求值域

一、 求函数的定义域的方法

给出一个函数时，应该明确这个函数的定义域，一般说来，在不加说明时，函数的定义域就是使函数的解析式有意义的自变量的取值范围. 下面分别用例题来说明求函数的定义域的方法.

1．直接利用函数的解析式求函数的定义域

例1 求下列函数的定义域：

（1） ； （2）

2．求形如 （ 为常数）的函数的定义域的方法

例2 (1) 已知 的定义域为 ，求函数 的定义域；

(2) 已知 的定义域为 ，求 的定义域.

3．求实际问题中的函数定义域的方法

例 3 汽车的油箱是长方体形状的容器，设它的长、宽、高分别为acm, bcm, ccm, 汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车的耗油量是n cm3/km. 试求汽车行驶的路程y（km）与油箱内剩余油量的液面高度x(cm)的函数关系式，并指出它的定义域.

4．求含有参数的函数的定义域的方法

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例4 求函数 （ ）的定义域.

二、求函数的值域的方法

求函数的值域是一个比较复杂的问题，常用的方法有：配方法，分离系数法，判别式法，换元法，反函数法，不等式法，图象法，下面通过例题介绍这些方法.

1．配方法

这种方法适用于求二次函数或与二次函数密切相关的函数的值域，将函数解析式进行配方整理后，即可求出值域。

例5 求下列函数的值域：

（1） ； （2）

2．分离系数法

这种方法主要用于具有分式形式的函数解析式，通过变形，将函数化成形式，其中a, b为常数，

为整式，这样即可求出函数的值域.

的

例6 求下列函数的值域： （1） ； （2）

3．判别式法

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把 看作关于 x的方程，因为函数的定义域为非空数集，所以，这个二次方程

，由此可得关于y的不等式，通过解这个不等式可以求出函数

一定有解，则判别式的值域.

例7 求下列函数的值域：（1） ； （2）

4．换元法

这种方法主要用于含有二次根式的函数解析式，通过换元，把解析式化为二次函数的形式，然后求出值域。

例8 求下列函数的值域：

（1） ； （2） ； （3）

5．反函数法

由反函数的性质可知，函数函数

的定义域，正好是它的反函数 的值域，

的值域，正好是它的反函数 的定义域. 因此，我们可以利用反函数

的定义域求原函数的值域.

例9 求下列函数的值域：（1） ； （2）

6．不等式法

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这种方法主要是利用均值不等式方面的知识求出函数的最值，从而求出函数的值域.

例10 求函数 的值域.

7．图象法

例11 求函数 的值域.

8．利用函数的单调性求值域

例12 求函数 的值域.

由于函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，所以有些较简单的问题可以直接利用函数的解析式求得结果，但更多的问题需要利用上面介绍的方法来解决. 另外，对于某些函数，可以利用多种方法求出值域，例如，对于函数系数法，又可以用判别式法求出值域.

，既可以利用分离

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