新知杯历届试题集
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宇振杯和弘晟杯都是新知杯的前身
2006年上海市“新知杯”初中数学竞赛试卷
一. 填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10题，每题10分，共90分）
1.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=90°，点A关于BC的对称点是A′，点B关于AC的对称点是B′，点C关于AB的对称点是C′，若△ABC的面积是1,则△ 的面积是 .
2.已知实数 满足如下方程组：
则 的值是 .
3.如图，菱形ABCD中，顶点A到边BC，CD的距离AE，AF都为5，EF=6，那么菱形ABCD的边长为 .
4.已知二次函数 的图象与 轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5，则 的取值范围是 .
5.使得 能整除 的正整数 共有 个.
6.[ ]表示不大于 的最大整数，方程[2 ]+[3 ]= 的所有实数解为 .
7.如图，ABCD为直角梯形（∠B=∠C=90°），且AB=BC，若在BC上存在一点M，使得△AMD为等边三角形，则 的值为 .
8.如图，△ABC的面积为S，周长为 ，△ 的三边在△ABC外，且与对应边的距离均为 ，则△ 周长为 ，面积为 .
9. 个整数（可以相同） 满足 ，则 的最小值是 .
10.把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列： ，例如： 那么，
的值是 .
二.（本题20分）
如图，已知半径分别为1，2的两个同心圆，有一个正方形ABCD，其中点A，D在半径为2的圆周上，点B，C在半径为1的圆周上，求这个正方形的面积.
三.（本题20分）
关于 的方程组 ，有实数解（ ），求正实数 的最小值.
四.（本题20分）
设A是给定的正有理数.
（1） 若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数 ，使得 .
（2） 若存在3个正有理数 ，满足使得 .证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A.
2004年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试卷
一、 填空题：(本大题10小题，前5题每题6分，后5题每题8分，共70分)
1、 若关于x的二次方程x2+(3a-1)x+a+8=0有两个不相等的实根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，则实数a的取值范围为 .
2、 方程 的解是 .
3、 一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的2倍；又若这二位数加上9，则得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的2倍；原二位数是 .
4、 如图1，△ABC中，CD、CE分别是AB边上高和中线，CE＝BE＝1，又CE的中垂线过点B，且交AC于点F，则CD＋BF的长为 .
5、 如图2，分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，若直角边YZ＝1，XZ＝2，则六边形ABCDEF的面积为 .
6、 如图3，正方形纸片ABCD的面积为1，点M、N分别在AD、BC上，且AM＝BN＝ ，将点C折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ(Q在CD上)，连PQ，则以PQ为边长的正方形面积为 .
7、 三个不同的正整数a、b、c，使a+b+c=133,且任意两个数的和都是完全平方数，则a、b、c是 .
8、 若实数a、b、c、d满足 ，则
的最大值是 .
9、 已知实系数一元二次方程 有两个实根x1、x2，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则 的取值范围为 .
10.如图4，△ABC中，AB＝CD，点P、Q分别在AC、AB上，且AP＝PQ＝QB＝BC，则∠A的大小是 .
二、(本题16分)
如图PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形.
(1) 若MP‖BC或NQ‖AB，求证： ；
(2) 若 ，问是否能推出MP‖BC或NQ‖AB？证明你的结论.
三、(本题16分)
设n是正整数， 是n的四个最小的正整数约数，若n= ，求n的值.
四、(本题18分)
如图，已知△ABC，且S△ABC＝1，D、E分别是AB、AC上的动点，BD与CE相交于点P，使SBCDE＝ S△BPC，求S△DEP的最大值.
2004年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试卷参：
一、填空题1．a<-2
2．x=6或x=4± /3
3． 63
4．7 /6
5． 14
6．3/7 提示：设PN与BQ交点为O，连OC，
7． 69，52，12 提示：设a+b=x2，b+c=y2，a+c=z2，
8． 40． 提示： y=4(a2+b2+c2+d2)-(a+b+c+d)2
9． <d<2
提示：
10．20。 提示：作PD‖AB BD‖PQ连DC △PDC≌△APQ，正△BCD
二、(1) 提示：连MP或QN，(2)能 提示：设一点P1使MP1‖BC，
三、若n为奇数，则d1，d2，d3，d4全为奇数，则d12+d22+d32+d42为偶数，与n为奇数矛盾，故n为偶数，故d1=1．d2=2．若n为4的倍数，则d3，d4必有一个为4，而n为偶数，则另一个为奇数，d12+d22+d32+d42除4的余数为2与题意不符，故n不是4的倍数．设d3=a(a为奇数)则d必为偶数，故d4=2a．则n=12+22+a2+(2a)2=5(a2+1)，可见n是5的倍数，故d3=5，d4=10，n=130．
四、s△DPE为最大为1/18
提示：设S△BPC=9k，S△BPE=ak，S△DPC=bk，S△AED=x．
