...由A的秩是2怎么得出那三个特征值的?怎么知道1是重根
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发布时间：2024-10-24 03:46
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时间：2024-11-04 15:45
为讨论方便，设A为m阶方阵
证明：设方阵A的秩为n
因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
的矩阵，称为矩阵的标准形（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）
本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为
主对角线前若干个是1；其余的是若干个0
以及除对角线以外的元素都是0。设A的标准形为B
因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与
“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。
所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用，
从同构的意义上说，他们是“无差别”的。
（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以
用形如“线性变换A”，表示线性变换
用形如“矩阵A”，表示线性变换的矩阵）
前面知识应该提到的内容：
一系列初等矩阵的乘积是非退化的，初等变换不改变矩阵的秩，初等变换是可逆的
所以矩阵B的秩（1的个数），就是矩阵A的秩，就是n
因为可逆且不改变秩，所以讨论矩阵B的情况，可以应用到矩阵A上。
我们随即看到，
如果线性变换B（或者说矩阵B）的秩是n，则线性变换B就是
对线性空间的前n个基做恒等映射（因为基向量组没有秩序，我们取前n个不会有原则性的问题）
后m-n个基做零变换，所构成的线性变换，线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n
就可以快速找到n个线性无关的特征向量，这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了。
我们得到的结论是，线性变换B秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。
因为一个特征向量只能属于一个特征值，
所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值（不管你的特征值是不是一样）
这里有n个1，都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）
因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。
下面我们解释重根为什么按重数计算，对矩阵B做初等行变换，
第i行乘以数域P上的数k≠1（当然，如果k=1纯属脱裤子放屁），
我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，
其它初等变换相应类推。
借用学物理的思维，一个变换莫测的关系中，寻找守恒量是什么？这个是有意义的。
而做这样的非退化的线性变换变换，虽然特征值会随之改变，
但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量，其个数就是矩阵B（线性变换B）的秩是不变的。
这样我们就发现了守恒量，至于属于不同特征向量的特征值是否相等，纯属巧合，无意义。
有多少个碰巧相等的都无所谓，有多少个相等（相当于特征多项式的几次方），就当然重复计算。
最后来一个问题的封闭，题目说的是方阵A
这个简单，将矩阵B做一系列初等行变换，虽然特征多项式改变了，线性变换改变了，
特征多项式也变了，但是我们发现的守恒量n，是不变的。
