【恒心】2015届广西武鸣高中、玉林一中等四校高三12月联考数学(理科)试题及参考答案【纯word首发版】

数 学(理科)

（武鸣高中、玉林一中、博白中学、马山中学 四校联考）

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分。考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的． 1. cos2400 A．1133 B． C． D．

2222

2.已知两点A(4,1),B(7,3)，则与AB同方向的单位向量是

34344343A．(,) B．(,) C．(,) D．(,)

555555553.设全集U=R,集合A={x|y=2x-x2},B={y|y=2x，xR}，则CUAB A．{x|x<0} B．{x|02}

4.若a、b、c成等比数列，则函数yax2bxc的图象与x轴的交点个数为 A．0 B．1 C．2 D．不能确定

5.一个四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是 腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的 体积是 A．1 B．

112 C． D．

242正视图

1 1 侧视图

俯视图

6.等比数列an中，已知对任意正整数n，a1a2a3an2n1，则

a12a22a32na2 112（2n-1）A．（4n-1） B．（2n-1） C．4n-1 D．

33

1

x117.设x，y满足约束条件yx，向量a(y2x,m),b(1,1),且a//b，则m的

22xy10最小值为

33A．6 B．6 C． D．

228. 函数f(x)=3cos(3x)sin(3x)是奇函数，则为

（kZ） 6C．k（kZ） D．k（kZ）

33A．k（kZ） B．k9.已知两定点A（-2,0）和B（2,0），动点P（x,y）在直线L：yx3上移动，椭圆C以A、B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为 A．2424 B． C． D． 26261313

10.如图，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，M、N分别为VA、VC的中点，则下列结论正确的是

A．MN//AB B．MN与BC所成的角为45o C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC

11.已知函数f(x)x3x,m[2,2],f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为

22A．（2，） B．（，2） C．（2,2） D．（3,2）

33x2y212.已知双曲线221(a0,b0)的焦点F1(c，、，过F2的直线L0)F2(c，0)（c>0）

ab交双曲线于A、D两点，交渐近线于B、C两点，设FBn, 1FC1m,F1AFD1则下列各式成立的是

A．|m||n| B．|m||n| C．|mn|0 D．|mn|0

2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都

必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.lg5lg20log14 2114.已知a3sinx dx，则(x)6的展开式中的常数项是 0a15.设函数f(x) 在0,内可导，且f(ex)xex，则f/(1) 16.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(3x)f(x),f(2)5，数列an满足a11,且Sn2ann（其中Sn为an的前n项和），则f(a4)f(a5) 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）.如图，在ABC中，BC边上的 中线AD长为3，且BD2,sinB36 。 8B

D

C

A

（1）求sinBAD的值 （2）求AC边的长

18.（本小题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调

查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．

B小区 低碳族 非低碳族 A小区 低碳族 非低碳族

频率p 0.8 0.2 p频率 0.50.5

(Ⅰ) 如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率； （Ⅱ）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随

机地从A小区中任选3个人，记X表示3个人中低碳族人数，求X的分布列和数学期望．

19.（本小题满分12分）

四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧

o面SBC底面ABCD．已知DAB135，BC22，

Ｓ Ｆ B A

C D

SBSCAB2，F为线段SB的中点．

3

（１）求证：SD//平面CFA；

（２）求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值．、

20.（本小题满分12分）直线l:ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的

两点A、B。

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

21．（本小题满分12分）已知函数f(x)(x1)ex（e为自然对数的底数）.

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）设函数(x)xf(x)tf/(x)ex，存在实数x1、x2[0,1]，使得

2(x1)(x2)成立，求实数t的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）如图，已知⊙O的直径AB垂

直于弦CD于E，连接AD、BD、OC、OD，且OD=5.

3（1）若sinBAD，求CD的长；

5（2）若ADO:EDO4:1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留）

23.（本小题满分10分）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极

坐标系，已知直线L的极坐标方程为cos2sin0.曲线C的参数方程为

x4cos（为参数） y2sin（1）求直线L的直角坐标方程和曲线C的普通方程。

（2）若直线L与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长。

24. （本小题满分10分）已知函数f(x)2x12x3

(1)求不等式f(x)6的解集。

(2)若关于x的不等式f(x)a1的解集非空，求实数a的取值范围。

4

2014年秋季期高三年级12月份月考数学(理科)答案

一.选择题：CADAC ABDBD AC； 二、填空题：13、0; 14、64; 15、2; 16、5 三、解答题：

BDsinBBDADsinBADADsinBADsinB236863417.解（1）由正弦定理可得---6分

（2）

sinB3610 , cosB88--------------8分

sinBAD610cosBAD44cosADCcos（BBAD）cosBcosBADsinBsinBAD

1010366184844-------------------10分

D为BC中点，DC2

1AC2AD2DC22ADDCcosADC3222232()16

4AC4-----------------------------------------12分 18.解：解：（Ⅰ）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分

221122P(C)C20.52C20.22C20.50.5C20.20.8C20.52C20.82

0.16 0.010.16．0 …… 5分

a0.5(120%)20.32． （Ⅱ）设A小区有a人，两周后非低碳族的概率Pa故低碳族的概率P10.320.68．

………… 7分

X的所有可能取值为0，1，2，3 ，低碳族的概率P0.6817 25( P(X0)838178117)P(X1)C3()2, P(X2)C32()2 ，252525252517P(X3)()3X的分布列为

25X 0 1 2 3 5

831738281172172()() C()C() P 33 252525252525

因随机地从A小区中任选3个人，这3个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这3个人中低碳族人数服从二项分布，即

X~B(3,0.68) ，故E(X)30.682.04． ………… 12分

19.解（1）连接BD交AC于点E，连接EF，由于底面ABCD为平行四边形，E为BD的中点，

在BSD中，F为SB的中点，EF//SD，又EF平面CFA， SD平面CFA SD//平面CFA-------------------------5分

（2）以BC的中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OS为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则有A(2,0,0),B(0,2,0),S(0,0,2),C(0,2,0),

SA(2,0,2),SB(0,2,2)CS(0,2,2),CDBA(2,2,0)--------------7分

设平面SAB的法向量为n1(x,y,z), n1SA02x2z0 由，得2y2z0n1SB0，

Z Ｓ Ｆ B A X O E C Y D 令z1得：x1,y1,n1(1,1,1)，-----------9分 同理设平面SCD的法向量为n2(a,b,c)，

n2CD02a2b0，令b1得：a1,c1,,n(1,1,1)----10分 由，得22b2c0n2CS0设

平

面

SC与平面

SA所

成的二面角为

，则

cos|cosn1,n2||n1n21|------------12分

|n1||n2|32220.解：（1）将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2xy1后，整理得

(k22)x22kx20

① -------------------------------------------2分

6

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点

k22022(2k)8(k2)0故解得：2k2 ------------------------------5分 2k20k2202k2（2）设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2) 2kxx212k2则由①式得xx212k22② ---------------------------------------7分

假设存在实数k，使得以线段AB为直线的圆经过双曲线C的右焦点F(c,o)，则由

FAFB 得：(x1c)(x2c)y1y20，即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0

整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210将②式及c③ -------------------------10分

26代入③式化简得5k26k60解得k66或25k66(2,2)（舍） 5可知存在k66使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点---------------12分

521.解：（1）

函数的定义域为R,f(x)/x ex当x0时，f/(x)0，当x0时，f/(x)0

f(x)在,0上单调递增，在0,上单调递减-----------------------------4分

（2）假设存在x1,x2[0,1]，使得2(x1)(x2)成立，则2[(x)]min[(x)]max

x2(1t)xt(xt)(x1)x2(1t)x1/------6分 (x)(x)xf(x)tf(x)eexexex/x/①当t1时，(x)0，(x)在[0,1]上单调递减，2(1)(0)，即t3e1---82分

0------102(0)(1)，②当t0时，即t32e/(x)0，(x)在[0,1]上单调递增，

分

7

③当0t1时，若x[0,t),/(x)0，若x(t,1],/(x)0，(x)在[0,t)上单调递减；

13t(x) 在(t,1]上单调递增，所以2(t)max(0),(1)，即2t，max1,*）（tee由（1）知， g(t)2t1在[0,1]上单调递减，4t123t3，故，而所以不等式(*)无22tteeeeee解。

e(3,)，使得命题成立-----------------12分

222.解：（1）因为AB是⊙O的直径，OD5

综上所述，存在t(,32e)所以ADB90,AB10，在RtABD中，sinBAD又sinBAD3，所以BD3，所以BD6

5105oBD ABADAB2BD2102628

因为ADB90o,ABCD，所以DEABADBD,CEDE 所以DE1086，所以DE2448 所以CD2DE--------------------5分 55（2）因为AB是⊙O的直径，ABCD，所以CBBD,ACAD， 所以BADCDB,AOCAOD.

因为AODO,所以BADADO,所以CDBADO-------------7分

设ADO4x，则CDB4x，.由ADO:EDO4:1,得EDOx 因为ADOEDOEDB90，所以4x4xx90，所以x10，所以

o0oAOD1800(OADADO)1000，所以AOCAOD1000

故

S扇形OAC1001255236018------------------------------------------------------------------10分

23.解：（1）因为xcos,ysin，所以直线l的直角坐标方程为x2y0，

x2y21因为cossin1，所以曲线C的普通方程为

16422--------------------5分

8

x2y0（2）联立方程，可求得交点坐标为22,2和22,2 x2y21416所以|AB|422222210--------------------10分

24.解：（1）求不等式f(x)6的解集，即求2x12x36的解集，

1133xxx得或或 22222x1(32x)62x1(32x)62x1(2x3)6解得1x1331或x或x2

2222---------------------------------------------------------5分

即不等式的解集为x|1x2（2）

f(x)|2x1||2x3||(2x1)(2x3)|4

即f(x)的最小值等于4，

由题意得|a1|4，解此不等式得a3或a5

故实数a的取值范围为(,3][5,)---------------------------------------10分

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