偏导数和什么有关?
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发布时间：2天前
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时间：1分钟前
1. 偏导数与函数的特定方向有关。例如，∂u/∂x 表示函数 u 对 x 的偏导数，它描述了当 x 变化时，函数 u 的变化率。
2. ∂u/∂y 和 ∂u/∂z 类似，分别表示函数 u 对 y 和 z 的偏导数。这些偏导数关注的是当 y 或 z 变化时，函数 u 的变化率。
3. 举个例子，如果 z = f(x + y^2, 3x - 2y)，并且 f 具有二阶连续偏导数，那么计算 z 对 x 的偏导数 (∂z/∂x) 会是 f 关于第一个中间变量 u 的偏导数 (∂f/∂u) 乘以 u 对 x 的偏导数 (∂u/∂x)。
4. 类似地，计算二阶偏导数 (∂^2z/∂x∂y) 需要 f 关于 x 和 y 的偏导数分别乘以 u 对 x 和 y 的偏导数。具体来说，(∂^2z/∂x∂y) = (∂f/∂x * ∂u/∂y) - (∂f/∂y * ∂u/∂x)。
5. 当函数 z = f(x, y) 在点 (x0, y0) 的两个偏导数 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 都存在时，我们称 f 在该点可导。如果 f 在其定义域 D 的每一点都可导，那么 f 在 D 可导，并且对于 D 内的每一点 (x, y)，都有一个对 x 和 y 的偏导数。
6. 求二元函数关于一个自变量的偏导数时，将其他自变量视为常数。例如，对于函数 z = f(x, y)，在点 (x0, y0) 处，固定 y 在 y0，让 x 变化 △x，则函数的偏增量 △z = f(x0 + △x, y0) - f(x0, y0)。当 △x 趋近于 0 时，如果 △z/△x 的极限存在，该极限值即为函数在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数 f'(x0, y0)。
7. 类似地，可以定义对 y 的偏导数 f'(y0, x0)，它是将 x 固定在 x0，让 y 变化 △y 时函数的偏增量 △z 除以 △y 的极限。
通过这些规则和定义，可以计算多元函数在任何点的偏导数，这对于理解和分析函数在多变量环境中的行为至关重要。
