定义在[﹣1,1]上的奇函数f(x)满足f(1)=2,且当a,b∈[﹣1,1],a+b≠0...
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（1）详见解析；（2）
试题分析：（1）假设函数 的图象上存在两个不同的点 ，使直线 恰好与 轴垂直，设 的横坐标为 ,且 ,然后证得 ；推出函数 在 上是增函数，这与这与 假设矛盾，可得假设不成立，命题得证．
（2）由题意可得函数 的最大值小于或等于 ，结合（1）的过程，可求出其最大值 ，即整理的： ．令关于 的一次函数 g（a）=m 2 +2am，则有 ，由此求得m的范围．
试题解析：解：（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，
则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x 1 和x 2 ，且x 1 ＜x 2 ．
则f（x 1 ）﹣f（x 2 ）=f（x 1 ）+f（﹣x 2 ）= [x 1 +（﹣x 2 ）]．
由于 ＞0，且[x 1 +（﹣x 2 ）]＜0，∴f（x 1 ）﹣f（x 2 ）＜0，
故函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数．
这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直．
（2）由于 对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，
∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m 2 +2am+1）．
由于由（1）可得，函数f（x）是[﹣1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2，
∴2（m 2 +2am+1）≥2，即 m 2 +2am≥0．
令关于a的一次函数g（a）=m 2 +2am，则有 ，
解得 m≤﹣2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤﹣2，或m≥2，或 m=0}．
考点：
