抛物线经典题型

抛物线习题

A组题

一、选择题：

1、抛物线y=2x2的焦点坐标是 ( )

A．(1,0) B．(1,0)

4C．(0,1)

8D． (0,1)

42y2x2、抛物线的准线方程为 ( )

A．

y111

yy

4 B．8 C．y1 D．2

D．（－1, 0）

（ ）

3．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为

A．（1, 0）

B．（2, 0）

C．（3, 0）

4、抛物线y210x的焦点到准线的距离是 （ ）

515 B．5 C． D．10 22B 2p10,p5，而焦点到准线的距离是p

5、若抛物线y28x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（ ）

A．

A．(7,14) B．(14,14) C．(7,214) D．(7,214)对

C 点P到其焦点的距离等于点P到其准线x2的距离，得xP7,yp214 6、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆xy2x6y90的圆心的抛物线的方程是 （ ） A．y3x2或y3x2 B．y3x2 C．y29x或y3x2 D．y3x2或y29x

2219y；设y22px,p,y29x 3227、设AB为过抛物线y2px(p0)的焦点的弦，则AB的最小值为（ ）

D 圆心为(1,3)，设x2py,p,x2216p B．p C．2p D．无法确定 2pC 垂直于对称轴的通径时最短，即当x,yp,ABmin2p

228、若抛物线yx上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（ ）

A．

12121212) B．(,) C．(,) D．(,)

44844484B 点P到准线的距离即点P到焦点的距离，得POPF，过点P所作的高也是中线

A．(, Px12122) ，代入到yx得Py，P(,84849、直线y=kx-2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB的中点横坐标为2，则k

的值是

A.-1 B.2 C.-1或2 D.以上都不是

x2y210、双曲线＝１的离心率ｅ∈（１，２），则k的取值范围是（ ） 4kＡ.(－∞，０) Ｂ.（－12，０） Ｃ.（－３，０） Ｄ.（－60，－12）

11、 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为 （ ） A．x28y B．x24y C．x24y D．x28y 12、抛物线y212x截直线y2x1所得弦长等于 （ ）

A．15 B．24315

C．

152 D．15

B．y2x或x2y

D．y29x

213、顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）

A．x29y或y2x

29243C．x24y

31114、抛物线yx在点M（2，4）处的切线的倾斜角是（ ）

2A．30° B．45° C．60° D．90°

x2y212y2px215、若抛物线的焦点与椭圆6的右焦点重合，则p的值为

（ ）。

A．2 B．2 C．4 D 4

16、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c∈R，且a≠0)的判别式是1，两根之积为－8，.则

（b，c）的轨迹是 （ ）

(A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)两个点

17、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|= （ ）

(A)10; (B)8; (C)6; (D)4.

218．过抛物线y4x的焦点作直线交抛物线于点Px1,y1,Qx2,y2两点，若x1x26，则PQ中点M到抛物线准线的距离为 （ ） （A）5 （B）4 （C）3 （D）2

19、设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 （ ）

11，] （B）[－2，2] （C）[－1，1] （D）[－4，4] 2220、已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PAPBx2，则点P的轨迹（ ）

（A）[－

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线

21、抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x2y40上，则抛物线的方程为 （ ）

（A）y216x （B）x28y （C）x28y或y216x（D）x28y或y216x 22、过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

（ ）

23、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）

A．6m

2

B． 26m

C．4.5m D．9m

x2y2

24、若抛物线y＝2px(p>0)的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则p的值为( )

124

A．2 B．4 C．8 D .42

25、已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P，y1)，P，y2)，P，y3)在1(x12(x23(x3抛物线上，且|P1F|、|P2F|、|P3F|成等差数列， 则有 （ ） A．x1x2x3

B． y1y2y3

C．x1x32x2 D. y1y32y2 二、填空题

3p3 2p6,p3,x 22227、已知圆x2y26x70，与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p _2__________．

228、 若直线axy10经过抛物线y4x的焦点，则实数a -1 26、抛物线y26x的准线方程为＿＿＿＿＿.x29、若直线ykx2与抛物线y28x交于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标是2，

则AB______。

y28x4k8215 ,k2x2(4k8)x40,x1x24 2kykx22得k1,或2，当k1时，x4x40有两个相等的实数根，不合题意

22当k2时，AB1kx1x25(x1x2)4x1x25164215 1130、抛物线yax的焦点恰好为双曲线yx2的一个焦点，则a_8或8

222_____

x2y21的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 31、抛物线的焦点为椭圆94 y245x ．

三、解答题：

32、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线x2y40上 【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. [解析] (1)设所求的抛物线的方程为y22px或x22py(p0), ∵过点(-3,2) ∴42p(3)或92p2 ∴p29或p 342 ∴抛物线方程为y49x或x2y, 3219,后者的准线方程为y 38前者的准线方程是x (2)令x0得y2，令y0得x4，

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,p4, 2p2 22 ∴p8，此时抛物线方程y16x;焦点为(0,-2)时

∴p4，此时抛物线方程x28y.

∴所求抛物线方程为y216x或x28y,对应的准线方程分别是x4,y2. 33、在抛物线y4x2上求一点，使这点到直线y4x5的距离最短。 解：设点P(t,4t)，距离为d，d24t4t251711 当t时，d取得最小值，此时P(,1)为所求的点。

2234、已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y2x1截得的弦长为15，

求抛物线的方程。

4t24t5 17y22px,消去y得 解：设抛物线的方程为y2px，则y2x1p214x2(2p4)x10,x1x2,x1x2

24p221AB1k2x1x25(x1x2)24x1x25()415，

242则p2p3,p24p120,p2,或6 y24x，或y212x 435、已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A（4，m）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线ykx2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值.

36、动直线y =a，与抛物线y21x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，求线段AB中2点M的轨迹的方程．(12分)

37、 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且|AM|17,|AF|3，求此抛物线的方程

[解析] 设点A'是点A在准线上的射影，则|AA'|3，由勾股定理知|MA'|22，点A的横坐标为(22,3

B组题

一、选择题

p)，代入方程x22py得p2或4，抛物线的方程x24y或x28y 2

1、过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则

11

等于 pq

B．

（ ）

14 C．4a D． 2aa2、动点P到点A(0，2)的距离比到直线l:y=-4的距离小2，则动点P的轨迹方程为

A．2a

A. y24x B. y28x C.x24y D.x28y

3、抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 A． y 2=-2x C． y 2=2x

B． y 2=-4x

（ ）

D． y 2=-4x或y 2=-36x

4、抛物线y2x2上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线

且x1x2yxm对称，

1，则m等于 （ ） 235 A． B．2 C． D．3

22xxyyyy11A kAB21,而y2y12(x22x12),得x2x1，且(21,21)

22x2x12yy1x2x1m,y2y1x2x12m 在直线yxm上，即2223222 2(x2x1)x2x12m,2[(x2x1)2x2x1]x2x12m,2m3,m

25、若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使

MFMA取得最小值的M的坐标为 （ ）

A．0,0 B．,1 C．1,2 D．2,2

D MF可以看做是点M到准线的距离，当点M运动到和点A一样高时，MFMA取得最小值，即My2，代入y2x得Mx2

2126、已知直线l与抛物线y28x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是 A.

252525 B. C. D.25 4287、动圆M经过点A(3，0)且与直线l:x=-3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是( ) A. y212x B. y26x C. y23x D.y224x

8、平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是

（ ）

A． y 2=－2x B． y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x

9、抛物线y=x２上到直线２x-y=4距离最近的点的坐标是（ ）

3539Ａ.(,) Ｂ.(1，1) Ｃ.( ,) Ｄ.(2，4)

24241210、定点P(0,2)到曲线y=|x－1|上点的最短距离为

2(A)5 (B)1 (C)2 (D)6

11、过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线的准线上的射影分别是A1，B1，则∠A1FB1等于

00

(A)45; (B)60; (C)900; (D)1200.

12、圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）

A．x2+ y 2-x-2 y -

1=0 4B．x2+ y 2+x-2 y +1=0 D．x2+ y 2-x-2 y +

C．x2+ y 2-x-2 y +1=0

1=0 413、把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a(2,3)平移，所得的曲线的方程是（ ）

A．(y3)24(x2) C．(y3)24(x2)

B．(y3)24(x2) D． (y3)24(x2)

14、(2010年梧州模拟)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )

47A. B. 358

C. D．3 5

15、(2010年全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则 k＝( )

12A. B. 33222C. D. 33解析：

设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2直线y＝k(k＋2)(k＞0)恒过定点P(－2,0)，如图所示过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点，连结OB.

1

|OB|＝|AF|，

2

∴|OB|＝|BF|点B的横坐标为1， 故点B的坐标为(1,22)， 22－022∴k＝＝，选D.

31－－2

16、(2010年辽宁卷)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

A.17 B．3 2

9

C.5 D. 2

17、过抛物线y28(x2)的焦点F作倾斜角为60的直线,若此直线与抛物线交于A,B 两点,弦AB的中垂线与x轴交于P点,则线段PF的长等于 A,

0168163 D,83 B, C,333解析 此抛物线的焦点与原点重合,得直线AB的方程为y3x,因此A,B两点的横坐标

2满足方程:3x8x160.由此求得弦AB中点的横坐标x044,纵坐标y0,进而 33求得其中垂线方程为y416414(x),令y0,得P点的横坐标x4,

33333即PF=

16. 3

二、填空题

18、已知A(0,4),B(3,2)，抛物线y28x上的点到直线AB的最短距离为__________。

35 直线AB为2xy40，设抛物线y28x上的点P(t,t2) 52tt24t22t4(t1)23335 d 5555519、对于抛物线y24x上任意一点Q，点P(a,0)都满足PQa，则a的取值范围是____。 t2t2,2 设Q(,t)，由PQa得(a)2t2a2,t2(t2168a)0,

44 t2168a0,t28a16恒成立，则8a160,a2

20、抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为

2 ．

21、抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是

xk ． 422、P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 （1，0） ．

23、(2010年宁夏海南卷)设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为___ y＝x_____． 24、(2010年福建卷)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝___2_____. 25、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上 ②焦点在x轴上 ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 ④抛物线的通径的长为5

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)

能使这个抛物线方程为y2＝10x的条件是____②⑤____．(要求填写合适条件的序号) 26、设A、B为抛物线y22px上的点,且AOB90(O为原点),则直线AB必过的定点

坐标为___(2p,0)_______.

【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置

ykx2p2p) ［解析］设直线OA方程为ykx,由2解出A点坐标为(2,kky2px1yxk(x2pk2)2,令k解出B点坐标为(2pk,2pk)，直线AB方程为y2pk21ky22px

y0得x2p，直线AB必过的定点(2p,0)

【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用1换k而得。 k2三、解答题

27、设A、B为抛物线y点。

【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置

2px上的点,且AOB90(O为原点),证明直线AB必过的定

ykx2p2p) ［解析］设直线OA方程为ykx,由2解出A点坐标为(2,kky2px1yxk(x2pk2)2,令k解出B点坐标为(2pk,2pk)，直线AB方程为y2pk21ky22pxy0得x2p，直线AB必过的定点(2p,0)

【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用1换k而得。 k228、已知抛物线y2px(p0)．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交

于不同的两点A、B，|AB|2p．

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求RtNAB面积的最大值．(14分)

[解析]：（Ⅰ）直线l的方程为

得

yxa，将yxa代入y22px，

x22(ap)xa20． 设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，

4(ap)24a20,则 xx2(ap), 又y1x1a,y2x2a， 122x1x2a.∴|AB|(x1x2)2(y1y2)2 2[(x1x2)24x1x2]8p(p2a)．

∵

0|AB|2p,8p(p2a)0， ∴ 08p(p2a)2p． 解得 

ppa． 24（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为(x3,y3)，则由中点坐标公式，得

x3

yy2(x1a)(x2a)x1x2p． ap， y31222

∴ ∴

|QM|2(apa)2(p0)22p2． 又 MNQ为等腰直角三角形，

12|QN||QM|2p， ∴SNAB|AB||QN|22p2p p|AB| 222p2

即NAB面积最大值为2p2

29、如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点

到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)

解：设曲线段C的方程为

，|AN|=3，且

y22px(p0),(xAxxB,y0)，

其中xA,xB分别为A、B的横坐标， 所以，M(pMN．

pp,0),N(,0)． 由AM17，AN3得 22

(xAp2)2pxA17 ① 2p(xA)22pxA9 ②

2联立①②解得xA4p．将其代入①式并由p>0解得p4p2，或．

xA1xA2因为△AMN为锐角三角形，所以

p2pxA，故舍去． ∴p=4，xA1．

x22A2由点B在曲线段C上，得xBNp4．综上得曲线段C的方程为y2B8x(1x4,y0)

30、(2010年揭阳联考)已知M(0，－2)，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线→→→→

AB上，且满足AP＝PB，MA·AP＝0.

(1)当点A在x轴上移动时，求动点P的轨迹C的方程；

(2)过(－2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l1、l2，当l1⊥l2，求直线l的方程．

．解析：(1)设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)(yB＞0)则 →→

AP＝(x－xA，y)，PB＝(－x，yB－y)， →→

由AP＝PB得xA＝2x，yB＝2y， →→

又MA＝(xA,2)，AP＝(x－xA，y)， →→

即MA＝(2x,2)，AP＝(－x，y)， →→由MA·AP＝0得x2＝y(y＞0)．

(2)显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝k(x＋2)， 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，

因为y′＝2x，故两切线的斜率分别为2x1,2x2.

2x＝y

由方程组得x2－kx－2k＝0，

y＝kx＋2

所以x1＋x2＝k，x1·x2＝－2k， 1

当l1⊥l2时，2x1·2x2＝－1，所以k＝.

8

31、(2010年山东卷)如右图所示，设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B.

(1)求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；

(2)已知当M点的坐标为(2，－2p)时，|AB|＝410，求此时抛物线的方程； x1x2x1，，Bx2，， 解析：(1)证明：由题意设A2p2px1＜x2，M(x0，－2p)．

x2x

由x＝2py得y＝，得y′＝，

2pp

2

2

2

x1x2所以kMA＝，kMB＝. pp

x1因此直线MA的方程为y＋2p＝(x－x0)，

px2直线MB的方程为y＋2p＝(x－x0)．

px2x11所以＋2p＝(x1－x0)，①

2ppx2x22＋2p＝(x2－x0)．② 2ppx1＋x2由①、②得＝x1＋x2－x0，

2x1＋x2

因此x0＝，即2x0＝x1＋x2.

2

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列． (2)由(1)知，当x0＝2时， 将其代入①、②并整理得：

222

x21－4x1－4p＝0，x2－4x2－4p＝0，

所以x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根， 因此x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2，

22x2x1－

2p2px1＋x2x02

又kAB＝＝＝，所以kAB＝. 2pppx2－x1

由弦长公式得|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2 ＝

4

1＋216＋16p2. p

又|AB|＝410，

所以p＝1或p＝2，因此所求抛物线方程为x＝2y或x＝4y.

2

2