6），
解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），
数学23
∴AE＝2，AC＝4， ∴AO＝AE+OE＝2+3＝5， 如图3，连接CF交AD于点G， ∵AC，AF是⊙O的切线， ∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF， ∴CF⊥AO，
∴∠ACO＝∠CGO＝90°， ∵∠COG＝∠AOC， ∴△CGO∽△ACO， ∴
，
∴OC2＝OG•OA， ∴OG＝， ∴CG＝∴CF＝2CG＝
＝．
＝
，
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解方程，切线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确作出辅助线才能解决问题．
27．【分析】（I）过点D作DG⊥x轴于G，由旋转的性质得出AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，由直角三角形的性质得出DG＝AD＝3，AG＝OG＝OA﹣AG＝6﹣3
，即可得出点D的坐标为（6﹣3
，3）；
DG＝3
，得出
（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，则GA＝DH，HA＝DG，由勾股定理得
数学24
出AE＝＝＝10，由面积法求出DH＝，得出OG＝OA﹣GA＝OA
）；
﹣DH＝，由勾股定理得出DG＝，即可得出点D的坐标为（，
（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，由旋转的性质得出∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，由等腰三角形的性质得出∠AOC＝∠ADO，得出∠DAE＝∠ADO，证出AE∥OC，由平行线的性质的∠GAE＝∠AOD，证出∠DAE＝∠GAE，证明△AEG≌△AED（AAS），得出AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，得出OG＝OA+AG＝12，即可得出答案． 【解答】解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示： ∵点A（6，0），点B（0，8）． ∴OA＝6，OB＝8，
∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF， ∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8， 在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3∴点D的坐标为（6﹣3
， ，3）；
DG＝3
，
（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示： 则GA＝DH，HA＝DG，
∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°， ∴AE＝
＝
＝10，
∵AE×DH＝AD×DE， ∴DH＝
＝
＝
，
＝，DG＝
＝
＝
，
∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣∴点D的坐标为（，
）；
（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示： 由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO， ∴∠AOC＝∠ADO， ∴∠DAE＝∠ADO， ∴AE∥OC，
数学25
∴∠GAE＝∠AOD， ∴∠DAE＝∠GAE， 在△AEG和△AED中，∴△AEG≌△AED（AAS）， ∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8， ∴OG＝OA+AG＝12， ∴点E的坐标为（12，8）．
，
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
数学26
28．【分析】（1）由直线解析式求出点B，点C的坐标，将A，B的坐标代入抛物线解析式可得出答案；
（2）考虑两种情况：分别以点C、E为顶点的等腰三角形．由等腰三角形的性质和两点间的距离公式来求m的值；
（3）①当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），②当△BPM∽△ABC时，过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，得出P（4﹣4a，3a），代入抛物线解析式可得出答案．
【解答】解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2， ∴C（0，﹣2），B（4，0），
将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2， 得
，
解得，，
∴y＝（2）∵∴
x﹣2；
，
，
＝
，
若以C为顶点，则CE2＝CF2， ∴
，
解得：m1＝2，m2＝4（舍去）， 若以E为顶点，则EC2＝EF2， ∴
＝
，
，m4＝4+
（舍去）， ． ，
解得：m3＝4﹣
综合以上得m＝2或m＝4﹣（3）①∵AC＝
，BC＝2
∴AC2+BC2＝25＝AB2，
数学27
∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0）， ②如图，当△BPM∽△ABC时，
过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，
∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°， ∴∠BMR＝∠MPH， ∴△PHM∽△MRB， ∴
又∵AB∥HR， ∴∠ABC＝∠BMR， ∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝令BR＝a，MR＝2a， 又∵∠ABC＝∠BMR， ∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝∴
，
， ，
∴PH＝4a，HM＝2a，PQ＝3a， ∴HR＝4a， ∴P（4﹣4a，3a）， 又∵点P在抛物线上， 将P（4﹣4a，3a）代入y＝
x﹣2得：
（4﹣4a）﹣2＝3a，
∴a（8a﹣13）＝0，
数学28
a1＝0（舍），a2＝∴
．
．
∴符合条件的点P为P1（﹣1，0）或
．
【点评】本题考查了二次函数综合题型．其中涉及到了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．对于动点问题，注意分类讨论．
数学29
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