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取y=0,则f(x+0)+f(x-0)==2f(x)
=f(x)f(0),得f(0)=2。
令x=y≠0,则f(x+y)+f(x-y)=f(2x)+f(0)=f(x)f(y)=f²(x),
令x=-y≠0,则f(x+y)+f(x-y)=f(0)+f(2x)=f(x)f(y)=f(x)f(-x),
∴f(2x)+f(0)=f(x)f(-x)=f²(x)
又∵x≠0时f(x)≠0
∴f(x)=f(-x)
而f(x)定义域(-∞,+∞),故得f(x)为偶函数。
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代入y=0,并规定x≠0
则 f(x)+f(x)=f(x)f(0)
∴ f(0)=2
代入x=0,并规定y≠0
则 f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y)
∴ f(-y)=f(y)
∴f(x)是偶函数
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