因式定理分解
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发布时间：2022-04-20 09:41
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时间：2022-05-13 01:38
你应该知道因式定理吧：
如果x=a时，多项式
b•x^n+c•x^(n-1)+d•x^(n-2)+……+mx+n的值为0，那么(x-a)是该多项式的一个因式。
比如
x²+2x+1，当x=-1时，原式=(-1)²+2×(-1)+1=0
那么
x-(-1)，即
x+1
就为
x²+2x+1
的一个因式
如果是多项式含有多个字母也一样，比如：
x²y+y²x，
当x=-y时，原式=(-y)²•y+y²•(-y)=0
那么
x-（-y），即
x+y
就为
x²y+y²x
的一个因式。
那么
因式定理有什么用呢？
比如：
x³+6x²+11x+6
你一看这题没有头绪，那么你就可以取
x=1，x=-1，x=2，x=-2，……
代入求值。
当多项式的值为0时，你就找到了他的一个因式。
当x=-1时，原式=(-1)³+6×(-1)²+11×(-1)+6=0
那么
x+1为
x³+6x²+11x+6的一个因式
那分解起来就容易了，
x³+6x²+11x+6
=(x³+x²)+(5x²+5x)+(6x+6)
=x²(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)
=(x+1)(x²+5x+6)
=(x+1)(x+2)(x+3)
还比如像你这道题（x-y)³+（y-z)³+(z-x)³
当x=y时
，原式=(y-y)³+(y-z)³+(z-y)³=0
所以
x-y
是原式的一个因式，
同理，(y-z)，(z-x)也是
（x-y)³+（y-z)³+(z-x)³
的因式
因为（x-y)³+（y-z)³+(z-x)³
最高次数为3次
所以设（x-y)³+（y-z)³+(z-x)³=k(x-y)(y-z)(z-x)
取x=0，y=1，z=2代入，左边=-1-1+8=6，右边=k×(-1)×(-1)×2=2k
所以
k=3
所以（x-y)³+（y-z)³+(z-x)³=3(x-y)(y-z)(z-x)
至于x=y是怎么来的，其实是猜出来的，或者说是试出来的。一般试的话，有x=0，x=y，x=-y，x=-(y+z)
就这几种了。还有因式定理为什么是对，我也不会证明。
算了，再给你几道题做做吧。
(a+b+c)³-a³-b³-c³
(x+y+z)³-(y+z-x)³-(z+x-y)³-(x+y-z)³
a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)
不会做可以上Hi问我
【注：打字打的好累呀，麻烦楼主快采纳吧！】
