...有a1a2……ak≥1。求证1/(1+a1)+2/(1+a1)(1+a2)+……+n/..._百 ...

发布网友 发布时间：2024-10-23 23:31

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热心网友 时间：2025-01-28 14:26

由a1, a2,..., an > 0, 根据均值不等式, 有1+a1 ≥ 2√a1, 1+a2 ≥ 2√a2,..., 1+an ≥ 2√an.
于是(1+a1)(1+a2)...(1+ak) ≥ 2^k·√(a1a2...ak) ≥ 2^k.
则1/(1+a1)+2/((1+a1)(1+a2))+...+n/((1+a1)(1+a2)...(1+ak))
≤ 1/2+2/2^2+...+n/2^n
= (1/2+1/2^2+...+1/2^n)+(1/2^2+...+1/2^n)+...+(1/2^n)
< 1+1/2+...+1/2^(n-1)
< 2.

热心网友 时间：2025-01-28 14:23

当n = 1时，不等式成立

假设当n = k-1个成立当n = K

考虑方程A1 * A2 * A3 * ...... * AK = 1

A1 A2 A3 ...... AK，不等式证明。

如果A1 A2 A3 ...... AK失败，然后A1 A2 A3 ...... AK最大数和最小数是不一样的数

不妨A1 A1 A2 A3 ......阿克最大数目/> A2 A1 A1 A2 A3的最大数量...... AK最低数量

> = 1，A2的最低数量= <1

（A1 * A2 * A3 * ...... * AK = 1），

现在A1A2一个数字，使用归纳假设，

A1A2 + A3 + A4 + ... + AK> = K-1，... （1）

A1> = 1，A2 = <1，（α1-1）（α2 - 1）<= 0

A1A2 <= A1 + A2-1 .... .. （2）

（2）代入式（1），

（A1 + A2-1）+ A3 + A4 + ... + AK> = K-1

即A1 + A2 + A3 + A4 + ... + AK> = K
数学归纳法证明。

热心网友 时间：2025-01-28 14:25

1. 可以验证 当正数 xy = A^2 为定值时， (1 x)(1 y) 在 x=y 时达到最小值。
2. 当a1a2……ak 为定值时 (1 a1)……(1 ak) 在 a1=a2=...=ak 时达到最小值。
证明： 不妨设 a1 不等于 a2. 则 取b1 = b2 = 根（a1a2）则
b1b2a3a4...ak 没变，但 根据1.，(1 b1)(1 b2)(1 a3)……(1 ak) 的值减小了。 所以 达到最小时，必然有 a1=a2=...=ak
3. 因为a1a2……ak≥1， 设 M =（a1a2……ak)^(1/k)
(1 a1)……(1 ak) >=(1 M)*...*(1 M) >= 2^k
4. 所以
1/(1 a1) 2/(1 a1)(1 a2) …… n/(1 a1)……(1 an)
<= 1/2 2/2^2 ... n/2^n
5. 设 S =1/2 2/2^2 ... n/2^n
S/2 = 1/2^2 ... n/2^(n 1)
S - S/2 = 1/2 1/2^2 。。。 1/2^(n 1) < 1
所以 S < 2.
所以结论成立。