求函数f(x)=根号下x²+9+根号下x²-6x+10[x∈(0,3)]的最小值...
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发布时间：2024-10-23 20:47
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时间：2024-11-06 23:17
f(x)=√(x²+9)+√(x²-6x+10)
=√[(x-0)^2+(0-3)^2]+√[(x-3)^2+(0-1)^2]
则f(x)的最小值表示x轴上的点C(x,0)到点A(0,3)与点B(3,1)的距离之和的最小值
即f(x)min=(|AC|+|BC|)min
如图过点B作BB'垂直于x轴于点O，且BO=B'O
则BC=B'C
则(|AC|+|BC|)min=(|AC|+|B'C|)min
显然AB'C三点共线时距离最小
则连接AB'
设过点A，点B'的直线为y=ax+b
带入(0,3)，(3,-1)得直线为y=(-4/3)x+3
令y=0得x=9/4
则当x=9/4时取最小值且最小值为点(0,3)到点(3,-1)的距离
为√[(3-0)^2+(-1-3)^2]=5
