电磁场与电磁波 笔记2:梯度 旋度 散度
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发布时间：2024-10-24 15:17
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时间：2024-11-06 10:32
电磁场与电磁波笔记2：梯度、旋度与散度的直观解析
梯度与方向导数：想象一个数量场的起伏，梯度就像山坡的陡峭程度，描述了场在某点变化的快慢。方向导数是沿着某个方向的坡度，数学表达式[公式]，它等于梯度与单位向量[公式]的内积，符号[公式]，梯度的方向就是方向导数最大值的方向，而垂直于梯度的方向变化率为0。
哈密顿算子的魔法：哈密顿算子[公式]是个神奇工具，它像一把矢量和微分的尺子，能帮助我们快速计算[公式]，先用矢量性乘以标量，然后用微分性进行计算，得出[公式]。
散度与通量：散度是测量区域内矢量场源的密度，就像水面上的漩涡，闭合曲面的通量则反映了矢量线进出的总和。如果[公式]，意味着正源多于负源；相反，负源多于正源。
矢量场的旋度：环量是判断旋涡的关键，环量密度[公式]，它揭示了旋涡的强度和包围曲面法线的关系。旋度[公式]则定义为矢量场绕特定轴的旋转，与选取的闭合流线方向有关。
疑惑解答：散度和旋度的表达形式不同，这是因为它们分别反映了矢量场在不同方面的性质。散度是内积，而旋度是外积，这是基于它们对旋转和源分布的数学描述。
散度与旋度的推导：直角坐标系下，散度通过极小体积体的通量计算得出，而旋度则是通过矩形边界积分来计算。数学上的详细推导留待后续笔记讨论。
