1、第三次续签劳动合同可以要求与派遣公司签订无固定期限合同，需保留相关证据。2、连续两次签订固定期限劳动合同后，劳动者具备签订无固定期限劳动合同的条件，但需要双方同意。单位可选择续签或支付经济补偿金，劳动者可选择续签类型，单位需经劳动者同意后签订固定期限劳动合同。
劳动者在续签劳动合同时，有权要求与派遣公司签订无固定期限合同，单位需遵守劳动者的意愿。
法律分析
1、第三次续签劳动合同可以要求与派遣公司签订无固定期限合同。你与派遣公司签订二次固定期限劳动合同后，就已经具备了可签订无固定期限劳动合同的资格。只要你提出，公司就必须与你签订无固定期限劳动合同。只要书面保留员工要求签订固定期限合同的证据，就可以签固定期限劳动合同，其他操作和一般续签一致。所以员工应该注意保留，可以证明自己续签劳动合同相关方面的证据。
2、与同一单位连续两次签订了固定期限劳动合同，当第二次固定期限劳动合同到期后，劳动者就具备了可以签订无固定期限劳动合同的法定条件。但是前提是双方都愿意续签。如果单位不愿续签，那么单位按照劳动者该单位工龄支付经济补偿金，每满一年补偿一个月工资，满半年不满一年补偿一个月工资，满半年不满一年补偿一个月工资。如果劳动者不愿续签那么单位不需要支付经济补偿金。当双方都愿意续签时，单位应当签订无固定期限劳动合同，除非劳动者自己提出签订固定期限劳动合同。也就是说单位只能选择续签和不续签，无权选择续签什么类型的劳动合同。劳动者可以选择续签和不续签，当双方都愿意续签时由劳动者决定续签什么类型的劳动合同。当然单位可以与劳动者协商，经劳动者同意后签订固定期限劳动合同。
拓展延伸
劳动合同续签规定：第三次续签后是否可要求与派遣公司签订无固定期限合同？
在劳动法中，对于劳动合同的续签规定并没有明确规定第三次续签后是否可以要求与派遣公司签订无固定期限合同。根据劳动法的相关规定，劳动合同的续签应当遵循双方自愿、平等协商的原则。因此，具体是否可以要求与派遣公司签订无固定期限合同，需要根据具体情况进行协商和判断。建议您在劳动合同续签前与雇主进行沟通，并参考相关法律法规，以确保您的权益得到保障。如有需要，建议咨询专业律师以获取具体的法律意见和指导。
结语
根据劳动法的相关规定，劳动合同的续签应当遵循双方自愿、平等协商的原则。对于劳动合同的续签次数和是否可以要求与派遣公司签订无固定期限合同，并没有明确的规定。建议您在劳动合同续签前与雇主进行沟通，并参考相关法律法规，以确保您的权益得到保障。如有需要，请咨询专业律师以获取具体的法律意见和指导。
法律依据
中华人民共和国劳动法（2018修正）：第三章 劳动合同和集体合同 第二十四条 经劳动合同当事人协商一致，劳动合同可以解除。
中华人民共和国劳动法（2018修正）：第三章 劳动合同和集体合同 第三十条 用人单位解除劳动合同，工会认为不适当的，有权提出意见。如果用人单位违反法律、法规或者劳动合同，工会有权要求重新处理；劳动者申请仲裁或者提起诉讼的，工会应当依法给予支持和帮助。
中华人民共和国劳动合同法（2012修正）：第二章 劳动合同的订立 第十九条 【试用期】劳动合同期限三个月以上不满一年的，试用期不得超过一个月；劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月；三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，试用期不得超过六个月。
同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。
以完成一定工作任务为期限的劳动合同或者劳动合同期限不满三个月的，不得约定试用期。
试用期包含在劳动合同期限内。劳动合同仅约定试用期的，试用期不成立，该期限为劳动合同期限。