河南省南阳市第一中学2018届高三实验班第一次考试(文数)

数学（文科）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集UZ，集合A{xZ|3x7}，B{xZ|x27x100}，则A(CUB)（ ） A．{3,4,5} B．{2,3,4,5} C．{4,5} D．{2,3,4}

2.已知向量a(1,k)，b(k1,6)，若a//b，则正实数k的值为（ ）

A．2 B．3 C．3或-2 D．-3或2 3.设i为虚数单位，则复数

34i

的共轭复数为（ ） i

A．43i B．43i C．43i D．43i

x24.已知命题p:“x[0,1],ae”，命题q:“xR,x4xa0”，若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）

A．(4,) B．[1,4] C. (,1 ] D．[e,4] 5.执行如图所示的程序框图，则输出的S为（ ）

A．22013111 B．(220141) C. (220131) D．220141

3326.设{an}为公比为q1的等比数列，若a2010和a2011是方程4x8x30的两根，则a2012a2013（ ）

A． 18 B．10 C. 25 D．9

12AC，7.如图，在ABC中，ANNC，P是BN上的一点，若APmAB则实数m的值为（ ）

411 1

A．

9231 B． C. D． 11111111xy108.设变量x,y满足0xy20，则2x3y的最大值为（ ）

0y15A． 55 B． 35 C. 45 D．20

9.在球O内任取一点P，则P点在球O的内接正四面体中的概率是（ ） A．

13233 B． C. D． 12129610.已知下列命题：

①命题“xR,x13x”的否定是“xR,x13x”

②已知p,q为两个命题，若“pq”为假命题，则“pq”为真命题 ③“a2”是“a5”的充分不必要条件

④“若xy0，则x0且y0”的逆否命题为真命题 其中真命题的个数为（ ）

A． 3个 B． 2个 C. 1个 D．0个

11.已知四棱锥SABCD的底面是中心为O的正方形，且SO底面ABCD，SA23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A． 1 B．2 C.

223 D．3

(a2)x,x212.设函数f(x)1x，若数列{an}是单调递减数列，则实数a的取值范围为（ ） anf(n)，

()1,x22A．(,2) B．(,) C. (,741313] D．[,2) 88第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

2

13.若a,b,c是直角三角形的三边（c为斜边），则圆x2y22被直线axbyc0所截得的弦长等于 ．

14.一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．

15.已知0x329，则y的最小值为 ． 2x32x12f(x1)f(x2)x(a0)若对任意两个不相等的正实数x1,x2都有2恒成2x1x216.已知函数f(x)alnx立，则a的取值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 在ABC中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m(cosA,sinA)，n(2sinA,cosA)，

且|mn|2.

（1）求角A的大小； （2）若b42，c2a，求ABC的面积.

18. 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）求全班人数及分数在[80,90)之间的频数；

（2）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；

（3）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分

3

数在[90,100]之间的概率.

19. 如图，在底面是菱形的四棱柱ABCDA1BC11D1中，ABC60，AA1AC2，

A1BA1D22，点E在A1D上.

（1）证明：AA1平面ABCD； （2）当

A1E为何值时，A1B//平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离. EDx2y220. 已知椭圆221(ab0)的右焦点为F(1,0)，M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且OMFab是等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为PQM的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若l存在，求出直线l的方程；若l不存在，请说明理由. 21. 已知f(x)xa1alnx，其中aR. x（1）求函数f(x)的极大值点；

[1e,)时，若在[,e]上至少存在一点x0，使f(x0)e1成立，求a的取值（2）当a(,1]范围.

1e1e请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

3x2t5在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正

y24t5半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为costan.

4

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； （2）若C1与C2交于A,B两点，点P的极坐标为(22,23.选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)|2x1||x1|，g(x)|xa||xa|. （1）解不等式f(x)9；

（2）x1R，x2R，使得f(x1)g(x2)，求实数a的取值范围.

4)，求

11的值. |PA||PB| 5

数学（文科）参考答案

一、选择题

1～5 ABCDD 6～10 ADACC 11～12 BB

二、填空题 13. 2 14. 三、解答题

17. 解：（Ⅰ）mn(2cosAsinA,cosAsinA)

8025 15. 16. [1,+∞)

33mn(2cosAsinA)2(cosAsinA)2

=44sin(A4)

∵mn2 ∴sin(A又∵0＜A＜， ∴4)0，

3，∴A=0，A

44444csinC2 （Ⅱ）∵c2a,A ∴4asinA＜A＜

∴sinC1，又∵0＜C＜ ∴C∴△ABC为等腰直角三角形，SABC21(42)216 2

18.（本小题满分12分） 解：（1）由茎叶图知，分数在[50,60)之间的频数为2， 频率为0.008×10=0.08 全班人数

2=25 0.08所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4 （2）分数在[50,60)之间的总分数为56+58=114 分数在[60,70)之间的总分数为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456 分数在[70,80)之间的总分数为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747 分数在[80,90)之间的总分数为85×4=340 分数在[90,100]之间的总分数为95+98=193 所以，该班的平均分数为

11445674734019374

25估计平均分数时，以下解法也给分：

2=0.08 257分数在[60,70)之间的频率为=0.28

25分数在[50,60)之间的频率为

6

10=0.40 254分数在[80,90)之间的频率为=0.16

252分数在[90,100]之间的频率为=0.08

25分数在[70,80)之间的频率为

所以该班的平均分数约为55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08 =73.8

所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为

4÷10=0.016 25（3）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6， 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15个. 其中，至少有一份在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是

9=0.6 1519、(1)证明：因为底面ABCD是菱形，ABC60,所以ABADAC2，在AA1B中，

222由AA1AB，同理，AA1AD又因为ABAD于点A， 1ABA1B知AA所以AA1平面ABCD. (2)当

A1E1时，A1B//平面EAC. EDA1E1，即点E为A1D的中点时， ED证明如下：连接BD交AC于O，当

连接OE，则OE//A1B，所以A1B//平面EAC.

直线A1B与平面ACE之间的距离等于点A1到平面ACE的距离，因为E为A1D的中点，可转化为D到平面ACE的距离，VDAECVEACD，设AD的中点为F，连接EF，则EF//AA1，所以EF平面ACD，且EF1，可求得SACD3， 所以VEACD1313

33713，SAECd(d表示点D到平面ACE的距离），233又AE2，AC2，CE2，SAECd221221，所以直线A1B与平面EAC之间的距离为

7 720.解：（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =2b2

7

x2y21 故椭圆方程为2（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心 设P（x1,y1）,Q（x2,y2）

因为M（0,1），F（1,0），故kMF1，故直线l的斜率k1 于是设直线l的方程为yxm

yxm22由2得3x4mx2m20 2x2y24m2m22,x1x2由题意知△＞0，即m＜3，且x1x2 332由题意应有MPFQ0，又MP(x1,y11),FQ(x21,y2) 故2x1x2(x1x2)(m1)mm0

22m2242m(m1)m2m0

334或m1 3经检验，当m1时，△PQM不存在，故舍去m1；

44当m时，所求直线yx满足题意

33解得m综上，存在直线l，且直线l的方程为3x3y40

a1ax2ax(a1)(x1)[x(a1)]21.解：（1）由已知f(x)12=，x＞0 22xxxx当a-1≤0，即a≤1时，f(x)在（0,1）上递减，在（1,+∞）上递增，无极大值

当0＜a-1＜1，即1＜a＜2时f(x)在（0,a-1）上递增，在（a-1，1）上递减，在（1,+∞）上递增，所以f(x)在xa1处取极大值

当a-1=1时，即a=2时，f(x)在（0,+∞）上递增，无极大值

当a-1＞1时，即a＞2时，f(x)在（0,1）上递增，在（1，a-1）上递减，在（a-1,+∞）上递增，故f(x)在x1处取极大值

综上所述，当a≤1或a=2时，f(x)无极大值；当1＜a＜2时f(x)的极大值点位xa1；当a＞2时f(x)

8

的极大值点为x1

（2）在[,e]上至少存在一点x0，使f(x0)＞e1成立， 等价于当x[,e]时，f(x)max＞e1 由（1）知，①当a≤11e1e1时， e函数f(x)在[,1]上递减，在[1,e]上递增 ∴f(x)maxmaxf(),f(e)

∴要使f(x)max＞e1成立，必须使f()＞e1成立或f(e)＞e1成立

1e1e1e1e1(a1)ea＞e1，a＜2 eeea1a＞e1 解得a＜1 由f(e)eee1∵2＜1，∴a＜1 ee1②当a≥1e时，函数f(x)在[,1]上递增，在[1,e]上递减

e由f()∴f(x)maxf(1)2a≤1e＜e1

综上所述，当a＜1时，在[,e]上至少存在一点x0，使f(x0)＞e1成立 22．（1）曲线C1的普通方程为4x3y20; 曲线C2的直角坐标方程为:yx2.

3x2t,5(t为参数)代入yx2得 （2）C1的参数方程y24t.59t280t1500,

1e1e设t1,t2是A、B对应的参数,则t1t28050，t1t20. 9311|PA||PB||t1t2|8. |PA||PB||PA||PB||t1t2|15 9

3x,x1,223．（1）f(x)2x,1x1, 2分

23x,x1.f(x)9等价于x1,1x1,x1,2或2或 3x92x93x0综上,原不等式的解集为{x|x3或x3}. （2）|xa||xa|2|a|.

由(Ⅰ)知f(x)f(132)2.

所以2|a|32， 实数a的取值范围是[334,4].

10